Reflexion von Querwellen ¨Ubersicht

Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
Reflexion von Querwellen
Übersicht
1 Einführung
1
2 Reflexion von Querwellen an einem Ende
2.1 Reflexion am festen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2.2
2.3
Reflexion am losen Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeichnerische Darstellung der Resultierenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
2.3.1
2.3.2
Festes Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loses Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
3 Reflexion von Querwellen an zwei Enden
3.1 Stehende Wellen bei Reflexion an zwei festen Enden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
3.2
3.3
Stehende Wellen bei Reflexion an zwei losen Enden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stehende Wellen bei Reflexion an festem und losem Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
8
9
www.PhysikLV.net
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
1 Einführung
Nun haben wir bereits genug von der Ausbreitung von Wellen gelernt, doch was passiert eigentlich,
wenn Wellen auf ein Hindernis stoßen?
Treffen Wellen auf ein solches, so werden sie daran reflektiert. Neben den Phänomenen Brechung, Beugung, Streuung und Absorption spielt besonders die Reflexion eine große Rolle.
Diesen Vorgang kennst du in deiner Alltagserfahrung beispielsweise von spiegelnden Oberflächen oder
dem Echo. Auch bei der wissenschaftlichen Erkundung des Meeresbodens durch Sonar oder der Akustik spielen Reflexionen eine große Rolle und sind heutzutage unerlässlich.
Quelle: wikipedia.org - Oregon’s Mt. Hood Territory (public domain)
Quelle: wikipedia.org - Knandi (public domain)
2 Reflexion von Querwellen an einem Ende
Trifft beispielsweise eine Schallwelle auf eine Bergwand, so versperrt diese den weiteren Weg zur Ausbreitung. Die Welle wird also u.a. von dieser Wand reflektiert und läuft den Weg, den sie gekommen ist,
wieder zurück. Dadurch kann der Sender der Schallwelle diese als Echo wahrnehmen.
Generell kehrt sich bei einer Reflexion die Richtung der Ausbreitungsgeschwindigkeit c um. Eine im
Folgenden nach rechts einlaufende Welle wird also nach links reflektiert.
2.1 Reflexion am festen Ende
Reflexion am festen Ende tritt immer dann auf, wenn das letzte Teilchen des Wellenträgers fest am Hindernis angebracht ist und sich nicht bewegen kann.
Läuft eine Störung auf ein festes Ende zu, so erreichen die letzten Schwingungsteilchen nicht mehr die
volle Auslenkung, da sie das letzte, am Hindernis gebundene, Teilchen nicht bewegen können:
c
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
c
y(t1)
y(t2)
x
x
Seite 1/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
Wie du im zweiten Bild erkennen kannst, zieht das letzte Teilchen das vorletzte Teilchen des Wellenträgers umso stärker und ruckartiger in Richtung Ausgangslage zurück, da die Verbindung zwischen
diesen Teilchen sonst zu stark gespannt wäre. Es wird also nach unten beschleunigt und zieht die anderen Teilchen hinter sich her.
Die Teilchen durchqueren schließlich die Ausgangslage und schlagen dann in entgegengesetzter Richtung aus:
c
c
y(t3)
y(t4)
x
x
c
c
y(t5)
y(t6)
x
x
Die Auslenkung bzw. die Schnelle v wird also umgekehrt. Das bedeutet, dass bei einer Welle aus einem
Wellenberg ein Wellental wird.
Diese ganze Umkehrung erfolgt sehr schnell und wird daher als Phasensprung um π = 180◦ bezeichnet.
Diese Bezeichnung kannst du nachvollziehen, wenn du dir das Zeigermodell des drittletzten Teilchens
von den schnell aufeinander folgenden Zeitpunkten t2 und t6 ansiehst:
t2
t6
2.2 Reflexion am losen Ende
Reflexion am losen Ende tritt dann auf, wenn das letzte Teilchen des Wellenträgers nicht am Hindernis
angebracht, sondern frei beweglich ist.
