- Mathe

Baden-Württemberg: Training Gleichungen
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Pflichtteilaufgaben zu Gleichungen
Baden-Württemberg
Hilfsmittel: keine
allgemeinbildende Gymnasien
Alexander Schwarz
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August 2015
1
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Übungsaufgaben:
Ü1:
Lösen Sie die Gleichung x 3 = 4x
Ü2:
Lösen Sie die Gleichung x 4 − x 2 − 12 = 0
Ü3:
Lösen Sie die Gleichung 2 =
13x
x + 10
2
Ü4:
Lösen Sie die Gleichung e x − 1 e3x − 2 = 0
(
)(
)
Ü5:
Lösen Sie die Gleichung e x + 25e− x = 10
Ü6:
Lösen Sie die Gleichung e5x − e3x = 6e x
Ü7:
Lösen Sie die Gleichung sin(x) ⋅ (cos(x) − 2) = 0 für 0 ≤ x ≤ 2π
Ü8:
2
Lösen Sie die Gleichung ( cos(x)) − 3 cos(x) + 2 = 0 für 0 ≤ x ≤ 2π
2
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Abituraufgaben (Haupttermin)
Aufgabe 1: (Abiturprüfung 2015)
Lösen Sie die Gleichung x 3 − 3x ⋅ e2x − 5 = 0
(
)(
)
Aufgabe 2: (Abiturprüfung 2014)
Lösen Sie die Gleichung x 4 = 4 + 3x 2
Aufgabe 3: (Abiturprüfung 2013)
4
Lösen Sie die Gleichung 2e x − x = 0
e
Aufgabe 4: (Abiturprüfung 2012)
Lösen Sie für 0 ≤ x ≤ 2π die Gleichung sin(x) ⋅ cos(x) − 2 cos(x) = 0 .
Aufgabe 5: (Abiturprüfung 2011)
Lösen Sie die Gleichung 4e2x + 6e x = 4 .
Aufgabe 6: (Abiturprüfung 2009)
(
)(
)
Lösen Sie die Gleichung 2x 2 − 8 ⋅ e 2x − 6 = 0 .
Aufgabe 7: (Abiturprüfung 2008)
6
1
Lösen Sie die Gleichung
+
= 1 ( x ≠ 0 ).
4
x
x2
Aufgabe 8: (Abiturprüfung 2007)
Lösen Sie die Gleichung e x − 2 −
15
=0.
ex
Aufgabe 9: (Abiturprüfung 2005)
Lösen Sie die Gleichung x 5 − 3 x 3 − 4 x = 0 .
Aufgabe 10: (Abiturprüfung 2004)
Lösen Sie die Gleichung e 4 x − 11e 2 x + 18 = 0 .
3
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Lösungen
Ü1:
x 3 = 4x
(
)
⇒ x 3 − 4x = 0 ⇒ x ⋅ x 2 − 4 = 0
Satz vom Nullprodukt:
Gleichung I) x = 0
Gleichung II) x 2 − 4 = 0 ⇒ x = ±2
Lösungsmenge L = {0 ; -2 ; 2}
Ü2:
x 4 − x 2 − 12 = 0
Substitution: u = x 2
Daraus ergibt sich die Gleichung u2 − u − 12 = 0
1 ± 1 − 4 ⋅ ( −12) 1 ± 7
=
2
2
⇒ u1 = 4 , u2 = −3
⇒ u1,2 =
Rücksubstitution: x 2 = 4 ⇒ x = ±2
x 2 = −3 ⇒ Gleichung ist nicht lösbar
Lösungsmenge L = {-2 ; 2}
Ü3:
2=
13x
| ⋅(x 2 + 10)
x + 10
2
2(x 2 + 10) = 13x
