Gleichungen 7./8. Klasse: Gleichungen lösen

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Brigitte Penzenstadler
Gleichungen
7./8. Klasse:
Gleichungen lösen
Mathetraining in 3 Kompetenzstufen
Downloadauszug
aus dem Originaltitel:
Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht.
Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen
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Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen
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Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall
der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages.
Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfo
verfolgt.
A
Gleichungen
Gleichungen lösen
Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
� 24 x – 30 – 3 x – 108 = 5 x – 10
� 2 x + 24 + 3 x + 12 = 256 – 6 x
� 5 x – 63 + 21 x = 3 x + 110 – 35
� 2 • (8 x + 12) = 4 • (10 x – 6)
� 40 x + 120 – (40 x – 2) = 200 – 10 x – 38
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1
A
Gleichungen
Gleichungen aufstellen und lösen
� Was bedeuten die Begriffe? Schreibe das entsprechende Rechenzeichen dahinter!
addieren
Summe
das ...fache, multiplizieren
Quotient
dividieren, der ... Teil
Differenz
so erhält man
Produkt
subtrahieren, vermindern
� Subtrahiert man vom Vierfac
Vierfachen
der Zahl und 3, so erhält
che einer Zahl die Differenz aus
uss de
man das Doppelte
aus der Zahl und 4. Wie
elte der Summe a
ie heißt
hei t die Zahl?
Z
� Multipliziert man d
die Summe aus dem Zweifachen einer Zahl und 4 mit 3, so erhält man
genauso
viel, wie wenn man vom Elffachen der Zahl 3 subtrahiert. Welche Zahl verbirgt
auso vie
sich hin
hinter x?
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2
A
Gleichungen
Lückenhafte Gleichungen
Welche Umformungen bzw. Rechenoperationen wurden durchgeführt? Ergänze!
� 6 x + 3 x + 18 + 4 x = 168 + 6
|
13 x + 18 = 174
13 x = 156
|
|
x = 12
� 18 • (1 – 6 x) + 93 = 33 x – 2 • (14 + x)
|
18 – 108 x + 93 = 33 x – 28 – 2 x
111 – 108 x = 31 x – 28
- 108 x = 31 x – 139
- 139 x = - 139
|
|
|
|
x=1
� 18 x – 10 – 8 x = 4 • (4 x – 10)
10 x – 10 = 16 x – 4
40
0 = - 40
- 6 x – 10
- 6 x = - 30
|
|
|
|
x=5
� 4 • (1
(11 x + 16,5 + 14,5 x) = 4 • (- 17 x + 271,5)
44 x + 66 + 58 x = - 68 x + 1086
102 x + 66
6 = - 68 x + 1086
170
70 x + 6
66 = 1086
170 x = 1020
|
|
|
|
|
x=6
� - 12 • (x + 8) + 74 = - 4 • (8 x – 17) – 18 + 2 x
- 12 x – 96 + 74 = - 32 x + 68 – 18 + 2 x
- 12 x – 22 = - 30 x + 50
18 x – 22 = 50
18 x = 72
|
|
|
|
|
x=4
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3
B
Gleichungen
Gleichungen lösen
Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
� 4 • (4 x + 20) + x = 3 • 8 x – 2 • (3 x – 15)
� x • 54 + 2 x • 63 + 81 • (2 x – 6) = 2898 – 54 • (x + 4)
� 12 • (2 – 3 x) – 20 x = –10 – 2 • (7 – 8,5 x) + 5 • (2 – 7 x)
� – 4 • (– 8,75 + 2,5 x + 2 + x) = 4 • (0,5 x + 1,75)
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4
B
Gleichungen
Gleichungen aufstellen und lösen
� Multipliziert man die Differenz aus einer Zahl und 5 mit 7 und vermindert das Produkt um 5,
so erhält man die Hälfte der Differenz aus dem Sechsfachen der Zahl und 16. Wie heißt die
Zahl?
� Addiert man 4 zum Siebenfachen einer Zahl, multipliziert die S
Summe mit 4 und vermindert
erminde
das Produkt um 20, so erhält man doppe
doppeltt so viel
man das Fünfzehnfache
v el , wie wenn
w
Fünfzehnfacche einer
Zahl von 85 subtrahiert. Welche
he Zahl verbirgt
verb gt sich
sic hinter x?