Da das letzte Teilchen frei beweglich ist, besitzt es keinen Nachfolger, der es beim Ankommen einer
Störung am Hindernis in Richtung Ausgangslage zieht. Im Gegenteil erfährt das letzte Teilchen sogar
die volle Kraft durch das vorletzte Teilchen, die es noch stärker ausschlagen lässt. Dieses Mitziehen
bildet hierbei eine neue Schnelle v, die ihre Richtung beibehält:
c
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
c
y(t1)
y(t2)
x
x
Seite 2/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
c
y(t3)
x
Nach der Reflexion läuft also die Welle genau so wieder zurück, wie sie eingelaufen ist.
Ein Wellenberg bleibt also bei der Reflexion am losen Ende ein Wellenberg und die Welle an sich erfährt
keinen Phasensprung.
c
c
y(t )
y(t6)
x
x
Beim freien Ende wird die Richtung der Ausbreitungsgeschwindigkeit c natürlich ebenfalls umgekehrt.
2.3 Zeichnerische Darstellung der Resultierenden
Beim Zeichnen einer durch Reflexion resultierenden Welle gibt es kleine Tricks, die dir die Konstruktion
wesentlich vereinfachen können.
Zeichnen wir die einlaufende Welle über das Hindernis hinaus, so kann man leicht durch Spiegelung
auf die reflektierte Welle schließen.
2.3.1 Festes Ende
Bei einer Reflexion am festen Ende können wir die reflektierte Welle durch eine Punktspiegelung der
über das Hindernis hinaus gezeichneten Welle konstruieren.
Die resultierende Welle erhältst du dann durch Addition der hin- und der rücklaufenden Welle.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
Seite 3/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
Beispiel 1: Auslöschung
Einlaufende Welle über das Ende hinaus zeichnen:
y ( t1 , x )
1
1
2
−1
3
4
5
6
7
5
6
7
x
c
Punktspiegeln am Hindernis:
y ( t1 , x )
c
1
1
−1
2
3
4
x
c
Alternativ kannst du auch zuerst an der x-Achse und dann am Hindernis eine Achsenspiegelung durchführen:
y ( t1 , x )
c
1
1
−1
2
3
4
5
6
7
x
c
Die reflektierte Welle ist die nach links laufende, blaue gestrichelte Welle.
Nach dem Superpositionsprinzip überlagern sich nun die einlaufende und die reflektierte Welle. Hierbei entsteht eine stehende Welle.
Nähere Informationen zur stehenden Welle findest du im Wellen-Skript Wellenformen “.
”
Die resultierende Welle erhältst du nun also durch Addition der Einlaufenden mit der Reflektierten:
y ( t1 , x )
1
1
−1
2
3
4
5
6
7
x
c
Eine solche Reflexion führt also zu einer Auslöschung der einlaufenden Welle.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
Seite 4/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
Beispiel 2: Verstärkung
Alternativ könntest du nun das Hindernis um 0,5 Längeneinheiten verschieben:
y ( t1 , x )
1
1
−1
2
3
4
5
6
7
6
7
x
c
Punktspiegeln am Hindernis führt erneut auf die reflektierte Welle:
y ( t1 , x )
c
1
1
−1
2
3
4
5
x
c
Wie du erkennen kannst ergibt sich bei der Addition der einlaufenden und der reflektierten Welle nun
keine Auslöschung mehr, sondern eine Verstärkung:
y ( t1 , x )
1
1
−1
2
3
4
5
6
7
x
c
−2
Den beiden Beispielen kannst du entnehmen, dass bei einer Reflexion am festen Ende immer ein Knotenpunkt am Hindernis vorliegt.
Das letzte Teilchen des Wellenträgers ist also dauernd in Ruhe.
