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固体力学特論
春AB学期
火曜日
3,4限
第5回
発散定理（Divergence Theorem）

発散定理

発散の体積積分を表面積分に変換する

ガウスの定理と呼ばれる
   GdV  n  GdA
G


    ,  ,    ベクトル量
 x y z 
  G  G e x  G e y  G e z  G ,i
x
y
z
G

dV
V
V
A
G i ,i dV   n i G i dA
A
dA
運動方程式（Principle of linear
momentum）

運動の法則から求める

物体力をf，外力をT，密度をρとする．

運動の法則ma=fを用いて固体に適用する．
 fdV   TdA   udV

V
A
V
トラクションベクトルTは表面から加わる

物体力は体積全体に加わる

質量dmはρdVで計算される
運動方程式（Principle of linear
momentum）

トラクションベクトルの定義から

連続の式に代入して



T  Ti ei   ji n jei
 f dV   
V

i
A
ji
n jdA   ui dV
V
静的な問題のときは加速度を考えないので
 f dV   
V
i
A
ji
n jdA  0
運動方程式（Principle of linear
momentum）

今，トラクションに発散定理を適用する

A

n jdA    ji, jdV
V
連続の式に代入して
 f
V

ji
i
  ji, j dV  0
Vのどの要素dVでも，力の釣り合いが成り立つ場合，以
下のように書ける．
f i   ji, j  0,
f i   ji, j  v i (加速度を考慮する場合)
連続の式

ある微小な体積dVの質量dmを密度ρによって考えてみる．
m   dV
V

密度ρは位置と時間の関数になるので，その増分量は




d( x1 , x 2 , x 3 , t ) 
dx1 
dx 2 
dx 3  dt
x1
x 2
x 3
t

drをdtで割ることでρの全微分が求まる（物質時間微分）
d( x1 , x 2 , x 3 , t )  dx1  dx 2  dx 3  dt




dt
x1 dt x 2 dt x 3 dt
t dt
 


＋
x i
t
x i



時間の変化
観察場所の移動
連続の式

質量の時間変化が，dvへの物質の移動だと考える


観察点dVは移動しないとすると

dV    vi n i dA

A
t V
体積ｄV
質量m
ベクトルnは領域外が正の向きなので，vとnが
同方向で領域内の質量は減少する

ガウスの法則から
 v n dA   v  dV
   v  v
A
i
i
i ,i
V
V
,i
i
i ,i
dV
連続の式

最初の式をまとめて，

V t dV  V ,i vi  vi,idV

 ,i v i  v i ,i  0
t

ρの全微分
 
  vi ,i  0
d  


vi
dt t x i
体積ｄV
質量m
を用いて
エネルギー保存則

質量mの物質に外部からなされる仕事を考える

仕事は力と移動した距離の内積

表面にかかるトラクション（dA）と物体力（dV）に注意
 
 
P   T  ΔudA   f  ΔudV
A
V
  Ti u i dA   f i u i dV
A

V
微小な時間増分Δtで割ることで，単位時間当たりの仕事
 
 
になる
PIN   T  vdA   f  vdV
A
V
  Ti vi dA   f i vi dV
A
V
エネルギー保存則

発散定理を用いることで，仕事の式を変形する．
PIN   Ti v i dA   f i v i dV    ji n j v i dA   f i v i dV
A
V
A
   ji v i , j dV   f i v i dV
V
V
V
   ji , j v i   ji v i , j  f i v i dV
V
  v i  ji , j  f i    ji v i , jdV
V




dvi
dt
 dv

    i v i   ji v i , j dV
V
 dt


運動方程式から以下の関係を用いる
f i   ji, j  v i (加速度を考慮する場合)
熱を考慮しないエネルギー保存則

運動エネルギーKと内部エネルギーUの時間変化が，外か
らなされた仕事に等しいことから，dU/dt+dK/dt=PINとな
る．

固体であることから，ρを一定としている

単位質量あたりの内部エネルギーをuとしている
d
K  U   PIN
dt
d 1
d 1



v
v


u
dV


v
v



i i
i i dV    ji v i , jdV


V
V
V
dt  2
dt  2



内部エネルギーuは以下のとおりとなる
du 
  ij vi , j
dt
熱を考慮しないエネルギー保存則

 ji vi , jdV

内部エネルギー

速度ベクトルvの空間微分は以下のように表せる

V
について考える
Lを速度勾配テンソルという
vi
 du i 
vi, j  
 Lij
 
 dt , j x j

Lを対称部分Dと反対称部分Wに分ける
1
1
Dij  Lij  L ji , Wij  Lij  L ji 
2
2
 Dを変形速度テンソル，Wをスピンテンソルという

転置に以下の関係がある（ひずみと回転テンソルに似た関係）
DT  D, WT  W
熱を考慮しないエネルギー保存則

応力とLの内積は，DとWを用いて
 ji vi , j   ji Dij  Wij 
  ji Dij   ji Wij

ここで，行列の内積A:Bには以下の関係がある
A : B  AijBij  A ji B ji  AT : BT

後に述べるが，応力σが対称になることを利用して，
σ:D  σ T:DT
σ:W  σ T:W T  σ:W  0

スピンテンソルは仕事をしないことがわかる（剛体回転）
エネルギー保存則

内部エネルギーを以下のように書き換えること
ができる．
d( u )
  ij v i , j
dt
  ijDij
d( u )
du

 固体での密度変化が少ないと仮定すると、
dt
dt
とおくことができる。

dVの体積変化を考慮することで、正確に導くこともで
きるがここでは行わない。
dv 

vudv  V uJdV,  J  dV 
熱を考慮するエネルギー保存則

物体内に流入する全熱量をQとして，その時間変化をQIN
とする．

単位時間あたりの熱流速をq，ふく射熱をrとおく．
Q IN    q i n i dS   rdV
S

V
dU/dt+dK/dt=PIN+QINとなることと，ガウスの定理を用
d
いて
K  U   PIN  Q IN
dt
d
u dV  V  ji vi, jdV  V q i,i dV   rdV

V
dt
V
d
( u )   ji v i , j  q i ,i  r
dt
問題
1.
連続の式を「非圧縮性流体」に適用すると、どのような考察ができるか
2.
断熱過程で、熱の内部発生が無い（r,qi=0）とする。ここで、内部エネル
ギーWが、
1 2
W  e  Gijij (e   kk )
2
と表されるとき、応力とひずみの関係を求めよ。なお、変形は微小で、
Dijdt  dij
としてよい。

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