Page 1 Tokyo Gakugei University Repository 】東京学芸大学

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鏡面反射を利用した図形教材について
植野, 美穂
研究紀要/東京学芸大学附属高等学校大泉校舎, 29: 19-26
2004-12-20
http://hdl.handle.net/2309/5549
第2 9 集 ( 2 0 0 4 年)
東京学芸大学附属高等学校大泉校舎研究紀要
鏡面反射を利用した図形教材に
pp
19
.
つい
26
-
て
植
美
穂
はじめに
1
平成 1 5 年度から実施した高等学校数学科の学習指導要領の目標には
う｣
と
い
う文言が新しく入
と
楽しさを知り｣
れて
い
る
い
っ
た｡
小学校や中学校
うことが強調されて
層図り
一
もそれぞれ｢算数的活動の楽しさに気付き｣
で
高等学校における数学的活動では
,
数学化の過程を重視する
,
主体的に様々な問題解決の方法を味わ
･
るが
い
｢数学的活動を通して創造性の基礎を培
,
特に次のような点が強調さ
,
たり
っ
｡
問題解決の後も自らの思考過程を振り返
,
,
見いだした数学的知識の意味を身近な事象に戻
このよ
察
実験などを積極的に取り入れ
,
設定科目｣
の
総合数学の授業では
をめざして
い
るが
｢錐体鏡｣
この
生徒のレポ
教材に
2
つい
錐体鏡につ
( 1)
正多面体には
い
つ
くる授業にお
,
に見える｡
の
つ
の
角形によ
っ
見
,
て
だした数学的知識を
い
図
て
,
1
数学的知識
,
必要であると考える
実験を通して
,
論理的思考力
,
,
技能の学習だけでなく
,
,
い
教材として
,
の
意義につ
い
て
考察する
戟
,
る｢学校
想像力および直観力を培うこと
｡
では
本稿
特に正十二面体を映し出す錐体鏡の作成に対する生徒の活動に
,
,
｡
この
つい
て
,
,
｡
対称面に鏡を貼り
その鏡に映すと光の反射によ
,
では
て
っ
あたかも正多面体全体が映し出されたよう
正多面体の外接球の中心を頂点とし
,
っ
ている
角錐の
,
正多面体
ことを
｢錐体
三角錐の錐体鏡 * の内側におかれた 1 枚の正三
,
錐体鏡に正
教材の背景
錐体鏡は
ろいろな場面に活
作成を教材化してみた
の
二
十面体が映し出されて
い
る
｡
図
( 2)
い
平成7 年度から開設して
｡
正多面体を映し出す｢錐体鏡｣
,
くつもの対称面が存在する
このように
｡
数学の授業にも
,
ことが
く
操作
,
面を底面とする内側の面が鏡にな
と呼ぶ
鏡｣
たり
て
その面が次々と映し出され
一
い
正多面体を構成する面を 1 枚
付け
っ
て
い
,
てい
平成1 5 年度の授業では
,
を
観察
,
トの記述をもとに分析し
ー
味わ
｡
｡
うな数学的活動を生徒が主体的に行うには
操作
,
て
っ
その意味を考
,
処理の質を高める
･
,
,
用したりする
たり
っ
えより発展的に考えたり一般化したりして問題の本質を探ろうとするなど数学的考察
･
｢数学的活動の
,
｡
身近な事象との関連を
･
一合わせ鏡に
よる像の
｡
像を図形の鏡映変換として
なぎ合わせた場合に
,
複雑な反射によ
モデル
化し
,
1
錐体鏡に映し出された正二十面体
数一
複数の鏡を貼り合わせたもの
像が次々と映し出される
つ
野
で
っ
,
て
｢反射の法則｣
にしたが
て
っ
映しだされる虚像の世界も
,
光が鏡面で何回も反射することで虚
実際は
それを複数回重ねることで作り出されて
像がどのように映し出されるかを示してみる
-
19
-
｡
い
,
る｡
1
つ
の
次に
鏡面反射で生じる虚
,
2
枚の鏡の
一
辺を
枚の鏡の
2
辺をつなぎ合わせて｢合わせ鏡｣
一
2 枚の鏡の間に物体を置
てみると
い
見える像の像である ( 図2 )
に
をつくり
,
鏡の面のなす角を90
鏡には物体の像が 3 個映し出される
,
o
にして机の面に垂直に立てる
このとき
｡
正面に映
,
っ
た像は
rn
像
像
/
/
/
図
角が60
o
鏡のなす角を少しずつ小さくしてみると
場合には
の
像の像と
c
2
い
枚の鏡に映し出される像の個数が増えて
2
,
,
全部で 5 個の像が
で
きる ( 図3 )
また
｡
,
45
o
の
最初の像ができ
に
＼
＼
い
く
｡
鏡のなす
またその像の像
,
,
像の
場合には 7 個の像が映し出される ( 図4 )
｡
J
′
､
/
◎
＼
＼
の場合
鏡の面を対称軸として物体を対称移動した位置
,
うように
90
､
視点
/
,
左右
｡
上から見た図
ここで
,
｡
◎
､
メ
