～目次～ - TS-APEX

1
～目次～
1．面積と比(1)
･････････････････････ p.2
2．割合に関する問題(2)
・倍数算
・倍数変化算
・年令算
3．体積と容積
・柱体の体積と表面積
・容積
･････････････････････ p.8
4．容積と比
･････････････････････ p.25
5．相似な図形
・縮尺
・相似形
6．速さに関する問題
・旅人算
・通過算
・時計算
・流水算
･････････････････････ p.29
･････････････････････ p.16
･････････････････････ p.39
2
面積と辺の比(1)
例題１
右の図は，三角形ＡＢＣを直線ＡＤで 2 つの三角形に分けたものです。
ＢＤ＝6 ㎝，ＤＣ＝10 ㎝のとき，㋐と㋑の面積の比を求めなさい。
Ａ
㋐
㋑
Ｂ
Ｃ
Ｄ
㋐の三角形の底辺をＢＤ，㋑の三角形の底辺をＤＣと考えると，2 つの三角形の高
Ａ
さはともにＡＨになります(右図)。したがって，
㋐の三角形と㋑の三角形の底辺の比は，ＢＤ：ＤＣ
㋐の三角形と㋑の三角形の高さの比は，ＡＨ：ＡＨ＝1：1
面積の比は，㋐の三角形：㋑の三角形＝(ＢＤ×ＡＨ÷2)：(ＤＣ×ＡＨ÷2)
㋐
㋑
＝(ＢＤ×1÷2)：(ＤＣ×1÷2)
Ｂ
＝ＢＤ：ＤＣ
ＨＤ
となります。つまり，高さの等しい三角形の面積の比は，底辺の長さの比と等しいのです。
Ｃ
〔解き方〕
㋐：㋑＝ＢＤ：ＤＣ＝6 ㎝：10 ㎝＝3：5
答
3：5
【１】次の問いに答えなさい。
（１）Ａ，Ｂ2 つの長方形のたての長さの比が 2：3 で，横の長さの比が 5：6 のとき，ＡとＢの面積の比を求めなさい。
答
5：9
答
5：4
答
1：3
（２）Ａ，Ｂ2 つの三角形の底辺の比が 5：3 で，高さの比が 3：4 のとき，ＡとＢの面積の比を求めなさい。
【２】下の(１)～(３)の図形のアとイの面積の比をそれぞれ求めなさい。
（１）
（２）
8㎝
（３）
ア
ア
イ
イ
ア
24 ㎝
16 ㎝
20 ㎝
答
3：2
イ
24 ㎝
15 ㎝
答
4：3
【３】下の図のＡとＢは平行です。㋐，㋑，㋒，㋓の面積の比を求めなさい。
24 ㎝
18 ㎝
Ａ
㋐
Ｂ
24 ㎝
㋑
28 ㎝
㋒
18 ㎝
12 ㎝
㋓
22 ㎝
答
24：14：18：17
3
面積と辺の比(1)
例題２
三角形ＡＢＣの面積は 38.4 ㎠のとき，次の問いに答えなさい。
（１）三角形ＡＢＤの面積を求めなさい。
Ａ
5㎝
㋐
（２）三角形㋐，㋑，㋒の面積をそれぞれ求めなさい。
㋒
3㎝
㋑
Ｂ
〔解き方〕
（１）三角形ＡＢＤと三角形ＡＤＣは高さが等しい三角形なので，三角形ＡＢＤ
と三角形ＡＤＣの面積の比は，ＢＤとＤＣの長さの比と等しくなります。
よって，ＢＤ：ＤＣ＝9 ㎝：3 ㎝＝③：①
三角形ＡＢＣの面積 38.4 ㎠は，比で表すと(③＋①)にあたるので，
①あたりの面積は，38.4÷(③＋①)＝9.6(㎠)
三角形ＡＢＤの面積は，8×③＝28.8(㎠)
Ｅ
Ａ
Ａ
㋐
③
Ｂ
Ｃ
D 3㎝
9㎝
㋒
①
㋑
D D
9㎝
3㎝
28.8 ㎠
答
Ａ
（２）㋐と㋑の面積の比は，ＡＥ：ＥＤ＝5 ㎝：3 ㎝＝５：３
三角形ＡＢＤの面積 28.8 ㎠が(５＋３)にあたるので，
