Schwach nichtlineare dispersive Wellen und Modulationstheorie

Schwach nichtlineare dispersive Wellen und
Modulationstheorie
Vortrag im Bachelorseminar "Modellierung und Analysis von Wellen" bei
Prof. Dr. Herrmann
Marvin Strätz
25. Juni 2015
In dieser Ausarbeitung zu meinem Vortrag vom 2./9.6.2015 wird die Methode der vielfachen Skalen zur Approximation von klein-amplitudigen Lösungen von nichtlinearen dispersiven Wellengleichungen eingeführt. Es wird
an drei verschiedenen Beispielen die nichtlineare Schrödinger-Gleichung als
Modellgleichung für die Amplitude hergeleitet. Die Referenz für den ganzen
Vortrag ist [Peter D. Miller, Applied Asymptotic Analysis].
Inhaltsverzeichnis
1 Die
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
schwach-nichtlineare Sine-Gordon-Gleichung
Herleitung der schwach-nichtlinearen Sine-Gordon-Gleichung
Asymptotischer Lösungsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Methode der vielfachen Skalen . . . . . . . . . . . . . . .
Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . .
Solitonenlösungen der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung . .
2
2
2
4
6
6
2 Die schwach-nichtlineare Korteweg-de-Vries-Gleichung
2.1 Herkunft der schwach-nichtlinearen KdV-Gleichung . . . . . .
2.2 Methode der vielfachen Skalen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
3 Die schwach-nichtlineare modifizierte Korteweg-de-Vries-Gleichung 10
1
1
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE SINE-GORDON-GLEICHUNG
1 Die schwach-nichtlineare Sine-Gordon-Gleichung
1.1 Herleitung der schwach-nichtlinearen Sine-Gordon-Gleichung
Wir betrachten die Sine-Gordon-Gleichung
∂2ϕ ∂2ϕ
−
+ sin(ϕ) = 0
∂t2
∂x2
(1)
in einer Zeit- und Raumdimension, also ϕ = ϕ(x, t), x ∈ R, t ∈ R. Dies
ist eine nichtlineare Differentialgleichung mit der trivialen formalen Lösung
ϕ ≡ 0. Wir möchten kleine Störungen dieser Lösung betrachten und setzen
ϕ(x, t) := εu(x, t), ε > 0, wobei ε nahe bei 0 liegen soll. Setzen wir dies in 1
ein und teilen durch ε, so erhalten wir die schwach-nichtlineare Sine-GordonGleichung:
∂2u ∂2u 1
− 2 + sin(εu) = 0
(2)
∂t2
∂x
ε
Der schwach-nichtlineare Ausdruck 1ε sin(εu) kann als Störungsterm einer
linearen dispersiven Wellengleichung betrachtet werden, was wir nun ausnutzen werden.
1.2 Asymptotischer Lösungsansatz
Mit einer Taylorentwicklung um 0 wird der dritte Term in 2 zu:
1
ε2
sin(εu) = u − u3 + O(ε3 )
ε
6
(3)
Wir suchen nun mit einem asymptotischen Ansatz Lösungen von 2 in der
folgenden Form:
u = u0 + εu1 + ε2 u2 + O(ε3 )
(4)
Die Formeln 3 und 4 eingesetzt in 2 ergeben
!
∂ 2 u0 ∂ 2 u0
∂ 2 u1 ∂ 2 u1
−
+
u
+
ε
−
+ u1
0
∂t2
∂x2
∂t2
∂x2
+ε
2
∂ 2 u2 ∂ 2 u2
u30
−
+
u
−
2
∂t2
∂x2
6
!
!
