Aufgaben zur Mechanik (S.121-122)

121
13.3 Einige Übungsaufgaben
13.3
Einige Übungsaufgaben
Wir betrachten zwei mechanische Situatione, die auf verschiedene Weise beschrieben werden
sollen. Beide Probleme sind physikalisch als eindimensional zu verstehen, enthalten aber zum
Teil mehrere Freiheitsgrade. Graviation spielt keine Rolle (ebene Konstruktion, senkrecht zur
Schwerkraft). Mit Kugeln sind im weiteren Massenpunkte gemeint.
Intensive Größen sind: Koordinaten x, Kräfte y, Geschwindigkeit v. Extensive Größen sind:
Inverse Federkonstante c−1 , Masse m, Impuls p, Auslenkungen e = x2 − x1 (Differenzen von
Koordinaten).
Von physikalischer Bedeutung sind nur die kinetischen Energien der Kugeln 21 mv 2 . und die
potentiellen Energien der Federn 12 c(e − e0 )2 . Hier ist e0 die Länge der Feder in entspannter
Position (ist in den Aufgaben 0 oder d). Kraft hängt mit Auslenkung über die Gleichung y = ce
zusammen.
13.3.1
Eine Kugel zwischen zwei Federn
Eine Kugel mit Masse m befindet sich zwischen zwei Federn (ideale, lineare Federn mit Federkonstanten c1 , c2 , e0 = 0), die an je einem Ende an zwei festen Punkten 0, L unbeweglich
eingespannt sind (siehe Bild).
Die Kugel wird zum Zeitpunkt t = 0 in einem Punkt x0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0
frei gelassen. Auf Grund der gespannten Federn
Gesucht ist die Änderung von x = x(t) als Funktion der Zeit unter verschiedenen weiteren
Annahmen.
c1
m
c2
u
0
x
L
Folgende Aufgaben sollen gelöst werden:
• Bestimme die Gleichgewichtslage (der Punkt xs , für den keine Bewegung stattfindet, wenn
er als Anfangspunkt gewählt wird).
• Beschreibe die Dynamik des Systems als Bilanzgleichung (plastische Bewegung), bei der
die extensive Größe “Ablenkung der Feder (Abstand von 0 bis x)” bilanziert wird und
die Triebkraft die Differenz der Kräfte in den Federn (intensive Größen) ist. Als Kopplung wird ein konstanter Proportionalitätsfaktor a > 0 angenommen. Erhalten bleibt die
Gesamtauslenkung L. Hinweis: Die Masse der Kugel darf hier keine Rolle spielen.
• Löse die eben aufgestellte Gleichung. Berechne den Grenzwert lim x(t).
t→∞
• Beschreibe die Dynamik des Systems als Hamiltonsystem und als Lagrangegleichung (elastische Bewegung).
• Löse eine der eben aufgestellten Gleichungen/Systeme mit denselben Anfangsbedingungen
(x(0) = x0 , p(0) = 0 oder ẋ(0) = 0).
• Finde den Zeitpunkt t1 , zu dem das erste Mal der Zustand erreicht wurde, der in der
Bilanzgleichung dem Zustand lim x(t) entspricht.
t→∞
• Schreibe die Energiebilanz zum Zeitunkt t = 0 und t = t1 auf, d.h. bestimme die konkreten
Ausdrücke in der Gleichung Ekin (0) + Epot (0) = Ekin (t1 ) + Epot (t1 ).
• Was für einen physikalischen Prozeß beschreibt die (phänomenologische) Bilanzgleichung?
122
13.3.2
13 HAMILTON-MECHANIK
Eine Feder zwischen zwei Kugeln
Zwei Kugeln bewegen sich auf einer Geraden mit den Geschwindigkeiten v2 > v1 . Links von
Kugel 1 (siehe Bild) ist eine Feder angebracht, die in entspanntem Zustand die Länge d hat.
Wegen v2 > v1 holt Kugel 2 die Kugel 1 ein.
m2
c
u
v2
m1
u
d
v1
Der Zeitpunkt t = 0 ist der, wo der Abstand zwischen beiden Kugeln d ist. Wir haben folgende
Anfangsbedingungen:
x2 (0)
x1 (0)
ẋ1 (0)
ẋ2 (0)
=
=
=
=
0
d
v1 > 0
v2 > v1 > 0
Gesucht sind die Größen x1 (t), x2 (t) als Funktion der Zeit unter verschiedenen weiteren Annahmen. Die intensiven Größen Geschwindigkeit können sich im plastischen Fall (Bilanzgleichung)
ausgleichen, wobei die extensive Größe Impuls erhalten bleibt.
Folgende Aufgaben sollen gelöst werden:
• Bestimme die Geschwindigkeiten beider Kugel, wenn sich Geschwindigkeiten ausgeglichen
haben.
• Beschreibe die Dynamik des Systems als Bilanzgleichung (plastische Bewegung), bei der
die extensive Größe Impuls (je ein Impuls für jede Kugel!) bilanziert wird und die Triebkraft die Differenz der Geschwindigkeiten ist. Als Kopplung wird ein konstanter Proportionalitätsfaktor b > 0 angenommen. Erhalten bleibt der Gesamtimpuls. Hinweis: Die
Feder darf hier keine Rolle spielen.
• Löse die eben aufgestellte Gleichung. Berechne die Grenzwerte lim ẋi (t).
t→∞
• Beschreibe die Dynamik des Systems als Hamiltonsystem und als Lagrangegleichung (elastische Bewegung).
• Löse eine der eben aufgestellten Gleichungen/Systeme mit denselben Anfangsbedingungen.
• Finde den Zeitpunkt t1 , zu dem das erste Mal der Zustand erreicht wurde, der in der
Bilanzgleichung dem Grenzzustand t −
→ ∞ entspricht.
• Schreibe die Energiebilanz zum Zeitunkt t = 0 und t = t1 auf, d.h. bestimme die konkreten
Ausdrücke in der Gleichung Ekin (0) + Epot (0) = Ekin (t1 ) + Epot (t1 ).
• Was für einen physikalischen Prozeß beschreibt die (phänomenologische) Bilanzgleichung?
13.3.3
Zusatzaufgabe
Beide Aufgaben sind in gewissem Sinn dual zueinander. Finde diesen “gewissen Sinn”, d.h.,
welche Größen der einen Aufgabe entsprechen den Größen der anderen Aufgabe?
Hinweis: Um hierfür eine Idee zu bekommen, eignet sich besonders eine Analyse der Energiebilanzgleichungen.

Download Report