高１ ３学期実力試験（解答例） 2015.1.16（金）実施 （［ ］内は作問者）
難易度の目安
1 (1) ★☆☆ (2) ★★☆
2 (1) ★☆☆ (2) ★★☆ (3) ★★★★★
3 (1) ★★☆ (2) ★★☆ (3) ★★★
4 (1) ★☆☆ (2) ★★★
1［柳生］
(1) log10 2000 = log10 2 · 103 = log10 2 + 3 = a + 3 · · ·（答）
log10 2025 = log10 34 · 52 = 4 log10 3 + 2 log10 5
10
= 1 − log10 2 だから
ここで log10 5 = log10
2
log10 2025 = 4b + 2(1 − a) = 2 − 2a + 4b · · ·（答）
(2) 2000 < 2015 < 2025 であるから，200016 < 201516 < 202516 が成り立つ。
これらの常用対数をとると，16 log10 2000 < log10 201516 < 16 log10 2025 が成り立つ。
ここで
16 log10 2000 = 16(log10 2 + 3) = 16 log10 2 + 48 > 16 × 0.301 + 48 = 52.816
16 log10 2025 = 16(2 − 2 log10 2 + 4 log10 3) = 32 − 32 log10 2 + 64 log10 3
< 32 − 32 × 0.301 + 64 × 0.478 = 52.96
である。よって
52.816 < log10 201516 < 52.96
が成り立つ。したがって 52 ≦ log10 201516 < 53 すなわち 1052 ≦ 201516 < 1053 が成り立つか
ら，201516 は 53 桁 · · · （答）
2［井村（？）］
( )2
1
1
(1) p2 :麻布 のパターンのみ p2 =
=
2
4
( )3
1
1
p3 :麻麻布 または 布麻布 p3 = 2 ×
=
2
4
( )4
3
1
p4 :麻麻麻布 または 布麻麻布 または 布布麻布 p4 = 3 ×
=
2
(
)16
1 1
3
5
余事象を考えると， q5 = 1 − (p2 + p3 + p4 ) = 1 −
+ +
=
4 4 16
16
(2) ちょうど k 回目で終了するのは，1 回目から k − 2 回目までに「布」から「麻」に高々１回文
字を転じ，さらに k − 1 回目と k 回目で「麻」
「布」が現れる場合である。これらは全部で k − 1
( )k
1
k−1
通りの場合があり，それぞれ事象の確率は
だから，pk =
(2 ≦ k ≦ n − 1) · · · （答）
2
2k
（注）例えば n = 5 の場合，4 回目で終了するのは 「麻麻:麻布」
「布麻:麻布」
「布布:麻布」の 3 = 4 − 1 通
りである。
qn を求めるために sn = p2 + p3 + · · · pn−1 =
両辺を 2 倍すると，2sn =
n−2
∑
n−1
∑
k=2
n−1
∑
k−1
=
2k−1
k=1
k=2
k−1
とおく。qn = 1 − sn である。
2k
k
である。
2k
n−2
k−1
1
k − (k − 1) n − 2
1 ∑ 1
n−2
∴ sn =
= +
− n−1 = +
− n−1
k
k
k
2
2
2
2
2
2
2
k=1
k=2
k=2
k=2
1
(
)
1
−
n−3
1 1
n−2
1 1
1
n−2
n
2
1 − n−3 − n−1 = 1 − n−1
= + ·
− n−1 = +
1
2 4
2
2 2
2
2
2
1−
2
n
ゆえに qn = 1 − sn = n−1 · · （
· 答）
2
（別解）n 回目で終了するのは，n − 1 回目までに「布」から「麻」に高々１回文字を転じ，n 回
( )n−1
1
n
目はいずれでもよい事象なので，求める確率は qn = n ×
= n−1
2
2
n−1
∑
(3) E =
kpk + nqn
ここで
k
−
2k
k=2
n−1
∑
n−1
∑
k=2
k=2
kpk =
k(k − 1)
= Sn とおく。
2k
両辺を 2 倍すると，2Sn =
∴ Sn = 2Sn − Sn =
=1+
n−2
∑
n−2
∑
k=1
n−1
∑
k=2
n−2
k(k − 1) ∑ (k + 1)k
=
2k−1
2k
(k + 1)k
−
2k
n−1
∑
k=2
k=1
k(k − 1)
2k
(k + 1)k − k(k − 1) (n − 1)(n − 2)
−
2k
2n−1
k=2
n−2
∑
=1+2
=1+2
n−2
∑
n−2
∑
n−1
∑
k=2
n−2
∑
k=2
(n − 1)(n − 2)
k
−
k
2
2n−1
(k − 1) + 1 (n − 1)(n − 2)
−
2k
2n−1
n−2
∑
(n − 1)(n − 2)
2n−1
k=2
1
(
)
n−1
1 1 − 2n−3
(n − 1)(n − 2)
= 1 + 2 1 − n−2 + ·
−
1
2
2
2n−1
1−
2
n−1
1
(n − 1)(n − 2)
= 3 − n−3 + 1 − n−3 −
2
2
2n−1
4(n − 1) + 4 + (n − 1)(n − 2)
n2 + n + 2
=4−
=
4
−
2n−1
2n−1
2
2
n +n+2
n
n+2
ゆえに E = 4 −
+ n−1 = 4 − n−1 · · · （答）
n−1
2
2
2
= 1 + 2sn−1 +
1
2k−1
−
（別解）n(n ≧ 3) を 1 つ決めたときの期待値を En とおく。En =
(
En+1 − En =
n
∑
)