= O(ε3 )
(5)
Wir möchten eine approximative Lösung finden, indem wir die drei Klammern nacheinander betrachten. Zunächst versuchen wir, die Gleichung nullter
ε-Ordnung
∂ 2 u0 ∂ 2 u0
−
+ u0 = 0
(6)
∂t2
∂x2
zu lösen. Eine mögliche formale Lösung ist
u0 (x, t) = Aei(κx−ωt) + A∗ e−i(κx−ωt)
2
(7)
1
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE SINE-GORDON-GLEICHUNG
mit der komplexwertigen Amplitude A (wobei A∗ deren Komplex-Konjugierte
darstellt), falls
ω 2 = κ2 + 1
(8)
gilt. Dies ist die Dispersionsrelation der linearen dispersiven Wellengleichung
6. Die Ableitungen von u0 sind nämlich:
∂u20
∂t2
∂u20
∂x2
= −ω 2 Aei(κx−ωt) − ω 2 A∗ e−i(κx−ωt) = −ω 2 u0
(9)
= −κ2 Aei(κx−ωt) − κ2 A∗ e−i(κx−ωt) = −κ2 u0
(10)
und damit
∂ 2 u0 ∂ 2 u0
−
+ u0 = −ω 2 u0 + κ2 u0 + u0 = 0
(11)
∂t2
∂x2
Wir setzen unsere Lösung 7 für u0 in 5 ein und fahren fort mit u1 . Hierfür
wählen wir u1 ≡ 0, um in einem sehr einfachen nichtlinearen Fall zu bleiben. Wir werden jetzt sehen, dass unser asymptotischer Ansatz im nächsten
Schritt instabile Lösungen produziert. Setzen wir nämlich nun auch u1 in 5
ein, so bleibt nur die Gleichung für u2 :
∂ 2 u2 ∂ 2 u2
u30
1
−
+
u
=
= (A3 e3iθ + A2 A∗ eiθ + ∗)
2
2
2
∂t
∂x
6
6
(12)
mit θ = κx−ωt. ∗ soll hier für die Komplex-Konjugierte aller davorstehenden
Terme stehen. Die rechte Seite der Gleichung 12 ist nun also nicht Null, sondern enthält ebenfalls Terme, die von x und t abhängen. Terme der Form eiθ
erzeugen instabile Lösungen, wohingegen Terme der Form e3iθ keine solchen
Resonanzen verursachen, wie wir später noch sehen werden. Für die etwas
allgemeinere Gleichung
∂ 2 u2 ∂ 2 u2
−
+ u2 = Beiθ
∂t2
∂x2
(13)
iθ eine Lösung und alle anderen Lösungen unterscheiden
ist u2 (x, t) = Bit
2ω e
sich von dieser nur homogen. Wir sehen aber direkt, dass diese Lösung unbeschränkt in t wächst, woran auch eine homogene Veränderung nichts ändert.
Für unseren Ansatz ist sie also nicht zu gebrauchen, weil sie instabil ist und
damit ϕ = εu für hinreichend großes t nicht mehr nahe bei 0 liegen wird.. Genauso würden wir für 12 eine instabile Lösung u2 erhalten und sehen damit,
dass unser einfacher asymptotischer Ansatz für die Größenordnung ε2 schon
nicht mehr ausreicht. Dieses Problem geht auf die Resonanz des eiθ -Terms
auf der rechten Seite zurück. An den weiteren Rechnungen wird sich zeigen,
dass der e3iθ -Term keine solchen Resonanzen erzeugt. Man kann dies auch
für allgemeine eniθ -Terme, n ∈ N an der Dispersionsrelation nachprüfen, indem man folgendes zeigt: Löst das Paar (κ, ω) die Dispersionsrelation, so löst
(nκ, nω) diese nicht.
3
1
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE SINE-GORDON-GLEICHUNG
1.3 Die Methode der vielfachen Skalen
Um die Bildung von Resonanzen durch die rechten Seiten der Differentialgleichungen aus dem asymptotischen Ansatz zu verhindern, wenden wir folgenden Trick an: Wir führen neue Zeit- und Ortsskalen ein und geben uns so die
Möglichkeit, die bisher konstante Amplitude A als Funktion zu interpretieren.
So können wir zusätzliche Voraussetzungen für stabile asymptotische Lösungen formulieren und erhalten als Nebenresultat die nichtlineare SchrödingerGleichung. Wir setzen T0 := t, T1 := εt, T2 := ε2 t, X0 := x, X1 := εx und
stellen u nun folgendermaßen dar: u(x, t) := U (X0 , X1 , T0 , T1 , T2 ). Mit der
Kettenregel erhalten wir kompliziertere Ableitungen und die neue Differentialgleichung bis zur Ordnung ε2 ist nun:
!
∂ 2 U0 ∂ 2 U0
∂ 2 U1 ∂ 2 U1
∂ 2 U0
∂ 2 U0
−
+ U0 + ε
−
+ U1 + 2
−2
2
2
2
2
∂T0 ∂T1
∂X0 ∂X1
∂T0
∂X0
∂T0
∂X0
+ε2
!
∂ 2 U2 ∂ 2 U2
∂ 2 U1
∂ 2 U1
−
+
U
+
2
−
2
2
∂T0 ∂T1
∂X0 ∂X1
∂T02
∂X02
∂ 2 U0
∂ 2 U0
∂ 2 U0 1 3
+
+2
−
− U0
2
∂T0 ∂T2
6
∂T1
∂X12
!