⇒ 2x 2 − 13x + 20 = 0
13 ± 169 − 4 ⋅ 2 ⋅ 20 13 ± 3
=
4
4
⇒ x1 = 4 , x 2 = 2,5
⇒ x1,2 =
Lösungsmenge L = {4 ; 2,5}
Ü4:
(e
x
)(
)
− 1 e3x − 2 = 0
Satz vom Nullprodukt:
Gleichung I): e x − 1 = 0 ⇒ x = ln(1) = 0
Gleichung II): e3x − 2 = 0 ⇒ e3x = 2 ⇒ 3x = ln(2) ⇒ x =
Lösungsmenge L = {0,
ln(2)
}
3
4
ln(2)
3
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Ü5:
e x + 25e− x = 10
25
= 10 | ⋅e x
x
e
+ 25 = 10e x ⇒ e2x − 10e x + 25 = 0
⇒ ex +
⇒ e2x
Substitution: u = e x
Daraus ergibt sich die Gleichung u2 − 10u + 25 = 0
10 ± 100 − 4 ⋅ 25 10 ± 0
⇒ u1,2 =
=
⇒ u1,2 = 5
2
2
Rücksubstitution: e x = 5 ⇒ x = ln(5)
Lösungsmenge L = { ln(5) }
Ü6:
e5x − e3x = 6e x
⇒ e5x − e3x − 6e x = 0
⇒ e x ⋅ (e 4x − e2x − 6) = 0
Satz vom Nullprodukt:
Gleichung I): e x = 0 Gleichung ist nicht lösbar
Gleichung II): e 4x − e2x − 6 = 0 Substitution: u = e2x
Daraus ergibt sich die Gleichung u2 − u − 6 = 0
1 ± 1 − 4 ⋅ ( −6) 1 ± 5
⇒ u1 = 3 , u2 = −2
=
2
2
ln(3)
Rücksubstitution: e2x = 3 ⇒ 2x = ln(3) ⇒ x =
2
2x
e = −2 Gleichung ist nicht lösbar
u1,2 =
Lösungsmenge L = {
ln(3)
}
2
Ü7:
sin(x) ⋅ (cos(x) − 2) = 0 für 0 ≤ x ≤ 2π
Satz vom Nullprodukt:
Gleichung I): sin(x) = 0 ⇒ x = 0 oder x = π oder x = 2π
Gleichung II): cos(x) − 2 = 0 ⇒ cos(x) = 2 Gleichung ist nicht lösbar
Lösungsmenge L = {0; π;2π}
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Ü8:
( cos(x))
2
− 3 cos(x) + 2 = 0 für 0 ≤ x ≤ 2π
Substitution: u = cos(x)
3 ± 9 − 4⋅2 3 ±1
=
2
2
⇒ u1 = 2 , u2 = 1
Daraus ergibt sich die Gleichung u2 − 3u + 2 = 0 ⇒ u1,2 =
Rücksubstitution: cos(x) = 2 Gleichung ist nicht lösbar
cos(x) = 1 ⇒ x = 0 oder x = 2π
Lösungsmenge L = {0;2π}
Aufgabe 1:
x 3 − 3x ⋅ e2x − 5 = 0
(
)(
)
Anwendung des Satzes vom Nullprodukt:
Gleichung I) x 3 − 3x = 0 ⇒ x ⋅ x 2 − 3 = 0
(
)
Daraus folgt x1 = 0 ; x 2 = 3 ; x 3 = − 3
Gleichung II) e2x − 5 = 0 ⇒ e2x = 5 ⇒ 2x = ln(5) ⇒ x =
Lösungsmenge L = {0 ; − 3 ; 3 ;
ln(5)
2
ln(5)
}
2
Aufgabe 2:
Zunächst wird die Gleichung gleich Null gesetzt: x 4 − 3x 2 − 4 = 0
Mit der Substitution x 2 = u folgt: u2 − 3u − 4 = 0
Anwendung der Lösungsformel: u1,2 =
3 ± 9 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −4) 3 ± 5
=
⇒ u1 = 4 und u2 = −1
2
2
Rücksubstitution: x 2 = 4 ⇒ x = ±2
x 2 = −1 ergibt keine Lösung.