′
′
′
＼
◎
＼
◎
＼
◎
/
＼
＼
′
＼
◎
′
､
/
(∋
o
図3
90
o
,
60
o
45
,
と映し出され
ので
あろうか
によ
っ
て 4
る (図5)
この
2
｡
のように 2
全部で (
,
鏡の枚数を
o
60
響- 1 )
個の像が
枚以上にしてみると
たとえば
,
,
で
∼
図
で
α
4
45
が3 6 0 の約数になる場合には
きる
∫
＼
,
o
の場合
鏡の面に光が反射されて像が次々
｡
どのような世界が鏡に映し出される
3 枚の鏡を互
個の像ができるの
･ .
の場合
枚の鏡のなす角
/
＼
-
い
に垂直に合わせると
,
床面の鏡
鏡に映る像は右図のように全部で 7 個あ
,
｡
垂直に合わせた 3 枚の鏡に正三角形を下図のように立
正三角形が鏡に次々と反射されて
,
正人面体が映し出される
てか
( 図6 )
けると
,
｡
国
図
6
3
枚の鏡による
正八面体の像
-
20
-
5
3
枚の鏡による像
指導の流れ
3
総合数学は
,
観察
操作
,
実験を通して数学を学ぶため
,
年で
,
平成 1 5 年度には 1 0 名 ( 男子 6 名
間で
,
指田
( 1)
植野の T
,
授業で行
T の
正多面体
･
合わせ鏡による物の見え方
･
正二十面体の錐体鏡
･
正人面体
･
発表
1
-
徒が受講した
る｡
い
対象学年は 2 学
錐体鏡に関連する授業時間は全部で 14 時
｡
時間
4
-
2 時間
-
2 時間
正十二面体の錐体鏡
･
時間続きの授業を設定して
た｡
っ
･
-
の生
女子 4 名)
,
2
,
5 時間
-
時間
正多面体
正二十面体の錐体鏡の作成をする前に
縦と横の長さが黄金比の長方形 3 枚を下図のように組み立て ( 図 7 )
,
正二十面体の頂点を作ることから始めた
( 1 9 99)
も紹介して
で
立てた図形を覆う多面体を作る｡
推測し
その理由を考えた後
,
黄金比の長方形から正
,
この
多面体の展開図をかけ｣
展開図をつくらずに糸と針を使
正多面体が 5 種類のみである理由にらいて考察した
図7
と
｢各頂点を結んで面を作り
う課題を出したが
て
っ
,
,
平成1 5 年度は
,
各頂点を繋ぐ作業を行
,
図
8
3
また
｡
枚の長方形の頂点をつない
二十面体
合わせ鏡による物の見え万
事鏡を
1
考えさせた
に
後
人に
｡
,
次に｢左右が逆転しな
鏡を配置したらよいか｣
左右が逆転しな
,
鏡の特徴と光の反射の法則 ( 図9 )
枚ずつ渡し
1
い
と
リバ
ー
い
い
ように自分の顔を見るには
う課題を出し
サルミラ
o
次に 2 枚の合わせ鏡のなす角が 60 と3 0
れ
い
く
つ
になるか
像を作図して求めた後
,
映る像の数との関係につ
( 3)
い
て
考えた
の
て
入射角i
反射角
r
どのよう
場合
,
｡
鏡に映る像の数はそれぞ
図9
2 枚の合わせ鏡のなす角と鏡に
,
=
反射の法則
｡
正二十面体の錐体鏡
正二十面体の
一
つ
の
面を底面とし
,
正二十面体の中心を頂点とする三角錐
を工作用紙を使
っ
徒は図 8
十面体を観察しながらも
の
o
い
光の経路と像の関係を考えた
,
を紹介した ( 図1 0)
ー
,
につ
長さが
がかか
置くと
っ
,
の正二
てつ
くり
,
内側にミラ
ー
,
シ
ー
トを貼るように指示した｡
最初の長方形の対角線の半分の長さ
た
｡
で
あることに気付くのに時間
作成した三角錐の錐体鏡の中に正三角形を
多重反射によ
っ
て正二
生
三角錐の側面の二等辺三角形の辺
,
一
枚
,
底面に平行に
十面体が浮かび上がることに生徒は感動して
-
21
-
図1
0
リバ
ー
組み
多面体を
でできる正
( 2)
植野
･
この
､
(図8 )
た
っ
田中
｡
枚の長方形の組み合わせ方
3
い
十面体を作成する課題は
二
平成1 1 年度には 3 枚の長方形を組み立てた後
る｡
い
この
｡
,
サルミラ
ー
,
い
た
しかし
｡
時点では
この
,
体が映し出されると
して
い
をか
する
ことが
必要である
正人面体
生徒は
になって
ことはなんとなくわか
う
･
｡
そこで次に
,
レポ
ろ
名の生徒が新たな課題に挑戦した
い
,
4
ただけではわからな
発
レポ
ー
い
い
正人面体を映し出す錐体鏡を作成することを生
そこで
錐体鏡と正人面体の関係をレポ
,
鏡面は正人面体の対称面
,
ー
トにまとめるように指示
正十二面体を映し出す錐体鏡をつくるように指示したとこ
,
正十二面体を映し出す五角錐の錐体鏡の作成は難題で
｡
そこで生徒は展開図から組み立てた正十二面体の模型を観察し
｡
見取り図を措
,
その構造を見抜こう
,
｡
トを印刷し
