c - DLR

TRANSPORTPROZESSE &
ERSTARRUNG
Transportprozesse
o
Diffusion
o
Soret-Effekt
o
Wärmeleitung
Erstarrung
o
Diffusives Wachstum
o
Konstitutionelle Unterkühlung
o
Thermosolutale Konvektion
I. Egry
Institut für Raumsimulation
DLR
DIFFUSION-THEORIE
Thermisch:
jT = - k ∇T
(Fourier)
Solutal:
jc = - D ∇c
(Fick)
Kontinuitätsgleichung:
∂c
+ ∇j = 0
∂t
Diffusionsgleichung:
∂c
= ∇ 2c
∂t
1-dimensionale Lösung:
⎛ x2 ⎞
c0 d
c ( x, t ) =
exp ⎜ −
⎟
π Dt
⎝ 4 Dt ⎠
(Wärmetransport analog)
DIFFUSION-EXPERIMENT
SORET-EFFEKT
∂c
= ∇ ( D∇c + S ∇T )
∂t
T1
T2
Soret effect Co in Sn, T0 = 500 °C
1.5
1.4
concentration
1.3
µg
1.2
1.1
1
1g
0.9
0.8
0.7
0.6
350
450
550
Temperature °C
S
∇c = − ∇T
D
650
750
WÄRMELEITUNG
∂T
= k ∇ 2T + ρ Q ext
ρcp
∂t
Transient Hot Wire in Zylindergeometrie:
(r , t ) = q δ (r )θ (t )
Randbedingung: Q
ext
Asymptotische Lösung:
⎛ R02 ⎞
q
Ei ⎜ −
ln t
∆T ( R0 , t ) = −
⎟≈
4π k ⎝ 4kt ⎠ 4π k
q
WÄRMELEITUNG
ERSTARRUNG (1)
Typisches Phasendiagramm (Ag-Cu):
Verteilungskoeffizient:
cS
k = <1
cL
Konzentrationsüberschuss:
∆c = cL − cS = (1 − k )cL
ERSTARRUNG (2)
∂c
=0
Stationäres Wachstum:
∂t
v0∇c = D∇ 2 c
1-dimensionale Lösung:
⎛ 1− k
⎡ v0 ⎤ ⎞
c( z ) = c0 ⎜1 +
exp ⎢− z ⎥ ⎟
k
⎣ D ⎦⎠
⎝
c(0+) = c0/k, c(0-) = kc(0+) = c0
2.5
k*c(z)/c0
2.0
1.5
1.0
0
1
2
3
z/z0
4
5
6
KONSTITUTIONELLE UNTERKÜHLUNG
Gerichtete Erstarrung: T(z) = T0 + Gz
Liquidustemperatur:
TL = TL(c) ≈ Tm – mc
c=c(z) → TL = TL(z)
Konstitutionelle Unterkühlung:
T(z0) < TL(z0) ⇔ G < TL’(0)
dTL
′
TL (0) =
dz
z =0
mc0 (1 − k )v0
=
kD
Rayleigh-Konvektion:
κη Ra c
G>
ρβ L4 g
⇒ Mikrogravitation !
KONSTITUTIONELLE UNTERKÜHLUNG
THERMOSOLUTALE KONVEKTION
1-dimensionale Betrachtung:
d ρ (c, T ) ∂ρ ∂c ∂ρ ∂T
=
+
∂c ∂z ∂T ∂z
dz
(1 − k )v0
v0 z
∂c
=−
exp( −
) < 0,
∂z
kD
D
∂ρ
= αρ ,
∂c
∂T
=G>0
∂z
∂ρ
= − βρ , β > 0
∂T
⇒ Vorzeichenwechsel in dρ/dz , falls
(1 − k )v0
−α
> β G , d.h. α < 0
kD
⇒ keine stabile Schichtung möglich
⇒ Rayleigh-Konvektion für Ra > Rac
⇒ Mikrogravitation !

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