kpk + (n + 1)qn+1
−
(n−1
∑
k=2
n−1
∑
kpk + nqn であるから
k=2
)
kpk + nqn
k=2
= npn + (n + 1)qn+1 − nqn
n−1
n+1
n
= n · n + (n + 1) · n − n · n−1
2
2
2
1
n+1
= n {n(n − 1) + (n + 1)2 − 2n2 } =
2
2n
E2 = 2 · 1 = 2 であるから，n ≧ 3 のとき
n−1
n−1
∑ k+1
∑ k+1
E = En = 2 +
=
2
+
4
2k
2k+2
k=2
k=2
(
)
n+1
n+1
∑ k−1
∑ k−1
1
2
=2+4
=2+4
− 2− 3
k
k
2
2
2
2
k=4 (
) k=2
n+2
n+2
= 4sn+2 = 4 1 − n+1 = 4 − n−1
2
2
3［滝口］
(1) y = x3 − 3ax2 を微分すると y ′ = 3x2 − 6ax
曲線上で接線の傾きが m となる点 A, B の x 座標は，方程式 3x2 − 6ax = m すなわち 3x2 −
6ax − m = 0 の 2 解である。それらを α, β とおく。このとき，C(X, Y ) は点 A(α, α3 − 3aα2 ),
B(β, β 3 − 3aβ 2 ) の中点であるから
α+β
(α3 − 3aα2 ) + (β 3 − 3aβ 2 )
X=
Y =
2
2
m
となる。解と係数の関係より α + β = 2a, αβ = − であるから
3
2a
X=
= a · · ·（答）
2
(α + β)3 − 3αβ(α + β) − 3a{(α + β)2 − 2αβ}
(α3 + β 3 ) − 3a(α2 + β 2 )
=
Y =
2(
( m) 2
m)
3
2
(2a) − 3 · −
· 2a − 3a{(2a) − 2 · −
}
3
3
=
= −2a3 · · ·（答）
2
(2)(3) 直線 AB の傾きが −1 であることより
(β 3 − 3aβ 2 ) − (α3 − 3aα2 )
(β − α)(α2 + αβ + β 2 ) − 3a(β − α)(α + β)
=
β−α
β−α
2
2
2
= α + αβ + β − 3a(α + β) = (α + β) − αβ − 3a(α + β)
m
= 4a2 +
− 3a · 2a = −1
∴ m = 6a2 − 3 · · · ⃝
1
3
また，点 C は直線 AB 上の点であることに注意すると，(1) より −2a3 = −a − 1 すなわち
2a3 − a − 1 = 0 が成り立つ。この方程式は (a − 1)(2a2 + 2a + 1) = 0 と変形され，唯一の実数
解 a = 1 を持つ。
∴ a = 1 ···⃝
2
⃝,
1 ⃝
2 より，a = 1, m = 3 · · · (2)(3) の答
（別解）y = x3 − 3ax2 を f (x) とし，f ′ (x) = 3x2 − 6ax = m の２解を α, β とする。
多項式 f (x) を 多項式 f ′ (x) − m = 3x2 − 6ax − m で割算すると
(x
)
a) (m
am
2
f (x) = x − 3ax = (3x − 6ax − m)
−
+
− 2a x −
3 )3
3
3
(x a) (m
am
= (f ′ (x) − m)
−
+
− 2a2 x −
3)
3
3
(m 3
am
2
となる。余りの 1 次式
− 2a x −
を l(x) とおく。
3
3
仮定より f ′ (α) − m = f ′ (β) − m = 0 であるから，l(α) = f (α), l(β) = f (β) が成り立つ。
3
2
2
したがって直線 y = l(x) は 2 点 A, B を通る直線である。
これが y = −x − 1 と一致する条件を考えると，
⃝
1 かつ⃝
2 を解いて，a = 1, m = 3
m
am
− 2a2 = −1 · · · ⃝
= −1 · · · ⃝
1 かつ −
2
3
3
（この方法によれば (1) を使わずとも (2)(3) の答が出る。）
4［太田］
(1) 円 C は中心が (a, b) で，定点 (0, 2) を通ることから，半径を r とすると r2 = a2 + (b − 2)2
が成り立つ。よって C の方程式は (x − a)2 + (y − b)2 = a2 + (b − 2)2 · · · （答）
(2) 求める点 S の軌跡を D とするとき
「点 S(a, b) が D 上の点である」
⇐⇒ 「円 C : (x − a)2 + (y − b)2 = a2 + (b − 2)2 が x 軸を切り取る線分の長さが 4」
⇐⇒ 「方程式 (x − a)2 + (0 − b)2 = a2 + (b − 2)2 が異なる 2 実数解を持ち，それらの差が 4」
⇐⇒ 「方程式 x2 − 2ax + 4b − 4 = 0 が異なる 2 実数解 α, β を持ち，それらの差が 4」
の同値が成り立つ。最後の条件は
判別式/4 = a2 − 4b + 4 > 0 かつ (β − α)2 = 42 = 16
と同値である。ここで解と係数の関係より，(β − α)2 = (α + β)2 − 4αβ = (2a)2 − 4(4b − 4) =
4a2 − 16b + 16 である。よって条件は
a2 − 4b + 4 > 0 かつ 4a2 − 16b + 16 = 16
1
1
すなわち
b = a2 と同値である。ゆえに求める軌跡は放物線 y = x2 · · · （答）
4
4
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