を作成した 4 名には
正十
二
,
それを発表資料として生徒全員に配布した｡
,
面体の錐体鏡
生徒F のレポ
ー
正人面体に加えて正十二面体の錐体鏡
それぞれの考え方を前に出て説明させた｡
のレポ
ー
トの分析
正十二面体の錐体鏡を作成した 4 名のレポ
( 1)
映し出される正多面体と錐体鏡との関係を把握
表
全員の
4
て
錐体鏡の頂点は正八面体の中心であり
,
トをすぐにまとめた生徒に対しては
と真剣に取り組んだ
(5)
っ
正十二面体の錐体鏡
した｡
ー
正多面体を映し出す錐体鏡の構造を納得するまでは理解
,
錐体鏡によ
,
枚の正三角形が何回も反射して立
一
｡
ることを納得することができた｡
い
たが
比較的構造を分析しやす
正人面体の錐体鏡の作成を通. して
,
っ
た｡錐体鏡の構造を理解するには
っ
徒仝貞の課題とした
( 4)
い
内側が鏡の三角錐を作ると合わせ鏡の原理で
,
トを取り上げ
ー
各生徒の考え方を分析
,
してみる｡
ト
ヰ･ヴ七重ろ_ 亀の市:I_ 也
左
各
乳ユ与i) ゑ _ と._｣乳ま__q)._ ようなナ偽食きI f ふ
功
がら
t o 恵
c
_ _ そ t i . _ 3 負急 . _ 車 _ 三
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L
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O
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T
皇a ㌔
ヱ乙がゴ
_
I_
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.
,
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五十
亀d 基の
妄
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,
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ら
.
.
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一
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J
,
.
生徒F は
この六
中心を通る平面で正十二面体を切断すると
,
角形の辺 A
五角形の
一
つ
の
F と辺 c D は
,
切り口が [ 図2 ]
,
のような六
正十二面体を構成する正五角形の辺であるが
頂点から対辺にお
ろした垂線に等しい
角形になると考えて
その他の辺A B
,
B C
,
｡
C 芋 P E f E-F一匹良三鬼康
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_ △ 且,F_ ら_ . _ _ __
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9
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腹
土
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1
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子
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三
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,
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｡
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7
一
士右左せら,f L る;
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切断面A
B C D EF は
A B
,
B C
-
D E
-
E F
-
1 53 9
-
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A F
,
C D
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一
生
-
ち
｡
｡
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A. o
1
.
