Blatt 12 der¨Ubungen zur Vorlesung Numerik, LMU

Blatt 12 der Übungen zur Vorlesung
Numerik,
LMU München, Wintersemester 2016/2017
Peter Philip, Sabine Bögli
18. Januar 2017
Abgabe bis Montag, den 30. Januar, 14 Uhr, im Kasten zur Vorlesung neben der Bibliothek.
1. (10 Punkte)
(a) Seien A, Q (n × n)-Matrizen, A invertierbar und Q orthogonal. Zeigen Sie, dass
dann
kQAk = kAk,
κ(Q) = 1
und
κ(QA) = κ(A)
(1)
für die Operatornorm und die Konditionszahl κ (bzgl. der euklidischen Vektornorm) gelten.
(b) Folgern Sie, dass Pivotisierung die Kondition einer Matrix nicht ändert.
2. (10 Punkte) Finden Sie eine LR-Zerlegung der

1 0

A := 2 1
1 −2
Matrix

−1
3 ,
0
(2)
das heißt eine unipotente untere Dreiecksmatrix L, eine obere Dreiecksmatrix R und
eine Permutationsmatrix P so, dass P A = LR. Benutzen Sie dazu das Gaußsche
Eliminationsverfahren mit Spaltenmaximumsstrategie.
Aufgaben 3 und 4 auf der Rückseite!
3. (10 Punkte) Finden Sie eine LR-Zerlegung

1

A := 1
1
der Matrix

1 −2
3 −1 ,
5 1
(3)
das heißt eine unipotente untere Dreiecksmatrix L, eine obere Dreiecksmatrix R und
eine Permutationsmatrix P so, dass P A = LR. Benutzen Sie dazu das Gaußsche
Eliminationsverfahren mit relativer Spaltenmaximumsstrategie.
4. (10 Punkte) Finden Sie die (eindeutige) Cholesky-Zerlegung von


4 −2 2
A := −2 2 −2 ,
2 −2 3
(4)
das heißt die untere Dreiecksmatrix L mit positiven Diagonaleinträgen so, dass A =
LLt .

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