= O(ε3 )
(14)
Hier gehen wir vor wie oben und lösen zunächst die Gleichung mit Null als
rechter Seite für U0 durch U0 := Aeiθ + ∗, wobei nun A = A(X1 , T1 , T2 ) von
den langsameren und θ = κX0 − ωT0 von den schnelleren Variablen abhängt.
Eine solche Lösung nennen wir modulierte Welle, da nun die Amplitude nicht
mehr konstant ist, sondern durch die Funktion A moduliert wird (siehe 1.3).
Die Gleichung für U1 wird nach Ausrechnen der mit U0 bekannten Terme
zu:
∂ 2 U1 ∂ 2 U1
∂ 2 U0
∂ 2 U0
−
+
U
=
−2
+
2
1
∂T0 ∂T1
∂X0 ∂X1
∂T02
∂X02
∂A
∂A
= 2i ω
+κ
eiθ + ∗
(15)
∂T1
∂X1
Die rechte Seite erzeugt wegen eiθ wieder Resonanzen. Wir können aber nun
durch eine zusätzliche Forderung an A dieses Problem umgehen. Sei
∂A
∂A
+κ
:= 0
(16)
ω
∂T1
∂X1
Damit verschwindet die rechte Seite von 15 und wir können wieder mit U1 ≡ 0
lösen. Die Gleichung 16 kann durch eine beliebige Rechtsverschiebung A =
f (X1 − ωκ T1 ) - also mit Geschwindigkeit ωκ - gelöst werden. Wir möchten noch
die Geschwindigkeit interpretieren: Es gilt mit der Dispersionsrelation 8:
p
= ± κ2 + 1
1
1
κ
⇒ ω 0 (κ) = ± · 2κ √
=±
2
2
ω(κ)
κ +1
ω(κ)
4
(17)
1
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE SINE-GORDON-GLEICHUNG
2
Abbildung 1: Beispiel einer modulierten Welle mit A(X1 , T1 , T2 ) = e−X1 und t = 0
zur Veranschaulichung der Größenordnungen
Die Ableitung ω 0 (κ) interpretieren wir als Gruppengeschwindigkeit der Welle,
die Gleichung 16 impliziert also eine Rechtsverschiebung der Amplitude in
der Gruppengeschwindigkeit. Als Gleichung für U2 mit unseren Lösungen für
U1 und U0 erhalten wir:
∂ 2 U2 ∂ 2 U2
∂ 2 U0
∂ 2 U0
∂ 2 U0 1 3
−
+
U
=
−
−
2
+ U0
+
2
∂T0 ∂T2
6
∂T02
∂X02
∂T12
∂X12
!
∂A
∂2A
∂2A
1
=
− 2 + 2iω
+
+ A2 A∗ eiθ
2
∂T
∂T2 ∂X1
2
1
+ A3 e3iθ + ∗
(18)
6
Die rechte Seite ist also nichtresonant, wenn wir die Klammer auf der rechten
Seite als Null fordern (äquivalent für die komplexe Konjugation), denn der
e3iθ -Term erzeugt keine Resonanz. Damit haben wir die Nichtresonanzbedingungen
∂2A
∂A
∂2A
1
−
+
2iω
+
(19)
+ A2 A∗ = 0
∂T 2
∂T2 ∂X12 2
und 16. Wir können nun noch 18 mit der Nichtresonanzbedingung lösen und
erhalten
1
U2 = − A3 e3iθ + ∗
(20)
48
Insgesamt gilt also:
u = U0 + εU1 + ε2 U2 + O(ε3 ) = Aeiθ − ε2
5
1 3 3iθ
A e + ∗ + O(ε3 )
48
(21)
1
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE SINE-GORDON-GLEICHUNG
ist eine approximative Lösung der schwach-nichtlinearen Sine-Gordon-Gleichung,
wenn 16 und 19 gelten. Wir möchten nun noch die durch die Nichtresonanz
entstandenen Differentialgleichungen untersuchen.