,
1
1
角形である
1 の六
-
才 i リ
三
･
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L
'
･
-
･
,
一
,
.
.
誌荘重互
､
.
ズ
豆
盛
7:
瓦
･
ー1
2
ズ
i 主査畠
-･ - 午 ---･--r+-.年二3 5-3 -･:一
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___山
一
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メチ
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1
,
ズ
0
フ
)
L
よ
ニ
ー
J
ニ
ー
生徒F は
い
め
い
て A B の
図
,
1
十二面体の見取り図と [ 国
の正
長さを求めて
しかし
こんでしま
っ
ている｡
そのため
生徒y のレポ
■
ー
A O の
,
A O
-
-
[図
,
2
]
に
ことに気付か
い
ことで A B がs T に等しいことを見抜
引きずられて [ 図
ず
△o A B が二
,
を見直さな
]
1
る｡
い
た
実際に
正十二面体の中心から頂点にいたる距離は1 33 8 よりも長
.
,
い
等辺三角形であると思
として上記のような式を立てて A O の長さを求めて
Ⅹ
O より長く
方がB
切断面を対応させる
点B Cま頂点ではな
,
B O
,
の
長さが求まると
A B の
,
点A は正十二面体の頂点であるが
,
は点別ま辺の中点なので
( 2)
た｡
い
]
2
い
｡
ト
五十二
■
面体
まず包
:
矧r
トr
o
う洞ヾ3
朝
旬 TB 4 y- ぶ T =
屯五殆 m n 取去y
7 ' 五角形 ' あ3 頂ゑ
ー
__
7
L サミ 1 j i dl 鴨き巾膚せ〔画 s 事-i. n セ
雀宮 †- 向背 / l l T J-3
轟≠療 ) 暑さ申_
凄士セ軒端喜_ l
-
J
く
､
中
がどとか
∫じ
車沖 L l = 亀健忘t 7) 盲
の
呼
千o '
｡
｡
t ^
一
､
o
0
十
E 5-
ヽ
､
-
-
q '
/
y
､
,
差慧
ると考え
,
い
,
鰯 : 詣ご
こんでいたように
次のように推論を進めて
･
o
一
7
丁
生徒 y の図 5 は生徒 F の図 1 と同じ図で
辺三角形であると思
1
い
ゐよ) y
申
･
青壊
.
畑
コ
_I
細
ヒ専
__
中心を通る六角形の切断面に着日して
,
い
る
｡
鍬
生徒 F が △ O A B が二等
る｡
ぬ
1
-
`
や-* 七 3･t･･
りワ4 ふ亡
qo
_.イ
.
げ) .
息._.
ネ
2Y
__ .
_l
･
J
t
惇
蕗)
常
で
で
方
i
;
瑠
L
T
t
(
妻
長
鮎ト
鳩
i
令ガた
ここか主戦
うぅ Y X 主計之{
.
乱ミ -1 3 7
仏 (3 q 1 M T
,
. F ふ Y｢_
弓 L O I. ふ Y :,
,
.山
生徒 y も切断面の六角形を構成する三角形がどれも二等辺三角形であ
,
､
c
≒
0
ニ
､
.
二
-
､
.
'
●
o
-
､
､
17 c
o
-
一
二
L
､
t
.
J
⊃
､
｡
･
,
地
叩
恥
七d
七
,
o
-
ぎゼ包も
.
普
-
鐘確
銀よ丁也哀切で
五和
､
4 3 り 4 / 3 り q _ 言寄鞄三Pl 雨音
__.
F
し団 3 )
南 y 甘3 磨価セi F 相場
包
Q
叱が
l
A
.
･
:
I
L
し､
生徒 y は生徒 F と異なり
二
倍角の公式を習
っ
,
.
三角関数を用いて辺の長さを求めて
ていなか
っ
たため
,
0 5 si n X
.
