Lineare Algebra für Informatiker und Statistiker

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. W. Spann
WS 15/16
- Blatt 8 -
Lineare Algebra für Informatiker und Statistiker
Aufgabe 29 (4 Punkte)
Sei K ein Körper, l, m, n ∈ N. Für A ∈ K l×l sei spur(A) :=
l
P
i=1
aii ( Spur der Matrix A“).
”
Zeigen Sie:
(a) A ∈ K m×n , B ∈ K n×m ⇒ spur(AB) = spur(BA)
(b) A ∈ K m×n , B ∈ K n×m ⇒ spur(AB) = spur(AT B T )
(c) A, B, C ∈ K n×n ⇒ spur(ABC) = spur(BCA) = spur(CAB)
(d) Für n ≥ 2 gibt es A, B, C ∈ K n×n mit spur(ABC) 6= spur(BAC)
Aufgabe 30 (4 Punkte)
Sei K ein Körper, n ∈ N, A ∈ K n×n invertierbar, a, b ∈ K n mit 1 + bT A−1 a 6= 0.
(a) Zeigen Sie:
A + abT ist invertierbar und es gilt:
(A + abT )−1 = A−1 −
(Bem.:
A−1 abT A−1
1 + bT A−1 a
Für λ ∈ K mit λ 6= 0 und B ∈ K n×n :
B
λ
:= λ1 B )
(b) Leiten Sie (a) direkt aus der Tutoriumsaufgabe T30 ab.
Aufgabe 31 (4 Punkte)
(a) Sei n ∈ N, V ein K-Vektorraum mit einer Basis b1 , . . . , bn und Λ = (λij ) i=1,...,n ∈ K n×n
j=1,...,n
eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie:
n
P
b1 0 , . . . , bn 0 mit bj 0 :=
λij bi (j = 1, . . . , n) ist eine Basis von V .
i=1
(Hinweis: Lineare Unabhängigkeit von b1 0 , . . . , bn 0 )
(b) Zeigen Sie: Für n ∈ N bilden die Bernsteinpolynome bn,k : R → R, bn,k (x) = xk (1 − x)n−k ,
k = 0, . . . , n, eine Basis von Pn (Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ n).
(c) Sei n ∈ N. Stellen Sie das konstante Polynom 1 ∈ Pn bzgl. der Basis aus (b) dar.
Anmerkung: Bernsteinpolynome werden in der Computergraphik zur Darstellung von Kurven
und Flächen benutzt.
Bitte wenden!
Aufgabe 32 (4 Punkte)
Sei K ein Körper, A ∈ K n×n invertierbar, b ∈ K n .
(a) Zeigen Sie:
Ist A durch elementare Zeilenumformungen vom Typ II mit i > j (Multiplikation von
links mit Elementarmatrizen Qji (λ) mit i > j) in eine rechte Dreiecksmatrix R ∈ K n×n
transformierbar, so gibt es eine linke Dreiecksmatrix L ∈ K n×n mit lii = 1 für i = 1, . . . n,
so dass
A = LR.
(b) In der numerischen Mathematik wird in der Regel statt des Gaußschen Eliminationsverfahren eine LR-Zerlegung durchgeführt. Darunter versteht man die folgende
allgemeinere Aussage, die lediglich die Invertierbarkeit von A voraussetzt:
Es gibt eine Permutationsmatrix P ∈ K n×n , eine untere (linke) Dreiecksmatrix L ∈ K n×n
mit lii = 1 für i = 1, . . . n und eine obere (rechte) Dreiecksmatrix R ∈ K n×n mit rii 6= 0
für i = 1, . . . n, so dass
P A = LR.
Dabei heißt P ∈ K n×n Permutationsmatrix, wenn P = (eπ(1) eπ(2) . . . eπ(n) ) für π ∈ Sn .
(π ∈ Sn :⇔ π : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} bijektiv.)
Geben Sie an, wie mit Hilfe der LR-Zerlegung (d.h. der Kenntnis von L, R und P ) das
lineare Gleichungssystem Ax = b ohne Verwendung des Matrixprodukts zwischen n × nMatrizen und ohne Matrixinversionen gelöst werden kann und beschreiben Sie in Anlehnung an die Vorlesung die auszuführenden Operationen in wenigen Stichworten.
Abgabe einzeln, zu zweit oder zu dritt: Montag, 21.12.2015 bis 1615 Uhr,
Übungskasten vor der Bibliothek im 1. Stock

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