Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 6 Matlab „Angewandte Mathematik “ MST Prof.Dr.B.Grabowski ____________________________________________________________________________ Zu Aufgabe 1) Erarbeiten Sie sich beigefügtes Material zur Trapezmethode und zur Simpsonschen Fassregel! (aus Papula, Mathematik für Ingenieure, Band 1 Kap.V.) Zu Aufgabe 2) 1 − e−x dx näherungsweise Berechnen Sie folgendes Integral ∫ x 1 a) nach der Trapezformel n=10 a) nach Simpson n=20 2 Zu a) 0,5228 Zu b) 0,5227 Zu Aufgabe 3) 1 − e−x ∫1 x dx : 2 Schreiben Sie ein Matlab-Programm zur Berechnung des Integrals Es soll folgendes leisten: Eingabe: • • Auswahl des Integrationsverfahrens: a) Trapezregel, b) Simpson, c) Stochastische Integration n (Schrittweiten, bzw. Anzahl der zufällig gewürfelten Punkte) Ausgabe: Näherungswert für das Integral Diese Aufgabe ist Teil der Matlab-Hausaufgabe (Fallstudie) deshalb wird hier die Lösung nicht angegeben! Sie können die Korrektheit Ihres Programms testen, indem Sie prüfen, ob die unter Aufgabe 2) genannten Ergebnisse herauskommen! Zu Aufgabe 4) a) Geben Sie einen Algorithmus zur Berechnung der Zahl π mit Hilfe der Monte-CarloMethode (stochastische Integration) an! (Hinweis: π ist der Flächeninhalt des Einheitskreises) b) Geben Sie ein Matlab-Programm zur Berechnung der Zahl π mit Hilfe der Monte-CarloMethode (stochastische Integration) an! Eingabe: n (=Anzahl der zufällig gewürfelten Punkte) Ausgabe : π c) Berechnen Sie die Zahl π mit Hilfe Ihres Progamms (aus b)) bis auf 4 Stellen nach dem Komma genau! Zu a) 1 Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 6 Matlab „Angewandte Mathematik “ MST Prof.Dr.B.Grabowski ____________________________________________________________________________ 1 Es ist π = Flächeninhalt des Einheitskreises = 4 A mit A= ∫ 1 − x 2 dx . 0 Wir werfen jetzt zufällig n Punkte in das Quadrat G. Flächeninhalt ist FG=1. Sei H die Anzahl der Punkte unter diesen n, die in die Fläche A fallen. H Dann gilt näherungsweise: A:FG ≈ H:n bzw. A ≈ FG n 2 Wir berechnen also die Fläche A (bzw. das Integral A= ∫ 1 − x 2 dx ) wie folgt: 1 A ≈ FG H H = n n Eine Zufallszahl aus dem Intervall [0,1] erhalten wir mit Hilfe einer RANDOM-Funktion z=RANDOM(0,1). Unser Algorithmus sieht dann wie folgt aus: H=0; c=3.1419; n=1; while abs(pi-c) > 0.0001 do x=RANDOM(0,1); %Zufallswahl der x-Koordinate des Punktes in G y=RANDOM(0,1) %Zufallsauswahl der y-Koordinate des Punktes G if (y<= 1 − x 2 ) then H=H+1; %Ist der Punkt in A, so wird H hochgezählt n=n+1; end; A = H/n; %Ausgabe des Ergebnis-Integrals. pi = 4*A; % Ausgabe der Zahl pi Zu b) und c) Diese Aufgabe ist Teil der Matlab-Hausaufgabe (Fallstudie) deshalb wird hier die Lösung nicht angegeben! Zu Aufgabe 5) Gegeben sind die 4 Messdatenpaare xi -1 yi -1 0 0 1 0 2 2 1 Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 6 Matlab „Angewandte Mathematik “ MST Prof.Dr.B.Grabowski ____________________________________________________________________________ a) Interpolieren Sie diese 4 Messdatenpaare durch ein Polynom 3. Ordnung! b) Approximieren Sie nach der Methode der Kleinsten –Quadrate die