=
0 77
.
c o s
1
い
る
｡
このレポ
ー
トに取り組んで
2 Ⅹの Ⅹ を求めるのにグラフ電卓のテ
23
-
ー
い
るときには
ブル機能を用
い
,
て
い
る
｡
生徒 y も生徒 F とほぼ同じ数値を導き出して
生徒Ⅰ のレポ
( 3)
正十二面体の錐体鏡を作成するには
を求めることが必要である
そこで
｡
通る切断面が正五角形になる
えて
る
｡
下図は
,
い
,
図の
5
つ
つ
一
点A
の
t こI
､
･
つ
tt
1
きニS
t
生徒Ⅰは
,
,
正十二面体の
,
C
,
い
D
,
るが
E を結んでで
,
下図のように
,
一
つ
面から立体を観察しその面に平行で中心を
の
,
,
横から見た図である
きる五角形である
､
J･
'
声良
キ / u ! もi
正絹3
L
b J 小
･
･
叫
J
,
1
y
,
㊤ t ￠竜泉IJ
t
'
ー_ - _J 1 3{
L
=
_
-1
拍レ t
与
.
o
し
t
的
綿
苛
-
f
:
･
もl
t
Q
=
l
､
り
T
b t 咋 I 亡t 入り
ろb l O l
l
l-
r
モi J 毛う ℃ よ<
r
∴
生徒 Ⅰ も正二十面体の中心から頂点までの距離が実際よりも短い長さになって
- 24 -
･
を結んで
生徒 Ⅰ は五角形A B C D E が
il: i
.
.
1
･
生徒 I が
｡
五角形A B C D E は立体の中心を通
1
t
｡
辺の長さになると考
一
ていない
っ
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上,
立体の中心から頂点までの距離
,
その正五角形の中心と頂点の長さが錐体鏡の
,
を平らな面に置いたときに
B
,
中心を通る五角形であると考えて
もら
正人面体の錐体鏡の場合と同じように
,
ことを発見し
正二十面体の面の
た正五角形は
る｡
い
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い
る｡
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も
,
I
,
｡
,
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く
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生徒K のレポ
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L
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1
-
.
生徒 K の図形のとらえ方は生徒 F
A B C D EF と
K L
の
同じである
D L として立
-
式して
長さを 2 にして
相違点は
｡
い
るので
い
る｡
一
,
,
生徒y
に似て
生徒F がA O
生徒 K は上の
辺の長さが
1 の
r
の
-
T
I
+ (J F T
,
る｡
い
方程式を解
場合には
,
とTi l
上図の六角形 A D G H IJ は
( 生徒K
B O
1
I1
-
い
図ではA
の
て
r
,
=
L
-
生徒F の
,
[図2 ]
としたのに対して
D L)
2 80 2 5 を導き出している｡
.
の六
角形
生徒K は
,
この生
徒は
正二十面体の中心から頂点までの距離は約1 4 0 となる
.
辺
一
｡
考察
4
今回の指導では
正二十面体の中心から頂点に
,
に拡がる世界を鑑賞するということから始めた｡
体の構造が見えて
は
r
( Jf
｢最初
,
っ
たが
い
る
｡
解する
,
い
て
も
,
い
たる距離を求めた後
生徒には正二十面体を映し出す錐体鏡の原理を理解することが難しか
正二十面体を映し出す錐体鏡を作
っ
たときは
あまり原理がわか
,
いい
のか
分か
っ
きた
｡
-
25
-
っ
てないまま
てから作
他の生徒もこの生徒のように二番目の課題である正人面体の錐体鏡を作
ことがで
,
錐体鏡の中
3 枚の長方形を組み合わせて正二十面体を作ることで正二十面
今回は自分で計算してどのような三角形を作れば
,
とりあえず錐体鏡を作り
,
っ
て
っ
,
,
っ
た｡
ただ作
たのでよか
っ
た｣
っ
ある生徒
た感じだ
と述べて
はじめて錐体鏡の原理を理
錐体鏡を作るには正多面体の
