Serie 13 - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Dr. rer. nat. habil. H. Winkler,
Dipl.-Math. T. Selig, M.Sc. M. Kellner
WS 2013/14
Analysis III
Serie 13
Aufgabe* 55
3 Punkte
Gegeben sind die Funktionen
1
v1 (x) = ,
v2 (x) = 3x2 ,
v3 (x) = x4 ,
x ∈ [0, 1],
2
im
R 1 Innenproduktraum. Gegeben sei der Innenproduktraum (C([0, 1]), h·, ·i) mit hh, gi :=
h(t)g(t)dt für h, g ∈ C([0, 1]). Bestimme ein Orthonormalsystem {e1 , e2 , e3 } mit
0
span{e1 , e2 , e3 } = span{v1 , v2 , v3 }.
Aufgabe* 56
5 Punkte
Sei X ein Banachraum. Eine Abbildung P : X → X heißt Projektion, falls gilt P 2 = P .
Zeige, dass für eine stetige, lineare Projektion P gilt:
(a) kP k = 0 oder kP k ≥ 1.
(b) Id − P ist eine Projektion.
(c) x ∈ ran(P ) ⇔ P x = x.
(d) ker(P ) und ran(P ) sind abgeschlossen und somit Banachräume.
(e) X ist topologisch isomorph zu ker(P ) ⊕ ran(P ).
Der Produktraum ker(P ) ⊕ ran(P ) is definiert als die Menge ker(P ) × ran(P ), versehen
mit der Norm
k(x, y)k⊕ := kxk + kyk.
Zwei normierte Vektorräume X und Y heißen topologisch isomorph, wenn eine bijektive,
lineare Abbildung j : X → Y existiert, sodass j und j −1 stetig sind.
Aufgabe* 57
4 Punkte
Es seien (H, h·, ·i) ein Hilbertraum und U, V ⊆ H abgeschlossene Unterräume. Weiterhin
seien PU : H → H und PV : H → H zwei Projektionen in H mit ran PU = U und
ran PV = V .
(a) Es sei U ⊥ := {x ∈ H | hx, ui = 0 ∀u ∈ U } das orthogonale Komplement von U . Zeige,
dass U ⊥ ein abgeschlossener Unterraum von H ist und
U ⊆ V ⇒ V ⊥ ⊆ U⊥
gilt.
(b) Wir nennen eine Projektion P in H Orthogonalprojektion, falls ker P = (ran P )⊥ gilt.
Es seien also PU und PV zusätzlich Orthogonalprojektionen in H. Zeige:
U ⊆ V ⇔ PU = PV PU .
1
Aufgabe* 58
4 Punkte
Rπ
Gegeben sei der Innenproduktraum (C([−π, π]), h·, ·i) mit hh, gi := −π h(t)g(t)dt für
h, g ∈ C([−π, π]).
(a) Bestimme die (komplexe) Fourierreihe von f ∈ C([−π, π]), f (x) = x2 . Folgere aus der
Fourierreihe von f
∞
X
(−1)n+1
n=1
n2
=
π2
.
12
(b) Berechne die (komplexe) Fourierreihe von f ∈ C([−π, π]), f (x) = |x| (Dreieckschwingung). Folgere aus der Fourierreihe von f
∞
X
n=1
1
π2
= .
(2n − 1)2
8
Plotte mit einem Programm deiner Wahl jeweils das erste, 5. und 10. Fourierpolynom
sowie f in einem gemeinsamen Bild.
Bemerkung: Wir werden in der Vorlesung sehen, dass beide Fourierreihen punktweise
gegen das jeweilige f konvergieren, was wir hier jedoch bereits benutzen.
Aufgabe 59 Seien PU und PV Orthogonalprojektionen auf die Unterräume U und V im
Hilbertraum H. Zeige:
U ⊆ V ⇔ PU = PU PV .
Die mit * markierten Aufgaben sind als Hausaufgaben zu bearbeiten und vor der nächsten
Übung abzugeben.
2

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