Ｃ
5㎝
１あたりの面積は，28.8÷(５＋３)＝3.6(㎠)
Ｅ
㋒
3㎝
㋑３
D
㋐
㋐の面積は，3.6×５＝18(㎠)
㋑の面積は，3.6×３＝10.8(㎠)
Ｂ
㋒の面積は(１)より，38.4－28.8＝9.6(㎠)
答
５
Ｃ
㋐：18 ㎠，㋑：10.8 ㎠，㋒：9.6 ㎠
【１】右の図は三角形ＡＢＣをア，イ，ウの 3 つの三角形に分けたもので
す。三角形ＡＢＣの面積が 72 ㎠のとき，ア，イ，ウの面積をそれぞ
れ求めなさい。
Ａ
6㎝
イ
ア
3㎝
Ｂ
ウ
5㎝
答
【２】右の図は三角形ＡＢＣを㋐，㋑，㋒の 3 つの三角形に分けたものです。
㋐の面積が 24 ㎠のとき，㋑，㋒の面積をそれぞれ求めなさい。
Ｃ
15 ㎝
ア：18 ㎠，イ：36 ㎠，ウ：18 ㎠
Ａ
5㎝
㋐
㋑
Ｂ
㋒
5㎝
10 ㎝
答
Ｃ
6㎝
㋑：24 ㎠，㋒：28.8 ㎠
Ａ
【３】右の図は三角形ＡＢＣを㋐，㋑，㋒の 3 つの三角形に分けたものです。
㋑の面積が 83.2 ㎠のとき，三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。
16 ㎝
㋐
㋑
14 ㎝
㋒
Ｂ
16 ㎝
Ｃ
12 ㎝
答
364 ㎠
4
面積と辺の比(1)
例題３
右の図は台形ＡＢＣＤを㋐，㋑，㋒の 3 つの三角形に分けたものです。
ＤＥ：ＥＣが 2：3，㋑の面積が 60 ㎠のとき，台形ＡＢＣＤの面積を求め
なさい。
8㎝
Ａ
Ｄ
㋐
Ｅ
㋑
㋒
Ｂ
〔解き方〕
ＤＥ：ＥＣ＝2：3 だから，㋑：㋒＝②：③
㋑の面積が 60 ㎠なので，
㋒の面積は，60÷②×③＝90(㎠)
三角形ＤＢＣ(㋑＋㋒)の面積は，60＋90＝150(㎠)
ＡＤ：ＢＣ＝8 ㎝：20 ㎝＝2：5 より，
㋐：(㋑＋㋒)＝２：５
Ｄ
Ａ
㋐
㋑
20 ㎠
②
Ｃ
20 ㎝
8㎝
Ａ
2
㋐
２
Ｅ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
㋑
Ｅ
50 ㎠
５
㋒
3
㋒ ③
Ｄ
答
【１】右の図は台形ＡＢＣＤを㋐，㋑，㋒の 3 つの三角形に分けたものです。
ＤＥ：ＥＣ＝4：3，㋑の面積が 36 ㎠のとき，台形ＡＢＣＤの面積は何㎠で
すか。
Ｃ
20 ㎝
㋐の面積は，150÷５×２＝60(㎠)
台形ＡＢＣＤの面積は，60＋150＝210(㎠)
3㎝
Ａ
210 ㎠
Ｄ
㋐
㋑
Ｅ
㋒
Ｂ
Ｃ
5㎝
答
【２】右の図は面積が 120 ㎠の台形ＡＢＣＤを㋐，㋑，㋒の 3 つの三角形に分
けたものです。ＡＤ：ＢＣ=1：2，ＤＥ：ＥＣ＝3：5 のとき，㋐，㋑，㋒
の面積はそれぞれ何㎠になりますか。
Ａ
100.8 ㎠
Ｄ
㋐
Ｅ
㋑
㋒
Ｃ
Ｂ
答
㋐：40 ㎠，㋑：30 ㎠，㋒：50 ㎠
【３】右の図は，台形ＡＢＣＤを㋐，㋑，㋒の 3 つの三角形に分けたものです。
ＡＤ：ＢＣ＝1：2，ＡＥ：ＥＢ＝2：3 のとき，㋐，㋑，㋒の面積の比を最
も簡単な整数の比で表しなさい。
Ａ
Ｄ
㋒
Ｅ
㋐
㋑
Ｂ
Ｃ
答
4：6：5
5
面積と辺の比(1)
例題４
右の図は三角形ＡＢＣを直線ＤＥで 2 つの部分に分けたものです。
ＡＤ：ＤＢ＝2：3，ＡＥ：ＥＣ＝2：1 のとき，三角形ＡＤＥと三角形
ＡＢＣの面積の比を求めなさい。
