Fachhochschule Jena - EAH-Jena

Ernst-Abbe-Hochschule Jena
FB Grundlagenwissenschaften
Testklausur Stochastik
Tag der Prüfung:
Bearbeitungszeit:
90 min
Studiengang:
Name:
Matrikel-Nr.:
Arbeitsverzeichnis:
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Bitte beachten Sie folgende Hinweise:
Alle Lösungswege müssen eindeutig nachvollziehbar sein.
Bei Verwendung von MATLAB speichern Sie bitte für jede Aufgabe das m-File unter Verweis auf die
Aufgabennummer in das Ihnen zugewiesene Arbeitsverzeichnis.
Das m-File muss neben dem Code die verwendeten Daten enthalten.
Bei alternativer Nutzung von Taschenrechnern/Tabellen sind alle für die Lösung verwendeten
Formeln mit anzugeben.
Mit Bleistift geschriebene Lösungen oder Lösungsteile können nicht gewertet werden.
Hilfsmittel: Vorlesungsfolien, Anleitung zu MATLAB, Formelsammlung, Taschenrechner, eigene mFiles
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Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
W
Gesamt
Erreichbare
5
3+3 4
3+3 2+3+1 3+4 3+4
3
43
Punkte
Erreichte Punkte
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1. An 12 aufeinander folgenden Tagen wurde in Autobahnnähe der Kohlenmonoxidgehalt in der Luft
(in ppm) folgendermaßen gemessen
100
98
104
101
102
100
98
88
83
95
111
112
Berechnen Sie die drei Quartile und den Normalbereich und entscheiden Sie, ob ausreißerverdächtige Werte vorliegen.
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnisse
Quartile:
Normalbereich:
ausreißerverdächtige Werte?
Lösung ohne MATLAB auf Rückseite
2. Es ist bekannt, dass in einer Charge von Bauteilen 10%. nicht funktionieren.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 zufällig entnommenen Teilen mehr als 8
brauchbar sind.
b) Wie viele Bauteile muss man anfordern, damit mit Sicherheit von mindestens 0.9 darunter mehr
als 8 brauchbare sind?
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnisse
a) Wahrscheinlichkeit, dass von 10 zufällig entnommenen Teilen mehr als 8 brauchbar sind:
b) Anzahl anzufordernder Bauteile:
Lösung ohne MATLAB
3. Die Bauteile E1, E2,…,E5 werden gemäß folgender Schaltung verbaut.
E2
E1
E3
E5
E4
Die Ausfallwahrscheinlichkeit beträgt für die Bauteile E1 und E5 jeweils 0.01, für die Teile E2, E3,
E4 jeweils 0.10.
Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit der Schaltung.
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnis
Ausfallwahrscheinlichkeit der Schaltung nach Simulation:
Lösung ohne MATLAB
4. Die Widerstandswerte von 3 in Reihe geschalteten Ohmschen Widerständen seien normalverteilt
mit den Erwartungswerten 250, 250 und 500 Ω und den Standardabweichungen 5, 10 und 20 Ω.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Gesamtwiderstand größer als 1050 Ω?
b) In welchem Intervall [1000 - ε, 1000 + ε] liegt der Gesamtwiderstand mit Wahrscheinlichkeit
0.95?
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnis
a) Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtwiderstand größer als 1050 ist:
b) Intervall [1000 - ε, 1000 + ε] =
Lösung ohne MATLAB
5. Der Nikotingehalt (in mg) einer bestimmten Zigarettensorte ist nach Herstellerangaben
normalverteilt nach N(2.2, 0.3²).
a) Wie groß sollte eine Stichprobe mindestens sein, damit man bei einer Überprüfung den
mittleren Nikotingehalt mit 95%iger Sicherheit auf ± 0.1 genau schätzen kann?
b) Eine Stichprobe von 16 zufällig ausgewählten Zigaretten dieser Sorte ergab folgende Werte für
den Nikotingehalt
1.9
1.8
2.4
1.9
2.2
2.0
1.8
2.4
2.3
2.5
2.1
2.3
2.1
2.5
2.0
Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert.
c) Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus bezüglich des vom Hersteller angegebenen
Wertes von 2.2?
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnis
a) Erforderlicher Stichprobenumfang:
b) 95%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert:
c) Schlussfolgerung über Herstellerwert 2.2:
Lösung ohne MATLAB
2.2
6. Bei einer Untersuchung des Einflusses des Salzgehalts (in g/500ml) auf die Siedetemperatur (in
°C) von Wasser wurden folgende Werte gemessen
Salzgehalt
Siedetemp.
0
97.3
8
97.3
16
97.6
24
98.2
32
98.8
a) Berechnen Sie eine lineare Regressionsfunktion.
b) Berechnen Sie die erklärte und die Restvariation sowie das Bestimmtheitsmaß.
Was sagt es aus?
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnis
a) Regressionsfunktion:
b) Erklärte Variation:
Restvariation:
Bestimmtheitsmaß:
Interpretation:
Lösung ohne MATLAB
Hilfsgrößen
∑x = 80.00, ∑y = 489.20, ∑x2 = 1920.00, ∑y2 = 47865.02, ∑xy = 7858.40
7. Ein Seriensystem (Reihenschaltung) enthält 5 unabhängig voneinander arbeitende bzw.
ausfallende Bauteile, deren Lebensdauern einer exponential verteilt sind mit den Parametern
0.01, 0.02, 0.01, 0.05, 0.01.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Lebensdauer des Systems.
b) Welche Garantiezeit ist zu wählen, damit für höchstens 30% der Systeme eine
Garantiereparatur anfällt?
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnis
a) Erwartungswert:
b) Garantiezeit:
Lösung ohne MATLAB
Wahlaufgabe
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit 4 Würfeln eine Augensumme größer
als 5 zu erhalten.
Lösung mit MATLAB
Name des m-Files:
Ergebnis
Simulierte Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme größer als 5:
Lösung ohne MATLAB
Ergebnisse
1. Quartile sind 96.5, 100, 101
Normalbereich (86.75, 112.75), somit liegt ein Wert außerhalb und ist ausreißerverdächtig
2. a) 0.7361
b) 11
3. 1 - 0.98 = 0.02
4. a) 0.0145
b) Gesamtwiderstand mit 95% Sicherheit zwischen 955 und 1045
5. a) 35 Zigaretten sind mindestens zu testen
b) mittlerer Nikotingehalt liegt mit 95%iger Sicherheit zwischen 2.02 und 2.28
c) Herstellerangabe von 2.2 fällt in KI, kann somit nicht widerlegt werden
y 97.06 + 0.049T
6. =
erklärte Variation 1.521, Restvariation 0.171
Bestimmthitsmaß 0.899
damit wird 89.9% der Variabilität der Siedetemperatur durch Salzgehalt erklärt
7. a) Lebensdauer T ~ exp(0.1), somit EX = 1/λ = 10
b) Garantiezeit TG mit P(T < TG) = 0.3 ergibt TG = 3.57
W 0.996

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