2章流体の動的性質と現象の理解

れ―ベルヌイの定
液体の連動であっても,消防の放水 ,散水のように自由空間を運動
する場合は
質点の運動と全く同じように考えてよい.水柱が分離して水
滴群になると空気と
の摩擦抵抗によって速度が減じ,正確には放物線をかな
描
くなるが ,見たところ
はほぼ放物線とみなせる曲線を描く (図
2・
1参照 ).
自由空間を,そこはどこも圧力が一定で , しかも,飛んでいる液
体塊に何も作
用しないと考えると,重力と慣性力を考えた質点系の力学で
取り扱える。一方
,
運動する流体が固体壁や周囲流体に取り巻かれていると,取り巻いてい
る環境と
の界面にはそれに垂直にかかる力 ,圧力を考える必要がある
。流れ自身が周囲に
拘束されるか,達成して広がったり,狭まったりして流れると流体の
速度が変わ
るので ,境を接する層や界壁面に対する圧力が変化する
。
ここで,分子運動から見た圧力の性質から平均化された
質点系の運動が流体の
動きであるとして質量を単位体積当りの質量 ρ〔
kg/m3〕とし,運動のエネルギ
ー,位置のエネルギーに加え,圧力のエネルギーを考えた
,
2章流体の動的性質と現象の理解
24
図 2・
1
噴水は空中を飛び放物線を描く.質点系の力学が生きる
2+ρ ヵ
=con■
笏
夕
σ十
(2・
1)
=ρ に当てはめる。
とした式を類推的
まれた
流体に浸っている界面は速度が同一な部分をつないだ線 ,(流線 )で囲
この管の断面内の速度傷は
管 (流管 )を考える (図 2・ 2参照)。ここでの仮定は
一様である。また,簡略化するため,流体の密度 ρは変わらない (非圧縮性 )
と仮定しよう。この流管からは流体が外に出たり,中に入ったりしな
い (流線は
を通過
交差しない)から流管のある断面① を通過する質量流量は別の点の断面②
する流量と同じでなければならない (連続の法則)。
る。ま
流管の断面積を 4とする。その断面を通過する流体の速度を %とす
た,① ,② に対応して
,
ρA121=ρ A222
2)
(2・
AZ=constである。① と
流体が伸び縮みしないとして密度 ρ一定とするとρ
②の間では
,
スlπ l=A2a2
となる。
(2・ 3)
2
2・
図 2・
2
ベルヌイの定理の応用
25
流管は流線によって囲まれた管
流管を固体壁の管と置き換える。ただし,断面内速度
―様,すなわち管壁と摩擦がないものとする
。① と② の
つい
間に
てベルヌイの式
,
α
+″ 力
子
1+ρ l=;ρ ″
+″ 力
2+ρ
?オイラーの式から誘導
(す
2
TI
亀
計
(2。 4)
と連立して速
=ρ
度と圧力の式が得られる。
ベルヌイの定理の応用
10シ流量の測定一ベンチュリー管
ベルヌイの定理は定常,非粘性
,条件によっては非圧縮性の理想的な流体につ
いて法則を導き出したものである。しかし
,実流体で十分な精度でその現象を記
述できるものがある.十分に管径が大きく,短い管の一
部を絞った管路ベンチュ
リー管を考える。
管路の部分に場所を示す番号をつけょぅ。上流を
① ,絞った断面積の狭い部分
に②,またもとの管径に戻った下流を③ としょぅ
(図 203参照
今,管路が水平に置かれているとしよう。ベルヌイの式は図 2・ 3の
①②③に関
して,
)。
流体の動的性質と現象の理解
2章
26
p2
3
図 2・
ベンチユリー管
ベンチュリー管内の圧力はどこが高いか
QueStiOn:直感的に答えてください
図 2・ 3のベンチュリー管において,① ②
!
③ いずれの圧力が高くなりますか ?