� Dividiertt man das Zw
ölffac einer Zahl durch 4 und vermindert den Quotienten um 6, so
Zwölffache
hält ma
n die zweifac
erhält
man
zweifache Differenz aus 9 und der Hälfte der Zahl. Wie lautet die Zahl?
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5
B
Gleichungen
Lückenhafte Gleichungen
Finde die ursprüngliche Gleichung!
�
|
–5x
|
+ 32
|
: (– 10)
|
–6
|
–6x
|
– 14 • x
|
– 378
|
: (– 45)
|
+x
|
+ 360
36
|
: 31
|
– 0,69
|
+ 2,12 x
|
:5
|
+ 60 x
|
–2
|
: 66
x=1
�
x=6
�
x=7
�
x = 24
�
x=2
�
x= 1
3
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6
C
Gleichungen
Gleichungen lösen
Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
� 2 • (x – 2 + 6) – 3 x + 2 • 9 = (7 x – 18) • 3 – 18 x
� 5 • (18 x – 48 + 5 – x) = 272 – 64x
2
� 10 • ( 3 x – 1
5) – 2 • (10 x – 17,5)
5) = 2 • (3
1,5)
(3,5 x + 37,5) – 4 • (3,5 x – 7,5)
� x + 6 = 12x – 24
3
4
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7
C
Gleichungen
Gleichungen aufstellen und lösen
1
� Multipliziert man die Differenz aus dem Fünffachen einer Zahl und 12 mit 2 und addiert vom
Ergebnis die Summe aus der Zahl und 14, so erhält man die Hälfte aus dem Achtfachen der
Zahl und 10. Wie heißt die Zahl?
� Subtrahiert man vom Vierfachen
en einer Zah
achen der Za
Zahl die D
Differenz aus dem Vierfachen
Zahl und 5,
er S
umme aus de
erbirgt sich h
so erhält man ein Viertel der
Summe
der Za
Zahl und 16. We
Welche Zahl vverbirgt
hinter x?
� Wenn man
man die Summ
e aus dem dritten Teil einer gesuchten Zahl und 8 vervierfacht, so
Summe
rhält ma
n den vierten Teil der Differenz aus dem 20-fachen der Zahl und 4. Wie lautet die
erhält
man
ahl?
Zahl?
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8
C
Gleichungen
Bruchgleichungen lösen
(
) (
)
� 5 • x + 0,5 = 4x – 3 • 4
2
5
� 3x – 5 • (x – 4) – 3 x + 2 • (x + 6) = 0
4
2
(
)
(
)
� 5 • 3 + 5 = 5 • 12 – 5
x x
x
(
)
� 3 • 3 – 1 + 13 = 9 + 1 • 4
x
x 4
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9
Gleichungen
chungen lö
lösen
|
: 16
|
+ 138
–5x
|
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|
: 11
|
+6x
– 36
|
|
+ 63
: 23
|
|
–3x
|
– 24
– 40 x
: (– 24)
|
|
|
– 162
: (– 10)
|
Brigitte Penzenstadler: *OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
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x=4
– 40 = – 10 x
122 = 162 – 10 x
40 x + 120 – 40 x + 2 = 162 – 10 x
� 40 x + 120 – (40 x – 2) = 200 – 10 x – 38
x=2
– 24 x = - 48
16 x = 40 x – 48
16 x + 24 = 40 x – 24
� 2 • (8 x + 12) = 4 • (10 x – 6)
x=6
23 x = 138
23 x – 63 = 75
26 x – 63 = 3 x + 75
� 5 x – 63 + 21 x = 3 x + 110 – 35
x = 20
11 x = 220
11 x + 36 = 256
5 x + 36 = 256 – 6 x
� 2 x + 24 + 3 x + 12 = 256 – 6 x
x=8
16 x = 128
21 x = 5 x + 128
21 x – 138 = 5 x – 10
� 24 x – 30 – 3 x – 108 = 5 x – 10
Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
A
Terme
rme und Gleichungen
Gleichungen aufstellen und lösen
–
(... • ...)
=
(... – ...)
:
(... : ...)
•
(... + ...)
