Blatt10

Prof. Dr. Achim Klenke
M.Sc. Jérôme Blauth
10. Übung zur Vorlesung
Biostatistik
im Wintersemester 2014/2015
Aufgabe 1:
(a) Die unbekannte Wahrscheinlichkeit
p,
werden. Dafür werfen Sie die Münze
dass ein Münzwurf Kopf anzeigt, soll bestimmt
25
mal und erhalten
16
mal Kopf. Berechnen Sie
sowohl per Hand (also mithilfe der Tabelle) als auch mit dem Programm R das ent-
95%.
sprechende Kondenzintervall zum Kondenzniveau
(b) Um Ihrem Übungsleiter zu imponieren, kommen Sie auf die glorreiche Idee, die Münze
nicht nur
25
mal, sondern
500
mal zu werfen. Dabei zählen Sie
285
mal Kopf. Bestim-
men Sie wiederum sowohl per Hand (also mithilfe der Tabelle) als auch mit R das
Kondenzintervall zum Kondenzniveau
95%.
Hinweis: Das Kondenzintervall in (a) berechnen Sie mit der exakten Binomialverteilung
und in (b) durch die approximierende Normalverteilung.
Aufgabe 2:
Beim Mensch ärgere dich nicht-Spiel hat Ihr Groÿvater regelmäÿig unverschämtes Glück.
Da er stets mit seinem eigenen Würfel spielt, vermuten Sie, dass der alte Mann Sie betrügt.
Sie möchten sicherstellen, dass Sie Opa nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% zu Unrecht
beschuldigen. Dazu werden Sie in den nächsten Spielen beobachten, wie oft Ihr Groÿvater
eine Sechs würfelt und einen statistischen Test durchführen um festzustellen, ob er mit einer
erhöhten Wahrscheinlichkeit Sechser würfelt.
(a) Wie lautet die Nullhypothese (d.i. die Behauptung Ihres Groÿvaters), wie die Alternative
(d.i. Ihre Vermutung)? Nennen Sie den Fehler erster Art, sowie den Fehler zweiter Art.
Wie groÿ ist die gesetzte Obergrenze für den Fehler erster Art?
(b) Sie entscheiden sich, in den kommenden
80
Würfen zu notieren, wie oft Ihr Groÿvater
eine Sechs gewürfelt hat. Abhängig vom Ergebnis
x
möchten Sie entscheiden, ob Sie
Ihrem Groÿvater weiterhin glauben wollen oder nicht. Dazu suchen Sie ein
K ∈ N,
s.d.
Sie
Bestimmen Sie
K
x≥K
H0
verwerfen, falls
H0
beibehalten, wenn
und
x < K.
minimal, so, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art das
gewünschte Niveau nicht überschreitet. Benutzen Sie dazu die Normalapproximation der
Binomialverteilung. (Warum ist dies gerechtfertigt?)
(c) Angenommen Ihr Groÿvater würfelt tatsächlich mit 25%iger Wahrscheinlichkeit Sechsen.
Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mit dem in (b) beschriebenen Verfahren
und dem dort berechneten
K
nicht bemerken, dass Ihr Groÿvater mit einem gezinkten
Würfel spielt? Verwenden Sie auch hier die Normalapproximation.
Aufgabe 3:
Ein Strauÿenzüchter hat in einer Fachzeitschrift gelesen, dass ein Strauÿenei durchschnittlich
1500
g wiegt. Der Züchter ist neugierig, ob das angegebene Durchschnittsgewicht wohl realis-
tisch ist. Um diese Frage zu beantworten, wiegt er neun Strauÿeneier und möchte überprüfen,
ob die Angabe in der Zeitschrift mit diesen Daten auf einem
90%-Kondenzniveau
vereinbar
ist. Als Gewichte erhält er:
1235
1470
1310
1670
1230
(a) Bestimmen Sie den Stichprobenmittelwert
1160
930
1535
1385
x.
(b) Aus seiner langjährigen Erfahrung weiÿ der Züchter, dass das Gewicht der Strauÿeneier
in etwa normalverteilt ist mit einer Standardabweichung von
nun ein
90%-Kondenzintervall
σ = 330
g. Bestimmen Sie
für das Durchschnittsgewicht mit Hilfe der Normalver-
teilungsquantile.
(c) Der Strauÿenzüchter bittet auch einen Bekannten, mit den obigen Messergebnissen ein
Kondenzintervall zu bestimmen. Sein Bekannter verfügt allerdings über keine Erfahrung
in der Strauÿenzucht und muss daher davon ausgehen, dass das Gewicht der Strauÿeneier
normalverteilt ist mit unbekannter Varianz und unbekanntem Mittelwert. Berechnen Sie
die korrigierte Stichprobenstandardabweichung und bestimmen Sie nun mit Hilfe der
Quantile der
t-Verteilung
ein
90%
-Kondenzintervall für das Durchschnittsgewicht.

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