とえる。なぜかと
まだ,予備知識のない方々に聞くと,かなりの人数の人が② 答
たまた,広い道路を走ってい
考えるに,駅のホームから外に出るときの改本L口 ,は
という類推を
た車が局部的に狭められた道に入ると「混み合う=圧力が高くなる」
いが,水や空気で実験すると結
することによると判明した.決して悪い発想ではな
く,② よりも圧力は高
果は逆で,① より② が低く,③ がほとんど① と同じかやや低
に思える。
と
くなる。「水は高きより低きに流るJとかいうが,ちよつ不思議
い
た
「理由Jは流体を非圧縮性としたことによる結果である.ま ,長
ずが中で発生
細い管路ではなく,考えている範囲では壁面の摩擦や ,う
ベルヌイの定理が
しないような,非粘性の流れが実現されている場合に
,
適用できる。本文で説明する
.
(2・ 5)
炒2=与 ρπξ十炒3
π子十ク1=与 ρ窃
号ァ
'十
であり,連続の式から⑪②の断面スと断面平均速度 zの間に
,
π夕
=ρ
『
2==ρ (2'一 α
l ρ
沙
ZfttA==ρ
2
(2・ 6)
'十
)
Atut:Azuz
(2・ 7)
(2・ 8)
2・
2
ベルヌイの定理の応用
=弊
笏
。っ
断面②では① ょりも流速が大きいことがゎかる
。① と② での圧力差は
二
A一九
α
2た
,
1)2}
;ρ
(2・
`{1-(■
42た 1<1でぁるから,ρ l>んとなる
(図 204参照)。
lo)
予想との違いは,絞り部で流速が
大きくなることでぁろう
.車や人の流れでは
りすることができるが ,非圧縮の
性流体は分
子の間隔が平均的には変わらないとしてぃ
るので,必然的に流路の狭まっ
たとこ
ろでは流速が速くなる。すなわ
ち,圧力のエネルギーが運動のエル
ネギーに変わ
容易に互いの間隔をつめたり離した
つているのでその分圧力が低下すること
になる。したがって,③ の部分では
速度
が小さくなり圧力が回復する。現
実にはごくゎずかなりとも粘性による
摩擦損失
があり,完全には圧力が回復しない
ので等断面積であっても① よりも
圧が低くな
る。
物=赫
77
(卜
この計算で求めた 22は
断面平均速度であるから単純に流
量
を求めることができる。
Q:urAr, m:
puzAz
図 2・
D
o,質量流量笏
(2。 12)
4
答えの実験
28
流体の動的性質と現象の理解
2章
では粘性
えて求めた式であるが,現実の流体
今 ,理想的に粘性のない流体を考
が損失を与え実際には圧力差が大きく
による摩擦損失や流路の形状によつて流れ
ユ
め計算の際に乗じておく.ベンチリ
なるので検量によつて流量係数 C<1を求
ある。 Cの値は,実験により圧力
ー管は損失が少なく,Cは 0.97から 0.99で
いる。
した流体の流量との比から求めて用
差から求めた流量と管路から流出
流体の圧縮性や粘性の影響は無視
できるものとする。
日日ｏ︻＝職
ｔ蓬
霧
章
雲
P,
,-_t.
A",P,
■昼
，
A,.