+
Brigitte
e Penzenstadl
Penzenstadler: *OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
QJH
© Persen
en Verlag
x=3
– 5 x = - 15 | : (– 5)
– 5 x + 12 = – 3 | – 12
6 x + 12 = 11 x – 3 | – 11
1x
(2 x + 4
4) • 3 = 11 x – 3
� Multipliziert man
aus dem Zweifachen einer Zahl und 4 mit 3, so erhält man
an die Summe a
genauso viel, wie
e wenn man vom Elffachen der Zahl 3 subtrahiert. Welche Zahl verbirgt
sich hinter x?
x=5
x + 3 = 8 | –3
3 x + 3 = 2 x + 8 | –2 x
4x–x+3=2x+8
4 x – ((x – 3) = 2 (x + 4)
� Su
Subtrahiert
hiert man vom Vierfachen einer Zahl die Differenz aus der Zahl und 3, so erhält
Doppelte der Summe aus der Zahl und 4. Wie heißt die Zahl?
man das Doppe
subtrahieren,
vermindern
ubtrah
Produkt
Pro
so
s erhält man
Differenz
dividieren, der ... Teil
Quotient
das ...fache, multiplizieren
Summe
addieren
Terme und Gleichungen
� Was bedeuten die Begriffe? Schreibe das entsprechende Rechenzeichen dahinter!
A
Lösungen
10
Lückenhafte
nhafte Gleichungen
Gleic
|
|
– 18
: 13
|
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|
|
|
|
|
|
: (– 6)
– 16 x
|
|
|
: 170
– 66
|
|
|
|
: 18
+ 22
Brigitte Penzenstadler: *OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
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x=4
18 x = 72
18 x – 22 = 50
- 12 x – 22 = - 30 x + 50
- 12 x – 96 + 74 = - 32 x + 68 – 18 + 2 x
+ 30 x
|
+ 68 x
|
Klammern auflösen
zusammenfassen
Klammern auflösen
zusammenfassen
� - 12 • (x + 8) + 74 = - 4 • (8 x – 17) – 18 + 2 x
x=6
170 x = 1020
170 x + 66 = 1086
102 x + 66 = - 68 x + 1086
44 x + 66 + 58 x = - 68 x + 1086
|
nfassen
Klammer auflösen und zusammenfassen
+ 10
|
amm n auflösen
Klammern
enfassen
zusammenfassen
– 111
– 31 x
: (– 139)
|
|
zusam nfassen
zusammenfassen
� 4 • (11 x + 16,5 + 14,5 x) = 4 • (- 17 x + 271,5)
x=5
- 6 x = - 30
- 6 x – 10 = - 40
10 x – 10 = 16 x – 40
� 18 x – 10 – 8 x = 4 • (4 x – 10)
x=1
- 139 x = - 139
- 108 x = 31 x – 139
111 – 108 x = 31 x – 28
18 – 108 x + 93 = 33 x – 28 – 2 x
� 18 • (1 – 6 x) + 93 = 33 x – 2 • (14 + x)
x = 12
13 x = 156
13 x + 18 = 174
� 6 x + 3 x + 18 + 4 x = 168 + 6
Terme
erme und Gleichungen
Welche Umformungen bzw. Rechenoperationen
rationen wurden du
durchgeführt? Ergänze!
