SS 2015 5. >bungsserie: Punktschätzungen

Stochastik f u
• r ET
SS 2015
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5. Übungsserie: Punktschätzungen, Kon…denzintervalle, Hypothesentests
1. Schätzen Sie nach der Momentenmethode und nach der Maximum-Likelihood-Methode die Parameter
; 2 der Normalverteilung, der folgende Beobachtungen entstammen
12.2 15.8 13.6 12.9 14.2 12.5 11.2 10.9 12.7 13.1 11.0 12.6 12.5 13.0 12.9
2. Die Bruchfestigkeit bestimmter Ziegelsteine sei erlangverteilt mit Ordnung k = 2. Aus folgender Stichprobe von 5 gemessenen Werten soll der Parameter nach der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt
werden
2.7
3.4
3.2
2.9
2.5
Hinweis: Dichte f (x; ) = 2 xe x ; x 0:
3. Bei 25 zufällig ausgewählten Kindern zwischen 6 und 10 Jahren wurde ermittelt, wieviel Zeit sie täglich
vor dem Fernseher verbringen (in min)
0
10
25
30
40
55
60
60
60
65
65
70
70
75
75
80
80
85
90
95
100
120
140
145
180
a) Geben Sie unter der Annahme der Normalverteilung ein 95%-Kon…denzintervall für die im Durchschnitt zu erwartende tägliche Fernsehzeit an.
b) Testen Sie, ob die durchschnittliche tägliche Fernsehzeit der Kinder dieser Altersklasse 1 h übersteigt
(Sicherheit 0.95).
4. Die Messung des Bleigehalts von
17,3
13,8
18,7
16,4
18,5
14,9
16,5
16,7
15,9
15,1
20,5
16,8
15,3
17,5
17,1
15,5
40 Proben ergab
12,9
15,3
10,3
17,5
17,4
15,4
14,8
14,3
folgende
19,3
21,4
16,5
17,0
Werte (in%)
14,1
16,6
16,8
16,3
15,5
14,5
16,2
15,4
18,5
14,9
15,5
16,2
a) Bestimmen Sie ein zweiseitiges sowie ein einseitiges, nach oben o¤enes Kon…denzintervall zum
Niveau 99% für den mittleren Bleigehalt.
b) Welche Schlussfolgerung kann man aus dem einseitigen Kon…denzintervall ziehen?
c) Testen Sie, ob der Mindestbleigehalt signi…kant über 16% liegt (Sicherheit 0.99).
d) Vergleichen Sie das Testergebnis mit der Aussage mittels Kon…denzintervall.
5. Die Reaktionszeit auf einen optischen Reiz wird bei 20 Studenten gemessen, man erhält folgende Werte
(in ms)
6 8 6 9 4 5 11 9 7 13 8 5 6 9 8 4 8 9 5 7
a) Berechnen Sie ein 95%-Kon…denzintervall für die mittlere Reaktionszeit, wenn eine Normalverteilung angenommen werden kann.
b) Wie viele Messwerte braucht man, um die Schätzung auf 1ms genau bestimmen zu können?
Hinweis: Berechnen Sie zuerst eine vorläu…ge Fallzahl unter der Voraussetzung, dass die Standardabweichung durch den Wert von s ist (d.h. mit z-Quantil).
Korrigieren Sie diese Schätzung iterativ, indem Sie anstelle des z-Quantils das dem Stichprobenumfang entsprechende t-Quantil verwenden., die damit erreichte Breite bestimmen und die
Fallzahl schrittweise so lange erhöhen, bis die Genauigkeit erreicht ist.
6. Bei einer Landtagswahl wurden nach Auszählung von 5000 Stimmzetteln 750 für die Partei A registriert. Schätzen Sie den prozentualen Anteil p für diese Partei und geben Sie für p ein approximatives
Kon…denzintervall zur Sicherheit 0.99 an.
1
7. Im Rahmen eines Stresstests wurden 20 Teile eines bestimmten Autoteils unter Bedingungen getestet,
die etwa 150000 km Fahrstrecke entsprechen. Dabei ist keines der Teile ausgefallen. Kann man daraus
mit 95%iger Sicherheit schließ
en, dass auch im Serieneinsatz keins ausfällt?
8. Die Anzahl emitierter Teilchen beim radioaktiven Zerfall kann durch eine Poissonverteilung beschrieben
werden. Schätzen Sie mit folgendem Datensatz den Parameter der Poissonverteilung und geben Sie
ein 95%-Kon…denzintervall an.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
12
Häu…gkeit 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10
4
0
9. Die Lebensdauer (in Stunden) der bei einem bestimmten Hersteller produzierten Sorte eines Bauteile
sei exponentialverteilt. Die Gesamtlebensdauer von 10 Teilen, die in einer Einheit verbaut werden und
unabhängig voneinander funktionieren, ist im Mittel 1740 h.
a) Bestimmen Sie nach der Maximum-Likelihood-Methode oder Momentenmethode eine Schätzung
für die mittlere Lebensdauer der Einheit.
b) Berechnen Sie ein 95%- Kon…denzintervall für die mittlere Lebensdauer.
Hinweis: Welche Verteilung beschreibt unter den Voraussetzungen die Lebensdauer der Einheit?
10. Für zwei unabhängige, p
normalverteilte Variable X; Y mit EX = EY = 0 und gleicher Varianz 2 hat
die neue Variable R = X 2 + Y 2 eine Rayleigh-Verteilung mit Skalenparameter . (Beispiel dafür ist
der Abstand eines Dart-Pfeils vom Zentrum der Scheibe, wenn die horizontale und vertikale Abweichung unabhängig sind mit gleicher Standardabweichung.) Die Verteilung wird beschrieben durch die
Diechte
r
r2
f (r) = 2 exp(
); r 0 sowie die Momente
2 2
r
ER =
2
; ER2 = 2
2
.
a) Finden Sie eine Schätzung für
nach der Maximum-Likelihood-Methode.
b) Zeigen Sie, dass die Rayleigh-Verteilung ein Spezialfall der Weibullverteilung ist..
2

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