2.3.2 Loses Ende
Bei einer Reflexion am losen Ende können wir die reflektierte Welle durch eine Achsenspiegelung der
über das Hindernis hinaus gezeichneten Welle konstruieren.
Die resultierende Welle erhältst du dann erneut durch Addition der hin- und der zurücklaufenden
Welle.
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
Seite 5/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
Beispiel:
Dieselbe einlaufende Welle wie oben im 1. Beispiel zeichnest du über das Ende hinaus:
y ( t1 , x )
1
1
−1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
x
c
−2
Achsenspiegelung am Hindernis:
y ( t1 , x )
1
1
−1
2
c
x
c
−2
Die reflektierte Welle ist die nach links laufende, blaue gestrichelte Welle. Sie liegt gerade über der einlaufenden Welle.
Nach dem Superpositionsprinzip überlagern sich diese Wellen nun. Hierbei entsteht eine stehende Welle.
Nähere Informationen zur stehenden Welle findest du im Wellen-Skript Wellenformen “.
”
Die resultierende Welle erhältst du nun also durch Addition der Einlaufenden mit der Reflektierten:
y ( t1 , x )
1
1
−1
2
3
4
5
6
7
x
c
−2
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
Seite 6/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
3 Reflexion von Querwellen an zwei Enden
Die Wellen können nicht nur an einem Ende reflektiert werden, sondern auch an zweien. Sie sind sozusagen eingesperrt “und laufen immer hin- und her. Es bildet sich hierbei ein Chaos aus viele hin- und
”
zurücklaufende Wellen die sich alle überlagern.
Nur in Sonderfällen kommt es hierbei ebenfalls zu stehenden
Wellen. Dies ist gerade bei den sogenannten Eigenenfrequenzen der Fall, welche ausschließlich von der Länge des Wellenträgers abhängen.
Stehende Wellen durch Reflexion an zwei festen Enden treten
unter anderem bei Saiteninstrumenten wie Geigen oder Gitarre auf. Sie sorgen dafür, dass diese Instrumente überhaupt
Töne von sich geben.
Quelle:
wikipedia.org - F. Bergsma (CC BY-SA 3.0)
3.1 Stehende Wellen bei Reflexion an zwei festen Enden
Zwei feste Enden bedeutet, dass die eingeschlossene Welle an beiden Enden einen Knoten aufweisen
muss. Daher sind nur bestimmte Eigenfrequenzen möglich.
Die einfachste ist hierbei die Welle mit einem Bauch und zwei Knoten. Hierbei ist die Wellenlänge λ
gerade doppelt so groß wie die Länge l des Wellenträgers.
λ
⇐⇒ λ = 2 · l
2
Sie sieht bei den Zeitpunkten ti mit i = 1, 2, 3 folgendermaßen aus:
l=
y ( ti , x )
t1 = 0
1
2
3
T
4
T
t3 = t1 +
2
t2 = t1 +
x
4
−1
Aus λ = 2 l lässt sich nun noch über c = λ · f die Schwingungsfrequenz beschreiben:
c
f0 =
2l
Diese nennt man auch Grundfrequenz.
In der Akustik findet man hierfür auch die Bezeichnung Grundschwingung.
Weitere stehende Wellen bilden sich bei der 1. und 2. Oberschwingung aus.
Hierbei nimmt jeweils die Anzahl Bäuche und Knoten um eins zu.
y ( ti , x )
y ( ti , x )
1
2
3
4
x
1
−1
2
3
4
x
−1
2 Bäuche, 3 Knoten
λ=l
⇐⇒
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
3 Bäuche, 4 Knoten
c
f0 = 2 ·
2l
2
λ = ·l
3
⇐⇒
Seite 7/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
f0 = 3 ·
c
2l
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
Generell gilt also für stehende Wellen bei zwei festen Enden:
Bäuche
Knoten
k
k+1
Wellenlänge
λ=
Frequenz
2
·l
k
f0 = k ·
Eigenschwingung
c
2l
(k − 1) - te Oberschwingung
3.2 Stehende Wellen bei Reflexion an zwei losen Enden
Zwei lose Enden bedeuten, dass die eingeschlossene Welle an beiden Enden einen Schwingungsbauch
aufweisen muss. Auch hier sind nur bestimmte Eigenfrequenzen möglich.