Lösungsmenge L = {-2; 2}
Aufgabe 3:
4
2e x − x = 0 | ⋅e x
e
⇒ 2e2x − 4 = 0
⇒x=
⇒ 2e2x = 4
1
⋅ ln(2)
2
6
⇒ e2x = 2
⇒ 2x = ln(2)
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Aufgabe 4:
Ausklammern von cos(x) ergibt: cos(x) ⋅ ( sin(x) − 2 ) = 0
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt: cos(x) = 0 oder sin(x) − 2 = 0
π
3
cos(x) = 0 ⇒ x = oder x = π
2
2
sin(x) − 2 = 0 ⇒ sin(x) = 2 ist nicht lösbar (da sin(x) maximal 1 werden kann)
Lösungsmenge: L = {
π 3
, π}
2 2
Aufgabe 5:
4e2x + 6e x = 4 ⇔ 4e2x + 6e x − 4 = 0 ⇔ 2e2x + 3e x − 2 = 0
Substitution: u = e x
Daraus folgt 2u2 + 3u − 2 = 0
Lösung der quadratischen Gleichung: u1,2 =
−3 ± 9 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2) −3 ± 5
=
4
4
u1 = 0,5 und u2 = −2
Rücksubstitution: 0,5 = e x ⇒ x = ln(0,5)
−2 = e x daraus ergibt sich keine Lösung.
Lösungsmenge: L = { ln(0,5) }
Aufgabe 6:
(2x 2 − 8)⋅ (e 2x − 6) = 0
Das Produkt ist genau dann 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ergibt:
1.Faktor: 2x 2 − 8 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2
2.Faktor: e 2 x − 6 = 0 ⇔ e 2 x = 6 ⇔ 2x = ln 6 ⇔ x =
Lösungsmenge: L = { 2 ; -2 ;
1
ln 6
2
1
ln 6 }
2
Aufgabe 7:
6
x
4
1
+
x
2
= 1 | ⋅x 4
2
6 + x = x4 ⇒ x4 − x2 − 6 = 0
1 ± 1 + 24 1 ± 5
Substitution: u = x 2 ⇒ u 2 − u − 6 = 0 ⇒ u1,2 =
=
2
2
Daraus folgt u1 = 3 und u 2 = −2
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Rücksubstitution: x 2 = 3 ⇒ x = ± 3
x 2 = −2 ⇒ nicht rücksubstituierbar
Daraus folgt L = {
3 ,− 3 }
Aufgabe 8:
ex − 2 −
15
=0
ex
Zunächst wird mit e x durchmultipliziert, um den Bruch aufzulösen:
⇒ e 2 x − 2e x − 15 = 0
Substitution: u = e x ⇒ u 2 − 2u − 15 = 0 ⇒ u1,2 =
2 ± 4 + 60 2 ± 8
=
2
2
u1 = 5 und u 2 = −3
Rücksubstitution: e x = 5 ⇒ x = ln 5
e x = −3 ⇒ nicht lösbar und somit Lösungsmenge: L = { ln 5 }
Aufgabe 9:
x 5 − 3 x 3 − 4 x = 0 ⇒ x ⋅ ( x 4 − 3 x ² − 4) = 0
Da x ausgeklammert werden kann, gilt x 1 = 0 .
Nun muss noch die Gleichung x 4 − 3 x ² − 4 = 0 gelöst werden. Es handelt sich dabei um
eine biquadratische Gleichung, die mit Hilfe der Substitution gelöst wird:
x 2 = u ⇒ u² − 3u − 4 = 0
3 ± 9 + 16 3 ± 5
u1,2 =
=
und damit u1 = 4 und u 2 = −1
2
2
Rücksubstitution: u1 = 4 ⇒ 4 = x ² ⇒ x = ±2
u 2 = −1 ⇒ −1 = x ² kann nicht gelöst werden.
Also Lösungsmenge L = { 0; -2; 2}
Aufgabe 10:
e 4 x − 11e 2 x + 18 = 0
Substitution: e 2 x = u
Daraus folgt: u2 − 11⋅ u + 18 = 0 ⇒ u1,2 =
11 ± 121 − 72 11 ± 7
=
damit u1 = 9 , u 2 = 2
2
2
1
ln9 = ln90,5 = ln3
2
1
⇒ x 2 = ln 2
2
Rücksubstitution: 9 = e2x ⇒ x1 =
2 = e 2x
8

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