Messdatenpaare durch die beste Gerade! (Minimale Fehlerquadratsumme!) c) Worin besteht der Unterschied zwischen Approximation und Interpolation? Zu a) Modellansatz: 2 3 yi = a o + a1 xi + a 2 xi + a3 xi , i=1,...,4 In Matrizenschreibweise: − 1 1 − 1 0 1 0 0 = 1 1 1 1 2 1 − 1 ao 0 0 a1 1 1 a 2 4 8 a3 Die Lösung dieses GS (Gaus – Alg.) ergibt: a3=1/3 a2= -0.5 a1=1/6 a0=0 Das Interpolations-Polynom lautet also: y= 1 1 x − 0 .5 x 2 + x 3 6 3 Skizze der Messdaten und des Interpolationspolynoms. Zu b) Modellansatz: yi ≈ a o + a1 xi , i=1,...,4 In Matrizenschreibweise: 3 Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 6 Matlab „Angewandte Mathematik “ MST Prof.Dr.B.Grabowski ____________________________________________________________________________ − 1 1 − 1 0 1 0 a0 0 = 1 1 a . 1 1 1 2 − 1 1 − 1 ao 0 1 0 . bzw. y = G mit y = und G = 0 1 1 a1 1 1 2 Die Parameter der besten Gerade im Sinne der Minimierung der Fehlerquadrat-Summe 4 ∑(y i =1 i − (a o + a1 xi )) 2 ergeben sich als Lösung des sogenannten Normalengleichungssystems (NGS): a G T G o = G T y . a1 (Das haben wir in der Vorlesung nicht bewiesen, Sie müssen es an dieser Stelle erstmal einfach glauben!) 1 − 1 − 1 1 1 1 1 1 0 4 2 1 1 1 1 0 0 T T und G y = = Es ist: G G = = − 1 0 1 2 1 1 2 6 − 1 0 1 2 0 3 1 2 1 4 2 ao 0 = Wir erhalten als Lösung des NGS: 2 6 a1 3 ao = -0.3 und a1 = 0.6. Die beste Approximationsgerade lautet also: y = -0.3 + 0.6 x 4 Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 6 Matlab „Angewandte Mathematik “ MST Prof.Dr.B.Grabowski ____________________________________________________________________________ Skizze der Messdaten und der Approximationsgerade. Zu c) Interpolation: Die Interpolationsfunktion f(x) geht durch alle Messdatenpaare! Für die Fehlerquadrate gilt: di=(yi-f(xi))2 =0 und folglich gilt auch für die Fehlerquadratsumme: n ∑(y i =1 i − f ( xi )) 2 = 0 Approximation: Hier wird nicht verlangt, dass die Approximationsfunktion f(x) durch alle Messdatenpaare geht. Demzufolge ist di=(yi-f(xi))2 ≥0. Man sucht die Funktion f(x) innerhalb einer Menge M von Approximationsfunktionen g(x) so, dass gilt: n n ∑ ( yi − f ( xi )) 2 = min ∑ ( yi − g ( xi )) 2 i =1 g∈M i =1 Zu Aufgabe 6) Schreiben Sie ein Matlab-Programm welches folgendes leistet: Eingabe: 1) 2) 3) 4) n = Anzahl der Messdatenpaare (xi,yi), i=1,...,n, = die Messdatenpaare Typ der Anpassung: 1=Interpolation, 2=Approximation bei Typ=2 : den Grad k des Approximationspolynoms (k<n-1) Ausgabe: 1) Das Interpolations- bzw. das Approximationspolynom 5 Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 6 Matlab „Angewandte Mathematik “ MST Prof.Dr.B.Grabowski ____________________________________________________________________________ 2) Grafik: In einem Koordinatensystem: Messdatenpaare und das entsprechende Interpolations- bzw. Approximationspolynom Diese Aufgabe ist Teil der Matlab-Hausaufgabe (Fallstudie) deshalb wird hier die Lösung nicht angegeben! Sie können die Korrektheit Ihres Programms testen, indem Sie prüfen, ob die unter Aufgabe 5) genannten Ergebnisse herauskommen! 6
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