Waagerechtes Federpendel ¨Ubersicht

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◮ Mechanische Schwingungen | Waagerechtes Federpendel
PhysikLV-Skript
Waagerechtes Federpendel
Übersicht
1 Einführung
1
2 Waagerechtes Federpendel
2
c Karlsruhe 2013 | SchulLV | Thomas Lauber
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◮ Mechanische Schwingungen | Waagerechtes Federpendel
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1 Einführung
Federn können auf viele verschiedene Weisen miteinander kombiniert werden, was zu vielen verschiedenen Anwendungsmöglichkeiten führen kann.
Bei einem waagerechten Federpendel wird dabei ein schwingender Körper von zwei Federn umgeben.
Je nach Auslenkung wirken verschiedenste Kräfte auf den Körper in deren Mitte. Dies kann zum Beispiel puffernde Wirkung haben um verschiedenste wirkende Kräfte zu minimieren.
Eine bekannte und sehr wichtige Anwendung dafür ist zum Beispiel das Prinzip der Schwingungstilger.
Diese Dämpfer sind unter anderem in großen Brücken, in elektrischen Überlandleitungen oder in sehr
hohen Gebäuden, wie etwa dem Berliner Fernsehturm oder dem Taipeh 101 Wolkenkratzer, verbaut.
Der Nutzen solcher Tilger ist, dass sie mit einer Verzögerung der Bewegung des Objektes folgen, ihm
also hinterher schwingen und dabei der angreifenden Kraft, wie etwa dem Wind oder starken Erdbeben,
entgegen wirken.
Im taiwanesischen Taipeh 101, dem drittgrößten Gebäude Asiens, sorgt etwa der einzige öffentlich
zugängliche Schwingungstilger, eine 660 Tonne schwere Stahlkugel, dafür, dass der Wolkenkratzer bei
den zum Teil sehr starken Taifunen und Erdbeben nicht ins Wanken gerät.
Quelle:
Quelle:
wikipedia.org - Armand du Plessis (CC BY-SA 3.0)
wikipedia.org - SElefant (CC BY-SA 3.0)
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2 Waagerechtes Federpendel
Das waagerechte Federpendel besteht aus einem schwingenden Körper, genannt Schlitten, der reibungsfrei auf einer Bahn hin und her schwingt. Für die Schwingung sorgen die an den beiden Enden
des Schlittens befestigten Federn. Den Versuchsaufbau kannst du dir folgendermaßen vorstellen:
F1
F2
D1
- s1
D2
GG-Lage
s2
Auf der x-Achse ist hier die posivitve Richtung nach rechts abgetragen und s = 0 sei die Gleichgewichtslage (GG-Lage).
In dieser Gleichgewichtslage bezeichnen jeweils s1 und s2 die Verlängerung der beiden Federn, mit
den Federkonstanten D1 und D2 , aus der entspannten Lage. Diese Verlängerung führt dazu, dass sich
Spannkräfte aufbauen, die den Schlitten nach außen ziehen. Daher wirken auf den Schlitten zwei Kräfte
in waagrechter Richtung. Da die eine Kraft nach rechts und die andere Kraft nach links zieht, wirken
sich die beiden Kräfte gerade entgegen. In der Gleichgewichtslage herrscht ein Kräftegleichgewicht
und aus dem Hookschen Gesetz folgt:
−
→ −
→
F1 + F2 = 0
D1 · (−s1 ) + D2 · s2 = 0
D2 · s2 = D1 · s1
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Erfolgt nun eine Auslenkung um s < s2 aus der Gleichgewichtslage nach rechts, so zieht die linke Feder
nach links (in negativer Richtung) und die rechte Feder zieht nach rechts (in positiver Richtung), da sie
noch nicht in ihrer entspannten Lage angekommen ist:
F1
F2
D2
D1
- s1
GG-Lage
s
s2
Die nach rechts wirkende Kraft wird also abgeschwächt und die nach links wirkende Kraft verstärkt. Es
ergibt sich also eine resultierende Kraft auf den Schlitten:
Nach rechts wirkt die Kraft: F1 = − D1 · (s1 + s)
und nach links:
F2 = − D2 · (−s2 + s)
Als resultierende Kraft ergibt sich daher:
Fres = F1 + F2
= − D1 · (s1 + s) − D2 · (−s2 + s)
= − D1 s1 + D2 s2 − D1 s − D2 s
Aus dem Kräftegleichgewicht wissen wir noch, dass
F1 + F2 = 0
D1 · (−s1 ) + D2 · s2 = 0
− D1 s1 + D2 s2 = 0
Damit folgt also für die resultierende Kraft:
Fres
0
z
}|
{
= − D1 s1 + D2 s2 − D1 s − D2 s
= −( D1 + D2 ) · s
| {z }
D
Für die Gesamtfederkonstante D gilt daher bei einem waagerechten Federpendel:
D = D1 + D2
Darüber hinaus ergibt sich gerade das Hooksche Kraftgesetz:
Fres = − D · s
Mit diesem Gesetz lässt sich erneut eine Differentialgleichung aufstellen:
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Fres (t) = − D · s(t)
m · a(t) = − D · s(t)
m · s̈(t) = − D · s(t)
D
s̈(t) = − · s(t)
m
Diese Differentialgleichung wird gerade wieder durch folgende Funktion der harmonischen Schwingung gelöst:
s(t) = b
s · sin(ω · t + ϕ0 )
mit ω =
r
D
m
Hierbei beschreibt b
s die Amplitude, also gerade die nach links oder rechts ausgelenkte Strecke aus der
Gleichgewichtslage.
Mit der allgemeinen Definition der Kreisfrequenz ω =
m · ω2 = D
ω=
2π
=
T
2π
und der Definition der Federkonstanten
T
folgt umgeformt nach ω:
r
D
m
Hiermit ergibt sich für die Periodendauer T:
r
2π
D
=
T
m
r −1
T
D
=
2π
m
r
m
T = 2π ·
D
Die Periodendauer T ist also nur abhängig von der Masse m des Schlitten und der Gesamtfederkonstante D = D1 + D2 der beiden Federn.
Darüber hinaus lässt sich der Phasenwinkel ϕ berechnen, wenn der Startpunkt s(0) = s0 bekannt ist.
Es folgt dann gerade:
s(0) = sin(ω · 0 + ϕ0 )
= sin( ϕ0 )
Diese Betrachtung kann häufig hilfreich sein. Da
π
sin( x + ) = cos( x )
2
π
gilt, lässt sich ein Nullphasenwinkel ϕ0 von nämlich dahingehend umformen, dass sich die Lösungsformel
2
in der Differentialgleichung zu Folgendem vereinfacht:
s(t) = b
s · sin(ω · t + ϕ0 )
=b
s · sin(ω · t +
π
)
2
s(t) = b
s · cos(ω · t)
Immer also, wenn die Schwingung aus einem der beiden Umkehrpunkte beginnt, kannst du zur
Einfachheit den Kosinus verwenden.
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