A
Gleichungen lösen
|
|
–80
: (–1)
| –18 x
|
|
: 396
+ 486
|
+ 54 x
|
: (–
(–38)
|
– 24
+ 18 x
|
|
–2x
– 27
: (–16)
|
|
Brigitte Penzenstadler:
enstadler: *OHLFKXQJHQ
*OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
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n Verlag
x = 1,25
1
– 16 x = –20
– 14 x = 2 x –20
27 – 14 x = 2 x + 7
35 – 10 x – 8 – 4 x = 2 x + 7
� – 4 • (– 8,75 + 2,5 x + 2 + x) = 4 • (0,5 x + 1,75)
x=1
– 38 x = –38
6 x = –38 – 18 x
– 56
24 – 56 x = – 14 – 18 x
24 – 36 x – 20 x = – 10 – 14 + 17 x + 10 – 35 x
� 12 • (2 – 3 x) – 20 x = –10 – 2 • (7 – 8,5 x) + 5 • (2 – 7 x)
x=8
8
396 x = 3168
396 x – 486 = 2682
342
34 x – 486 = 2682 – 54 x
54 x + 126 x + 162 x –486 = 2898 – 54 x – 216
� x • 54 + 2 x • 63 + 81 • (2 x – 6) = 2898 – 54 • (x + 4)
x = 50
– 1 x = - 50
– 1 x + 80 = 30
17 x + 80 = 18 x + 30
16 x + 80 + x = 24 x – 6 x + 30
� 4 • (4 x + 20) + x = 3 • 8 x – 2 • (3 x – 15)
Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
B
Terme und Gleichungen
Lösungen
11
Gleichungenn aufstelle
aufstellen und lösenn
Terme
erme und Gleichungen
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|
:4
|
+ 40
–3x
|
|
+4
: 58
|
|
+ 30 x
|
:4
|
+6
|
+x
Brigitte Penzenstadler: *OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
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x=6
4 x = 24
4 x – 6 = 18
3 x – 6 = 18 – x
(12 • x) : 4 – 6 = 2 • (9 – 0,5 • x)
� Dividiert man das Zwölffache einer Zahl durch 4 und vermindert den Quotienten um 6, so
erhält man die zweifache Differenz aus 9 und der Hälfte der Zahl. Wie lautet die Zahl?
x=3
58 x = 174
58 x – 4 = 170
28 x – 4 = 170 – 30 x
28 x + 16 – 20 = 170 – 30 x
(7 x + 4) • 4 – 20 = (85 – 15 x) • 2
� Addiert man 4 zum Siebenfachen einer Zahl, multipliziert die Summe
umme mit 4 und vermindert
verminde
das Produkt um 20, so erhält man doppelt so viel , wie wenn man
n das Fünfzehnfache einer
ein
Zahl von 85 subtrahiert. Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
x=8
4 x = 32
7 x = 3 x + 32
7 x – 40 = 3 x – 8
7 x – 35 – 5 = 3 x – 8
7 • (x – 5) – 5 = (6 x – 16) : 2
� Multipliziert man die Differenz aus einer
er Zahl und 5 mi
mit 7 und vermindert das Produktt um 5,
us dem Sechsfachen
echsfache der Zahl und 16. Wie heißt die
so erhält man die Hälfte der Differenz aus
Zahl?
B
Lückenhafte Gleichungen
: (– 45)
|
– 45 x = – 315
x=2
66 x = 22
x= 1
3
66 x + 2 = 24
6 x + 2 = – 60 x + 24
5 x = 10
2,88
x + 10
2
8 x = – 2,12
2
2,88 x + 0,69 = – 2,12 x + 10,69
|
|
: 66
–2
+ 60 x
:5
|
|
+ 2,12 x
|
: 31
– 0,69
|
31 x = 744
+ 360
|
|
– 360 + 31 x = 384
x = 24
|
360 + 30 x = –x + 384
–3
+x
– 378
|
– 45 x + 378 = 63
x=7
– 14 • x
–6x
|
|
Terme und Gleichungen
– 31 x + 378 = 14 x + 63
x=6
7x=6+6x
7 x + 6 = 12 + 6 x
–6
: (– 10)
|
– 10 x = – 10
|
+ 32
|
– 10 x – 32 = – 42
x=1
–5x
|
– 5 x – 32 = 5 x – 42
Brigitte Penzenstadler:
enstadler: *OHLFKXQJHQ
*OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
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�
�
�
�
�
�
Finde die ursprüngliche Gleichung!
