Übungsblatt 9 vom 13.12.12

Übungen zur
Physik der kondensierten Materie I
Prof. D. Grundler
WS12/13
Blatt 9
Abgabe bis Donnerstag, 20.12.2012. Besprechung der Aufgaben in der Woche vom 7.01.- 11.01.2013
Aufgabe 9.1:
m1
Gegeben sei eine lineare Kette von Atomen der Massen
im Abstand
a
und
m2 ,
die alternierend
angeordnet sind. Zwischen den Massen wirkt die rücktreibende Kraft, die
C beschrieben
m1 = m2 .
durch die Federkonstante
diskutieren Sie den Fall
wird. Berechnen Sie die Dispersionsrelation und
Aufgabe 9.2:
Für eine lineare, einatomige Kette (Atomabstand
a)
sollen die Wechselwirkungen zu
nächsten und übernächsten Nachbarn berücksichtigt werden. Die Kopplungen seien durch
die Federkonstanten
C1
bzw.
C2
beschrieben.
a) Bestimmen Sie die Dispersionsrelation und skizzieren Sie diese für C1 = 3C2 . Wel∂ω
π
chen Wert nimmt die Gruppengeschwindigkeit vG =
bei q = 0 und q = ±
an?
∂q
a
Vergleichen Sie mit der Näherung nur nächste Nachbarn (C1 6= 0, C2 = 0).
b) Welche Bedingung muss
C1 /C2
erfüllen, damit
ω(q)
ein absolutes Maximum inner-
halb der ersten Brillouin-Zone aufweist?
c) Diskutieren Sie qualitativ, welche Ergebnisse für die Rechnungen in a) zu erwarten
sind, wenn die Wechselwirkung zu allen Nachbarn berücksichtigt wird, und
C2 >> C3 >>
C1 >>
... gilt.
Aufgabe 9.3:
Die Dispersionsrelation der linearen Kette mit einatomiger Basis lautet
ω(q) = ωmax | sin
Der Abstand benachbarter Atome beträgt
a,
qa
|.
2
die Länge der Kette ist
L,
die Wellenzahl
q
ist auf die erste Brillouin-Zone beschränkt.
a) Zeigen Sie, dass die Zustandsdichte
D(ω) =
D(ω) =
dN
dE
·h
¯
der Phononen
2L
p
2
πa ωmax
− ω2
beträgt. Es werden nur longitudinale Moden berücksichtigt. N ist die Anzahl der
Atome,
E=h
¯ω
b) Skizzieren Sie die Dispersionsrelation
ω(q)
und die Zustandsdichte
D(ω).

Download Report