Folgen, Reihen und Grenzwerte in Octave

Fachhochschule Südwestfalen
Wir geben Impulse
Folgen, Reihen
und Grenzwerte in
Octave
Inhalt
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Verweis auf theoretische Grundlagen
Grafische Darstellung von Folgen (Beispiele)
Bestimmung einzelner Folgenglieder
Rekursive Folgen mit Kontrollstrukturen darstellen
Partialsummen (Reihen)
Grenzwerte – numerische Approximation
A. Münzberg B.Eng.
Folie 2 (11/2014)
Theoretische Grundlagen
• hilfreiche theoretische Grundlagen sowie praktische
Beispiele zu Folgen, Reihen und Grenzwerten sind
dem aktuellen Script „Ingenieurmathematik 1“
(Autor: Prof. Dr. H. Schulze) zu entnehmen
• Untersucht man eine (unendliche) geordnete Menge von Zahlen (=Folge),
so interessiert oft ihre Tendenz. („Es ist nicht wichtig, wo man beginnt,
sondern wo man endet.“)
A. Münzberg B.Eng.
Folie 3 (11/2014)
Grafische Darstellung von Folgen
• Ist der Funktionsausdruck einer Folge (also die Berechnungsvorschrift) bekannt,
dann lassen sich die Folgenglieder geordnet darstellen.
• Beispiel: Darstellung der Folge
A. Münzberg B.Eng.
Folie 4 (11/2014)
1
zur Berechnung der Zahl
:
Grafische Darstellung von Folgen
• auch hier sind alternative Ausgabevarianten möglich:
A. Münzberg B.Eng.
Folie 5 (11/2014)
Zugriff auf einzelne Folgeglieder
• Um auf einzelne Folgenglieder schnell zugreifen zu können, wird die Berechnungsvorschrift der Folge als Funktion in Notepad++ definiert.
• In Octave kann man nun gezielt einzelne Folgenglieder auslesen:
A. Münzberg B.Eng.
Folie 6 (11/2014)
Rekursive Folgen mit Kontrollstrukturen
• zum Thema Kontrollstrukturen existiert im Kursbereich Octave ein eigenes Dokument !
• Beispiel zur FIBONACCI-Folge mit
≔ 1,
• Variante 1 – Lösung mittels for-Schleife:
A. Münzberg B.Eng.
Folie 7 (11/2014)
≔ 1,
≔
∈ℕ
Rekursive Folgen mit Kontrollstrukturen
 Variante 2 – Lösung mit while – Schleife:
A. Münzberg B.Eng.
Folie 8 (11/2014)
Berechnung von Partialsummen (Reihen)
• Octave ist ebenfalls in der Lage, Endwerte von Reihen zu berechnen.
• Berechnungsbeispiel zur harmonischen Reihe ∑
• oder auch so :
A. Münzberg B.Eng.
Folie 9 (11/2014)
für
10 :
Grenzwerte – numerische Berechnung
• Grenzwerte können in Octave numerisch approximiert werden, indem Funktionswerte
in der Nähe der zu betrachtenden Grenzwertstelle erzeugt werden.
; lim
• Beispiel:
→lim
→
A. Münzberg B.Eng.
Folie 10 (11/2014)
1
→
?
Grenzwerte – numerische Berechnung
; lim
• Beispiel:
→ lim
→
A. Münzberg B.Eng.
Folie 11 (11/2014)
→
0
?
Aufgaben
1. Wie lauten die folgenden Grenzwerte?
a) lim
→
b) lim
→
c) lim
→
2. Plotten Sie die Ausdrücke aus Aufgabe 1. (Welche Funktionswerte
ergeben sich für große x-Werte?)
3. Berechnen Sie die Grenzwerte aus Aufgabe 1 zur Kontrolle per Hand!
4. Welchen Wert hat die Reihe
A. Münzberg B.Eng.
Folie 12 (11/2014)
∑
∙
?

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