Die einfachste ist hierbei die Welle mit zwei Bäuchen und einem Knoten. Hierbei ist die Wellenlänge λ
gerade doppelt so groß wie die Länge l des Wellenträgers.
λ
⇐⇒ λ = 2 · l
2
Die Grundfrequenz ist in diesem Fall ebenfalls:
c
f0 =
2l
l=
Die Welle sieht zu den Zeitpunkten ti mit i = 1, 2, 3 folgendermaßen aus:
t1 = 0
y ( ti , x )
1
2
3
x
4
−1
t2 = t1 +
T
4
t3 = t1 +
T
2
Die Kurven der 1. und 2. Oberschwingung erscheinen bei zwei losen Enden folgendermaßen:
y ( ti , x )
y ( ti , x )
1
2
3
4
x
1
−1
2
3
4
x
−1
3 Bäuche, 2 Knoten
λ=l
⇐⇒
f0 = 2 ·
4 Bäuche, 3 Knoten
c
2l
λ=
2
·l
3
⇐⇒
f0 = 3 ·
c
2l
Es gilt also für stehende Wellen bei zwei losen Enden:
Bäuche
Knoten
k+1
k
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
Wellenlänge
λ=
2
·l
k
Frequenz
f0 = k ·
c
2l
Eigenschwingung
(k − 1) - te Oberschwingung
Seite 8/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net
Baden-Württemberg | Abitur
P HYSIK
Basiswissen | Aufgaben und Lösungen
Dein Lernverzeichnis
◮ Mechanische Wellen | Reflexion von Querwellen
PhysikLV-Skript
3.3 Stehende Wellen bei Reflexion an festem und losem Ende
Natürlich ist auch ein Welleträger denkbar, bei dem ein festes und ein loses Ende vorliegt. Hierbei
kommt es dann eben zu einem Schwingungsknoten am festen und einem Schwingungsbauch am losen Ende. Auch hier sind um stehende Wellen zu erzeugen nur bestimmte Eigenfrequenzen möglich.
Die einfachste ist hierbei die Welle mit einem Bauch und einem Knoten. Hierbei ist die Wellenlänge λ
viermal so groß wie die Länge l des Wellenträgers.
λ
⇐⇒ λ = 4 · l
4
Sie sieht bei den Zeitpunkten ti mit i = 1, 2, 3 folgendermaßen aus:
l=
t1 = 0
y ( ti , x )
festes Ende
loses Ende
1
2
3
x
4
−1
t2 = t1 +
T
4
t3 = t1 +
T
2
Die Kurven der 1. und 2. Oberschwingung erscheinen bei einem losen und einem festen Ende folgendermaßen:
y ( ti , x )
y ( ti , x )
1
2
3
4
x
1
−1
2
3
4
x
−1
2 Bäuche, 2 Knoten
λ=
4
·l
3
⇐⇒
3 Bäuche, 3 Knoten
f0 = 3 ·
c
4l
λ=
4
·l
5
⇐⇒
f0 = 5 ·
c
4l
Es gilt also für stehende Wellen bei einem losen und einem festen Ende:
Bäuche
Knoten
k
k
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
Wellenlänge
λ=
4
·l
(2 k − 1)
Frequenz
f 0 = (2 k − 1) ·
Eigenschwingung
c
4l
(k − 1) - te Oberschwingung
Seite 9/9
Vervielfältigung nur innerhalb einer Lehrer-/Klassen- oder Schullizenz und mit Hinweis auf PhysikLV erlaubt.
www.PhysikLV.net

Download Report