1.4 Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung
Um 16 und 19 in eine gemeinsame Form zu bringen, gehen wir in die mitbewegten Koordinaten der Gruppengeschwindigkeit über: Definiere
ξ := X1 − ω 0 (κ)T1
τ
:= T1
Dann wird die Lösung für 16 beliebig und wir erhalten nur
in 19 ergibt sich
2iω
∂A
∂τ
∂2A 1
∂A
+ (1 − ω 0 (κ)2 ) 2 + A2 A∗ = 0
∂T2
∂ξ
2
= 0. Eingesetzt
(22)
Wir bringen diese Gleichung noch in eine etwas allgemeinere Form, indem
wir bemerken, dass A2 A∗ = |A|2 A und
ω 00 (κ) = ±
1 − ω 0 (κ)2
ω(κ) − κ · ω 0 (κ)
=
±
ω(κ)2
ω(κ)
(23)
gelten. Wir erhalten die allgemeine Form der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung
i
∂A
ω 00 (κ) ∂ 2 A
+
+ βA2 A∗
∂T2
2 ∂ξ 2
(24)
1
mit β = 4ω(κ)
. Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist eine universelle
Modellgleichung für die Amplitude von schwach nichtlinearen dispersiven
Wellen, das heißt wir können sie für jede Gleichung herleiten, die bestimmte
noch näher zu bestimmende Bedingungen für Dispersion und Nichtlinearität
erfüllt. Der Koeffizient β ist dabei der einzige ihrer Koeffizienten, der von der
Art der Gleichung abhängt. Wir werden dazu noch zwei weitere Beispiele
sehen.
1.5 Solitonenlösungen der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung
Die nichtlineare Schrödinger-Gleichung ist wieder eine partielle Differentialgleichung mit umfangreicher Lösungstheorie. Wir möchten einen Typen
von Lösungen angeben und diese in unsere Lösung der schwach-nichtlinearen
Sine-Gordon-Gleichung einsetzen. Mit dem Ansatz A = eiΩT2 f (ξ) bekommen
wir für die zwei Fälle βω 00 > 0 und βω 00 < 0 jeweils eindeutige Lösungen, wenn
ξ→∞
wir f (ξ) → 0 fordern. Im Fall βω 00 > 0, also dem Fall von 24, ist diese
f (ξ) = a · sech(b(ξ − ξ0 ))
6
(25)
1
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE SINE-GORDON-GLEICHUNG
Abbildung 2: Simulation einer Lösungsapproximation u(x, t) (21) von 2 mit solitonenartiger Amplitude 25 (rot) im zeitlichen Verlauf, also jeweils mit t fest. Die
Phasengeschwindigkeit (schwarz) ist höher als die Gruppengeschwindigkeit
(grün).
für geeignete Koeffizienten a, b, ξ0 , die durch Einsetzen zu bestimmen sind.
A heißt dann das helle Soliton der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung. Im
Fall βω 00 < 0 ist die eindeutige Lösung
f (ξ) = a · tanh(b(ξ − ξ0 ))
(26)
A heißt dann das dunkle Soliton der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung.
7
2
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE KORTEWEG-DE-VRIES-GLEICHUNG
2 Die schwach-nichtlineare
Korteweg-de-Vries-Gleichung
2.1 Herkunft der schwach-nichtlinearen KdV-Gleichung
Wir betrachten ein weiteres Beispiel für eine schwach-nichtlineare dispersive
Wellengleichung, für die die schwach-nichtlineare Schrödinger-Gleichung die
Modellgleichung der Amplitude ist:
∂u
∂u ∂ 3 u
=0
(27)
+ εu
+
∂t
∂x ∂x3
Diese Differentialgleichung heißt schwach-nichtlineare Korteweg-de-Vries-Gleichung
und geht aus der nichtlinearen Korteweg-de-Vries-Gleichung
∂ϕ
∂ϕ ∂ 3 ϕ
+ϕ
+
∂t
∂x
∂x3
wieder durch einen störungstheoretischen Ansatz ϕ = εu hervor.
