Serie 4 - Institut für Mathematik

Humboldt-Universität Berlin - Institut für Mathematik
Numerische lineare Algebra - WS15/16
H. Rabus
27. November 2015
Serie 4
Abgabetermin
11. Dezember 2015, 11.00 Uhr, Raum 2.418
Aufgabe 4.1: (6 Punkte)
Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt strikt diagonal dominant, falls für i = 1, . . . , n gilt:
X
|aii | >
|aij | .
j=1
j6=i
Sei A ∈ Rn×n eine tridiagonale, strikt diagonal dominante Matrix. Man zeige: Es existiert
eine LU -Zerlegung der Form:




1 0 0 ... 0 0
∗ ∗ 0 ... 0 0
∗ 1 0
0 ∗ ∗
0 0
0 0




..
..




.
.
0
∗
1
0
0
0
0
∗
0
0




L = .
,
U
=
.


.. 
..
.. 
... ...
... ..
 ..


.
.
.
.




0 0 0
0 0 0
1 0
∗ ∗
0 0 0 ... ∗ 1
0 0 0 ... 0 ∗
Aufgabe 4.2: (4 Punkte)
Sei A symmetrisch und positiv definit. A besitze die Cholesky-Faktorisierung
A = L LT . Man zeige:
(a) kAk2 = kLk22 = kLT k22 ,
(b) kA−1 k2 = kL−1 k22 = kL−T k22 .
Aufgabe 4.3: (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass im Fall n = 2 die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:
• H ∈ R2×2 ist eine Householder-Transformationsmatrix.
c
s
mit c2 + s2 = 1.
• H besitzt die Darstellung H =
s −c
Aufgabe 4.4: (4 Punkte (Fall n = m, A regulär) + 2 Zusatzpunkte (allgemein))
Es sei A ∈ Rm×n , n ≤ m. Für A sei eine QR-Faktorisierung gegeben. Zeigen Sie, dass
cond2 (A) = cond2 (R).
Zur Beachtung: Soweit Sie Resultate aus dem Skript verwenden, die dort nicht bewiesen sind, ist der Beweis im Rahmen dieser Aufgabe selbständig zu führen.
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