鶴
洋
貫
D2-20 cm
〓暮奮
水の密度 ρ″=1 000 kg/m3
機
5
壼番
一
図 2・
例題 2・ 1の図
Ｏ
量 O=Alυ l三 42υ 2より
連続の式 (流量は各断面で一定 ),流
,
一
通董
着
2
一
農
(毛￨)2υ
ま
´
■一
菫“蒸亀
一
'十
硬
+Pl==9α υ&
υ
子
α
選菫薔港理
,
事
一
ここで与えられているのぃ直径であることに注意。
② ベルヌイの定理を適用すると
=ρ
，
π
π￨)2街二
∴街
=(引 t
(毛
ｓ挙
く
解答〉 ①
2・
③
2
ベルヌイの定理の応用
29
U字管の水柱の高さの差から
,
P2=PI+ρ ィ ″
以上から,式 (3)に式 (2),式 (4)を
代入すると
,
+“ 十
α
〆
ォ
ゥ
ρ
κ
め
ィ午 )2+R=÷ ρ
ρ
4だ 0
年
)202+3=;漏十十
=ズ
ゎィ(,)4_⇒ =ρ J “
(壬
)2の
(壬
∴ 断面 2での速度の=
つて流量
0は ,式 (1)よ
0=Z42の =π
(÷ )2
=∝ Ю ぃ 3月
余談 :広がリノズル
図 2・ 6に示す写真は音速以上で飛行する飛翔体のロケットェンジン
である。ガス
の噴出ノズルは下流に向かって広がったままで
ある。この場合は,上流に高温高圧
を発生させ膨張させながら噴出させる.流路をベンチュ
リー管のように絞ると流速
は増加し,音速に達する。このような速度では
気体の圧縮性が
大きく影響をする範
囲になる。
圧力の情報は音速で伝わるので流体自身が音速を超えると上
ランスさせる要因が取り除かれるので分子の
流 ,下流で圧力をバ
間隔はさらに広がる。それはあたかも
人や車の流れのようである。したがって,このような
音速を超えた条件のときは流
路を狭めたのでは流れが加速せず,ノズルは次第に広くな
るように設計されてい
る.狭まり広がリノズル ,ラバルノズルと呼んでい
る。飛行速度が亜音速から超音
速に変化する高速航空機のジェットェンジンの噴出口には
,ノズルの広がり角度を
速度に応じて可変にしているものがある。
2章流体の動的性質と現象の理解
図 2・
6
ロケツト用のエンジン
(ロ
ンドン科学博物館)
赫流速の測定― ピトー管
ントル (L Plndtle)で
単純な全圧管から性能を格段に向上させたのはプラ
52漑
,
ピユラーなようで,厳密
ドィッではプラントル管と呼んでいるが,ピトー管がポ
には構造が異なるが,総称としてピトー管と呼んでおこう。
が
ベンチュリー管は主に流量測定に用いられている。流れをせき止めると流速
に加わった
ゼロ,すなわち,運動のエネルギーが圧力の形になり,その場の静圧
である。今 ,流路内であ
全圧としてピトー管の先端で計測されるところが特徴的
から場の静
れば流路壁面で静圧を,開空間であれば流れに平行なピトー管の壁面
圧を計測し,全圧から差し引けば運動
エネルギー分の圧力が得られるので流れの
速度が計算されることになる。流れの大きさに比
べて管の直径が小さいならば
十分た空間の 1点の速度が得られたことになる (図
,
2・
7参照 ).
の間
の
流れの方向にIE対するピトー管の先端位置① と側壁の静圧検出孔位置②
にベルヌイの定理は
,
2そ
2
十
1==ρ α夕
夕
(2・
13)
'十
=ρ せき止められるので πl=0である。再び流れが十分前方の速度に
① では流れが
から
まで回復した位置で静圧を測り,その差は %gに比例する。 %2は ,圧力差
,
2・
図 2・
7
2
ベルヌイの定理の応用
3J
側壁に静圧孔を持つピトー管
2=
(2・ 14)
“
で求められる。細いピトー管を流路の壁面から壁
面まで移動させて各点の速度を
測ると流路断面の速度分布が得られる。ピトー管の補正
係数はほぼ 1と考えてよ
い。流れが定常状態であるところでは最も
信頼できる方法であった。
(30ウ気体を外部に吸い出すアスピレータ
高速の水流をつくると静圧が 10o Pa程度にまで下がる。これを気
体の入った
容器につなぐと図 2・ 8のスリットの部分より気体が吸い
出され,気体の入ってい
た容器は圧力が下がる。
限界は水の蒸気圧で,水温が高いと圧は高めになる。化学実験でも
,ガラス製
のアスピレータで水道によって 1/20気圧程度に減圧できる
。
(4`腸サ
イホン