(28)
2.2 Methode der vielfachen Skalen
Wir möchten den Ansatz aus 1.3 nun auch für diese Gleichung durchführen
und gehen analog vor. Damit bestimmen wir als Gleichung für U0
∂U0 ∂ 3 U0
+
=0
∂T0
∂X03
(29)
Wir beachten, dass die Dispersionsrelation dieser linearen Wellengleichung
ω(κ) = −κ3 ist. Damit werden nur die einθ -Terme mit n = 0 und n = 1
Resonanzen erzeugen. Wir werden später aber sehen, dass tatsächlich solche
Terme mit n = 0 auftauchen und wir daher neue Anpassungen an den Ansatz vornehmen müssen. Zunächst wählen wir aber wie vorher eine Lösung
für 29 durch U0 := Aeiθ + ∗ mit A, θ wie vorher und (κ, ω) so, dass die
Dispersionsrelation erfüllt sei. Wir erhalten als Gleichung für U1 :
∂U1 ∂ 3 U1
+
=
∂T0
∂X03
∂A
∂A
− 3κ2
eiθ + κiA2 e2iθ + ∗
∂T1
∂X1
(30)
Für die Nichtresonanz fordern wir wegen obiger Bemerkung
∂A
∂A
− 3κ2
=0
∂T1
∂X1
(31)
ω 0 (κ) = −3κ2
(32)
Es gilt
und damit beschreibt die Bedingung 31 wieder eine Rechtsverschiebung der
Amplitude in der Gruppengeschwindigkeit. Wir können nun 30 mit
U1 :=
A2 2iθ
e + ∗ + Homogene Lösungen
6κ2
8
(33)
2
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE KORTEWEG-DE-VRIES-GLEICHUNG
lösen und betrachten noch die Gleichung für U2 :
∂U2 ∂ 3 U2
+
∂T0
∂X03
∂U0
∂U1 ∂U0
−
− U0
∂T1
∂T2
∂X1
∂U1
∂U0
∂ 3 U1
∂ 3 U0
−U0
− U1
−3
−
3
∂X0
∂X0
∂X02 ∂X1
∂X0 ∂X12
= −
(34)
Hier berechnen wir exemplarisch folgenden Term auf der rechten Seite:
−U0
∂U0
∂X1
= −
∂A
∂A∗ −iθ
eiθ +
e
∂X1
∂X1
∗
Aeiθ + A∗ e−iθ ·
= − A
∂A 2iθ
∂A
e +A
+∗
∂X1
∂X1
(35)
Wir sehen, dass auf der rechten Seite nun ein in θ konstanter Term auftaucht.
Um zu verhindern, dass dieser Resonanzen erzeugt, gehen wir einen Schritt
zurück und verändern die Lösung für U1 um einen von den langsamen Skalen
abhängigen beliebigen Term:
U1 :=
A2 2iθ
e + ∗ + M (X1 , T1 , T2 )
6κ2
(36)
Da M nicht von X0 und T0 abhängt, ist U1 so natürlich immer noch Lösung
von 30. Dies reicht uns, um eine weitere Nichtresonanzbedingung für die
nullte Ordnung zu konstruieren. Nach Berechnung der rechten Seite sind die
beiden Nichtresonanzbedingungen dann:
∂M
∂
+
|A|2 = 0
∂T1
∂X1
∂A
∂2A
1
i
|A|2 A − κM A = 0
− 3κ
−
2
∂T2
6κ
∂X1
(37)
(38)
Mit 31 können wir aus 37 die Wahl
M =−
1
|A|2
3κ2
(39)
folgern. Einsetzen in 38 liefert uns wieder eine nichtlineare SchrödingerGleichung
∂A
ω 00 (κ) ∂ 2 A
i
+
+ βA2 A∗
(40)
∂T2
2 ∂ξ 2
1
mit β = 6κ
. Diese nichtlineare Schrödinger-Gleichung hat wegen ω 00 (κ)β =
1
−3κ· 6κ
< 0 dunkle Solitonenlösungen. Wir haben also gesehen, dass wir auch
bei einer anderen Nichtlinearität mit der Methode der vielfachen Skalen die
nichtlineare Schrödinger-Gleichung als Modellgleichung für die Amplitude
erhalten, mussten aber in diesem Beispiel eine weitere Modifikation unseres
technischen Vorgehens vornehmen.
9
3
DIE SCHWACH-NICHTLINEARE MODIFIZIERTE
KORTEWEG-DE-VRIES-GLEICHUNG
Abbildung 3: Simulation einer Lösungsapproximation u(x, t) von 27 mit solitonenartiger Amplitude 26 (rot) im zeitlichen Verlauf, also jeweils mit t fest. Die
Phasengeschwindigkeit (schwarz) ist höher als die Gruppengeschwindigkeit
(grün).
3 Die schwach-nichtlineare modifizierte
Korteweg-de-Vries-Gleichung
Eine leichte Veränderung der Korteweg-de-Vries-Gleichung zeigt aber, dass
nicht bei allen Gleichungen, deren Dispersionsrelation (0, 0) annimmt, ein
solcher M -Term benötigt wird. Aus der sogenannten modifizierten Kortewegde-Vries-Gleichung
∂ϕ
∂ϕ ∂ 3 ϕ
+ ϕ2
+
=0
(41)
∂t
∂x
∂x3
erhalten wir die schwach-nichtlineare Form:
∂u
∂u ∂ 3 u
+ ε2 u2
+
=0
∂t
∂x ∂x3
(42)
Wir sehen direkt, dass der quadratische ε-Term unser Problem aus 2.2 um
eine Ordnung weiter schiebt und wir die nichtlineare Schrödinger-Gleichung
wieder wie in 1.3 herleiten können.
10

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