正八面体を映し出す角錐は
面を底面とし
の
つ
一
中心を通り互
,
正多面体の中心を頂点とする角錐の形状を求めればよ
,
に直交する平面で切断したものであることに気付きやす
い
十面体や正十二面体の錐体鏡を映し出す角錐の痕状は浮かびにくい
のような形で
き
あるかを考える
ことが必
要である
正多面体を観察し
｡
生徒 Ⅰ以外の 3 名の生徒は
｡
その六角形の辺の長さを再び正二十面体と照らし合わせながら求めて
,
法もおもしろ
考え方である
い
正二十面体を再び観察すれば
｡
た｡
い
,
正二
中心を通る切断面がど
,
切断面が六角形となる
,
が
｡
ことに気付
生徒Ⅰ の正五角形で切断する方
考え方を生かしながら角錐の形状を求めるこ
この
,
い
い
とも可能である｡
正多面体を映し出す錐体鏡を作成すると
とができる教材である｡錐体鏡を作
た後に
っ
正多面体の対称性が意識づけられる｡
えよう
ごく
達成感があ
成する課題は
を通して
て
っ
論理的思考力
,
考える
問題解決の後に問題の本質を探る
,
ことがで
で正二
のことについて
っ
たので
すごく難しか
,
難しい課題であり
て
っ
考えて考えて
計算をたくさんして答えを出すと
,
たけどおもしろか
っ
たです｣
っ
想像力および直観力を培う教材であると言えよう
,
,
と書いて
た
っ
さまざまな世界が拡が
くる
て
っ
自分で作
｡
作成と
い
う課題
実践を踏まえて
引用
観察
た錐体鏡に
い
,
作業
ろいろな
,
正十二面体の双対多面体は正二十面体である｡
取り組む
に
つ
ことは
の
正多面体の性質を探究し
,
鏡面反射を利用した中等教育段階の
,
世界が広が
･
植野美穂
究- ｣
空間図形の認識を深める
,
ことが
植野美穂 ( 1 99 9) ｢｢総合数学 A ｣
本稿で取
｡
正六面体の双
ことにつながる
｡
今後の課題である
今回の
｡
a n
教材とその指導その 2 ｣
,
東京学芸大学教育学部附属高等学校
.
第 7 回年会冊子
<
.
ステイ
今井淳
,
ソフトを活用した数学
物理教材の
･
一
例一合わせ鏡による物の見え方の探
p p 6 6- 7 1
.
,
ン
-
編
寺尾宏明
,
,
マ
セマテイカル
三輪辰郎訳 ( 20 00 ) ｢世界は数理でできて
中村博昭 ( 20 02) ｢不変量とは何か
文部省 ( 1 9 9 9) ｢高等学校学習指導要領解説
クセタ
-
著
,
オプトロ
,
銀林浩訳 ( 1 9 6 5) ｢幾何学入門第二版｣
-
,
26
る｣
い
現代数学の
数学編理数編｣
光学のすすめ編集委員会 ( 1 9 97 ) ｢光学のすすめ｣
コ
｡
pp 4 5-52
後藤貴裕 ( 2 0 03 ) ｢幾何
･
T 3J a p
,
,
の
･
ア
ト展 In IC M E-9 ｣
ー
式会社
A
ている
複数の正多面体を映し出す錐体鏡の
連の図形教材を開発する
一
東海大学教育開発研究所 ( 2 0 0 0) ｢数学にさわろう !
.
っ
参考文献
･
田中賢治
L
枚の正三角形を置くだけ
錐体鏡で異なる正多面体を映し出すことは可能であろうか
,
一
い
1
,
正二十面体を映し出すには三角錐の錐体
,
が
い
大泉校舎研究紀要第2 4 集
･
っ
,
錐体鏡を作
錐体鏡の作成は意義があるものと
,
鑑賞するだけでも楽しく美-し
,
正十二面体を映し出すには五角錐の錐体鏡を作り
,
村多面体は正人面体であり
･
る｡
い
ことが私は
う
生徒が興味を持ちながら数学的活
｡
た 1 枚の五角形を置くだけで正十二面体が映し出されたり
十面体が映し出されるのは意外性があり
鏡を作らなければならな
･
い
指導の展開方法にはまだまだ工夫の余地があるが
,
正多面体を対称性に着目しながら探究する教材として
,
,
り上げた実践では
･
きる教材であると言
｡
錐体鏡の内側に
･
,
今後の課題
5
･
すなわち
合わせ鏡の多重反射により
,
動を行う教材として
･
生徒が数学化の過程を経験するこ
,
錐体鏡の側面の鏡が正多面体の面と面の対称面となることが見え
,
つ
好きだ
生徒にと
,
物体を置くと
･
観察や作業を通して
,
｡
生徒 F は｢今回のように 1
す
う教材は
い
こころ｣
実教出版
,
ニ
クス社
明治図書
一
丸善株式会社
,
pp
,
.
講談社
9 - ll
港北出版印刷株

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