B
Lösungen
12
Gleichungen
chungen lö
lösen
|
–3x
– 26
: (– 4)
|
|
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|
: 117
|
|
+ 32 x
+ 215
|
: 17
|
– 20
|
: (– 8)
| –9x
| – 18
|
+7x
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x = 4,5
– 8 x = – 36
– 8 x + 18 = – 18
x + 18 = 9 x – 18
� x + 6 = 12x – 24
3
4
x +6=3x–6 | •3
3
x=5
17 x = 85
17 x + 20 = 105
10 x + 20 = – 7 x + 105
30 x – 15 – 20 x + 35 = 7 x + 75 – 14 x + 30
Terme
rme und Gleichungen
� 10 • ( 3 x – 1,5) – 2 • (10 x – 17,5) = 2 • (3,5 x + 37,5) – 4 • (3,5 x – 7,5)
x=3
117 x = 351
117 x – 215 = 136
85 x – 215 = 136 – 32 x
90 x – 240 + 25 – 5 x = 136 – 32 x
� 5 • (18 x – 48 + 5 – x) = 272 – 64x
2
x = 20
– 4 x = – 80
– 4 x + 26 = – 54
– 1 x + 26 = 3 x – 54
2 x – 4 + 12 – 3 x + 18 = 21 x – 54 – 18 x
� 2 • (x – 2 + 6) – 3 x + 2 • 9 = (7 x – 18) • 3 – 18 x
Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
C
|
–8x
– 16
: (– 1)
|
|
|
•2
)
– 16
|
– 15 x
– 96
: (– 11)
|
|
Brigitte
e Penzenstadl
Penzenstadler: *OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
QJH
© Persen
en Verlag
x=9
– 11 x = – 99
4 x = 15 x – 99
4 x + 96 = 15 x – 3
(
|
� Wenn man die
e Summe aus dem dritten Teil einer gesuchten Zahl und 8 vervierfacht, so
erhält man den
en vierten Teil der Differenz aus dem 20-fachen der Zahl und 4. Wie lautet die
Zahl?
x–4
4 • x + 8 = 20x
3
4
4x + 32 = 5 x – 1 | • 3
3
x=4
20 = x + 16
8
� Subtrah
Subtrahiert man vom Vierfachen einer Zahl die Differenz aus dem Vierfachen der Zahl und 5,
so erhä
erhält man ein V
Viertel der Summe aus der Zahl und 16. Welche Zahl verbirgt sich hinter x?
4 x – (4 x – 5) = x + 16
4
x
+
16
4x–4x+5=
4
5 = x + 16 | • 4
4
x=6
–1 x = – 6
– 1 x + 16 = 10
7 x + 16 = 8 x + 10
5 x – 12 + 2 x + 28 = 8 x + 10
1 (5 x – 12) + (x + 14) = (8 x + 10) : 2
2
1
Gleichungen aufstellen und lösen
Terme und Gleichungen
� Multipliziert man die Differenz aus dem Fünffachen einer Zahl und 12 mit 2 und addiert vom
Ergebnis die Summe aus der Zahl und 14, so erhält man die Hälfte aus dem Achtfachen der
Zahl und 10. Wie heißt die Zahl?
C
Lösungen
13
(
(
) (
) (
)
)
Bruchgleichungen
gleichunge lösen
|
: (– 7)
|
– 25
– 32 x
|
Brigitte Penzenstadler: Gleichungen 7./8. Klasse: Gleichungen lösen
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)
|
– 88
: (– 11)
|
)
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– 60
(
: (– 5)
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–9
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Brigitte Penzenstadler: *OHLFKXQJHQ.ODVVH*OHLFKXQJHQO·VHQ
© Persen Verlag
x=3
9 x = 27
9 + 9 x = 36
9 + 10 x = 36 + 1 x
� 3 • 3 – 1 + 13 = 9 + 1 • 4
x
x 4
9 – 3 + 13 = 36 + 1 | • x
x
x
(
x=4
–20 = – 5 x
40 = 60 – 5 x
15 + 25 = 60 – 5 x
� 5 • 3 + 5 = 5 • 12 – 5
x x
x
15 + 25 = 60 – 5 | • x
x
x
x
(
x=8
– 11 x = –88
– 11 x + 88 = 0
3 x – 10 x + 40 – 12 x + 8 x + 48 = 0
� 3x – 5 • (x – 4) – 3 x + 2 • (x + 6) = 0
4
2
x=7
– x = –49
25 x = 32 x – 49
25 x + 25 = 32 x – 24
� 5 • x + 0,5 = 4x – 3 • 4
2
5
50 x + 0,5 = 4x – 3 • 40
2
5
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Terme
rme und Gleichungen
Lösungen
14
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Bergedorfer
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Abbildungsverzeichnis
Brink, Mele: Waage (Seite 1, 4, 10, 11)
© 2014 Persen Ver
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ag, Hamburg
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Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth
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