住むには平野, しかし飲料に適する水源が都市部から離れていることが
多く
多量の水を引いてこなければならない.古くは開渠 (open duct)をい
用ていた
,
ため,緩やかな勾配を与えて水を流さなければならないローマ
。
人は谷越え山越
え橋をつくった.ヨーロッパ各地に残るローマの水道橋は
有名である.図 2・ 9は
水道橋の断面模型である。
しつかりした大口径の管がつくれるようになって,長
距離の輸送も管路を用い
2章流体の動的性質と現象の理解
32
図 2・
8
水流によつて気体を吸い出すアスピレータ
図 2・
9
ローマ水道橋の断面模型,最
上部に水の流れる開渠がある
され,特に揮
るようになった。水のみならず,石油やガスのパイプラインが敷設
に沿つて流路を設
発性の流体の輸送には欠かせない。管を使うことによつて地形
い
に管路を通すこと
置できるので敷設の経費が軽減でき,また,水源より高位置
もできる利点がある.これをサイホン (siphone)といつている.ただし,管内
び縮みす
の圧力が水の飽和蒸気圧よりも低くなると水は気化してしまうので,伸
る性質の気体が管の中に発生する。これを水柱が切れるとぃつて,管路をそれ以
上高いところをはわすことができないことに
注意しよう。
い
深井戸から水を汲み上げるポンプでも同様なことが
起こる。水面が 1気圧で
あつたとすれば,1気圧に相当する水柱は約 10mで
ぁるから,いくら強力なポ
ンプでも吸い上げられないので水面に
圧力を加えるか,低い位置にポンプを設置
して水を押し上げるようにする。ポンプを水のに
中沈めるようにした水中ポンプ
などが考案され用いられている。
身近な例では,水槽の水を汲み出す際にホースを入れ
外側で他端を水面より低
い位置において,水が水槽の縁の最高点を過
ぎ出口まで到達するように吸い出す
と持続的に流体は流出する。胃洗浄など,応用例はい
多。
演習問題
①
図 2010のように,水槽に 5mの深さの水が充満している
。底に 5
cmの丸い孔があいている。水槽の面積は孔に比べて十分に大きく水面が
下がるのは無
視できるとして,底面から出る水の速度と流量を求めよ。
図 2。
②
10
問題 2・ 1の図
この底面の孔に同径の管を接続し,さらに 5m下に
開口部を設けた。流出速度
と流量を求めよ。
③
45mの管路を垂直に接続してその端部に水車をつけ発電を行う。何 Wの発電が
できるか (水のする仕事は 100%発電機で電力になるものとす
る)。
図 2・ 11のように水の入った容器に管が垂直についてぃる。水面よ 5
り
cmの高さの端面に速度 υ の噴流が直角に当たっている。 υ がぃくらになった
ときに
34
2章
流体の動的性質と現象の理解
5cmの管の上端面まで水が吸い上げられるか
図 2。
.
11 問題 2・ 2の図
ピトー管に 50m/sの速度の空気流を測定する。ピトー管の先端全圧と側
にして何 mmにな
た
孔の静圧の差 ∠夕はどのくらいになるか,〔 Pa〕で示せ。ま ,水柱
呻
るか。
つられた噴出口ま
図 2・ 12に示すように,水面から水槽の横面に水平にけ
ガパスカル)
で〃 =10mの閉容器の上面の空気は,外気を支配する圧力 0 1 MPa(メ
呻
漏０一■ヽ
一
一
﹂
一
図
2・
12
問題
2・
4の図
35
解
の 3倍の 0.3 MPaである。水の噴出速度を
求めよ。噴出口が地面より 10mの高さに
e=30J/min
あるとすると噴流の着地点は噴出口よりど
のくらいの水平距離があるか。
断面 20 cm2から断面 10 cm2
Al=20 cII12 ■2=10 Cm2
に絞られた管路がある。管内をある流体が
図 2・
13 問題 2・ 5の図
,大径 ,小径部分の
30′ /minで流れたとき
静圧を測るとその差圧は 150 Paであった。流体の密度 ρを求めよ (図 2013)。
航空機のレーダによって毎秒 150m/sの対地速度が確認されている。航
空機前面に設けたピトー管の差圧が 22 kPaを示している。空気の密度 ρを 1.l kg/m3
として向い風がどのくらいか求めよ。
竺ロ
解
問題2・ l ① 水面を0,下部流出口を 1で表す。
2+″ λ
2+″ 為 1+÷ ρ
十
軌
眺
ヵ
:ρ
=夕
l
水の深さは,掲 ―λl=″ .
静圧は出口 plは外気と同じ.,1=ヵ .
下部出口断面に比して水面は大きく,水面の下がる速度は無視できるくらいに小さ
い。眺 =0.水深もしたがって変わらないとする (考えている時間内には).
2_ノ =0
軌
=ρ=y2g″
″ =5m, “
a=/2× 9.8〔 m/s2〕 ×5〔 m〕
=9.90〔 m/s〕
流量 Olは
,
Ol=41臥
=子・
“
36
2章
流体の動的性質と現象の理解
=
×
よ∞h周
=0.0194〔 m3/s〕
=19.4〔
//s〕
② 深さが 5m増加したので,全体は 10mの水深として計算する。
=y2× 98〔 m/s2〕 ×10〔 m〕
“ =14〔 m/s〕
Q=子・
“
=27.5〔
③
//s〕
仕事率 (″ )は ,単位時間にする仕事量である.流れる水の質量から重量 (力 )が
高さ〃から落下した仕事率が電力に変わったとすれば
,
ス=″ Q=″ 。
子・
“
=/2θ 〃
P〔 W〕とすると,密度 ρ
仕事率を“
=1000〔 kg/m3〕として
,
P=Fl・ ″
〃=45〔 m〕 +5〔 m〕 =50〔 m〕
=31_3〔 m/s〕
“
Fl l∞ ∝U司 ×咽
m俎 ×
=600〔 N/s〕
P=600〔 N/s〕 ×50〔 m〕 =30000〔 J/s〕 =30〔 kW〕
(〔
W〕 ),(〔 N・ m〕 =〔
」
/s〕 ≡〔
J〕 )
静圧が大気圧より
囀
,
イク=ρ θ〃
=1000〔 kg/m3)×
=490〔 Pa〕
(〔
Pa)=〔 N/m2〕 )
だけ下がオ
tばよいから
,
2=九
p十
υ
=ρ
9.8〔 m/s2〕
×005〔 m〕
×譴8団
解
答
=
υ
=7而
=0_99〔 m/s〕
□ □ 亜 ]ル =;ρ υ2
空気の密度 ρ=1.2〔 kg/m3〕とすると
,
の =:× 12kg/m句 ×6o〔 mノ sD2
=1500〔 Pa〕
″=1500〔 Pa〕
ρυ
θ
=153〔 mmAq〕
問題 2・ 4
(Aq:水 )
水深〃 =lo mの示す圧カイクは
,
あ
=″ ″
=1000〔 kg/mO〕 ×98〔 m/s〕 ×10〔 m〕
=98000〔 Pa〕
上部の圧力沙=0.1(MPa〕
=30000o〔 Pa〕
容器内ノズル出口にかかる圧力 ριは,両者の和
,
pι
=398000〔
Pa〕
噴出する速度 υ は
,
=7=24.4〔 m/s〕
外気中に出た水流は,質点系力学の放物の計算から
,
χ=し
I′
y=シ ′
37
2章
38
流体の動的性質と現象の理解
=yt昇・
χ
r/
=7器
刈44司 g
=348〔 m〕
醍
25:夕
A=:少酔
酔
ル
ー 1 2=7ρ (じ 2 cr12)
ル =沙 1ク
タ
ρ=
2∠
2 c
(磁
r12)
∞醐〔執耐g
×
鑑
“
20(cm2〕
=0.25〔 m/s〕
磁10〔Ю醐×鴇抑同g
cm〕
ρ=
2×
￨
150
0_25--0 0625
=1600〔 kg/m3〕
すなわち,水の 16倍となる。
中
ピトー管は相対速度を示している.∠少=22(kPa〕
=77
υ
=7…
=200〔 m/s〕
対地速度を差し引くと50m/sの風速となる。
.

Download Report