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
〔解き方〕
Ａ
直線ＢＥをひき，三角形ＡＢＣを㋐と㋑と㋒の 3 つの三角形に分けて考えます。
2
ＡＤ：ＤＢ＝2：3 より，㋐と㋑の面積の比は②：③，
2
② ㋐
ＡＥ：ＥＣ＝2：1 より，(㋐＋㋑)：㋒の面積の比は２：１となるので，
Ｄ
したがって，右の連比より，
２
㋐：㋑：(㋐＋㋑)：㋒
Ｅ
3
三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣの面積の比は，
③㋑
②：③：(亜⑤意)
1
4：(4＋6＋5)＝4：15
１㋒
(亜２い)：１
Ｂ
Ｃ
4 ： 6 ：(㋐＋㋑)：
5
10
4：15
答
［別解］
下の図 1 の三角形㋐と，図 2 の三角形㋑の面積の比は②：③。
Ａ
(図 1)
(図 2)
㋐
Ｄ
Ａ
㋑
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
三角形ＡＤＥには三角形㋐が 2 つ，三角形ＡＢＣには三角形㋑が 5 つあるので，
三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣの面積の比は，
(②×2)：(③×5)＝4：15
以上のことから，
三角形ＡＤＥの面積と三角形ＡＢＣの面積の比＝(ＡＤ×ＡＥ)：(ＡＢ×ＡＣ) で求めることができます。
【１】右の図は，三角形ＡＢＣを直線ＤＥで 2 つの図形に分けたものです。ＡＤ：ＤＢ＝1：3，
ＡＥ：ＥＣ＝5：3 のとき，三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣの面積の比を求めなさい。
Ａ
Ｄ
Ｅ
答
5：32
Ｂ
Ｃ
【２】右の図は，三角形ＡＢＣを直線ＤＥで，㋐と㋑の 2 つの図形に分けたものです。
ＢＤ：ＤＣ＝2：3，ＡＥ：ＥＣ＝3：2 のとき，次の問いに答えなさい。
（１）三角形ＥＤＣと三角形ＡＢＣの面積の比を求めなさい。
答
Ａ
Ｅ
㋑
6：25
㋐
（２）㋑の面積が 38 ㎠のとき，㋐の面積は何㎠になりますか。
Ｂ
Ｃ
Ｄ
答
12 ㎠
6
面積と辺の比(1)
例題５
右の図は三角形ＡＢＣを㋐，㋑，㋒，㋓の 4 つの部分に分けたものです。
ＡＤ＝ＤＥ，ＢＥ＝ＥＦ，ＣＦ＝ＦＤのとき，次の問いに答えなさい。
（１）㋐と㋑の面積の比を求めなさい。
Ａ
㋓
Ｄ
（２）㋐の面積が 5 ㎠のとき，三角形ＡＢＣの面積は何㎠になりますか。
㋑
㋐
Ｆ
㋒
Ｅ
Ｂ
Ｃ
〔解き方〕
（１）ＡＥ：ＤＥ＝２：１，ＢＥ：ＥＦ＝①：①
㋐と㋑の面積の比は，(ＤＥ×ＥＦ)：(ＡＥ×ＢＥ)で求められるので，
(１×①)：(２×①)＝1：2
答 1：2
Ａ
２
１
（２）(１)と同様にして，㋐：㋒＝1：2，㋐：㋓＝1：2 となるから，
㋐，㋑，㋒，㋓の面積の比は，1：2：2：2
㋑，㋒，㋓の面積はそれぞれ，5×2＝10(㎠)
したがって，三角形ＡＢＣの面積は，5＋10×3＝35(㎠)
①
①
Ｂ
Ｃ
答
【１】右の図は三角形ＡＢＣを㋐，㋑，㋒，㋓の 4 つの部分に分けたものです。
ＡＥ：ＤＥ，ＢＦ：ＥＦ，ＣＤ：ＦＤがすべて 3：1 になるとき，次の問い
に答えなさい。
（１）㋐と㋑の面積の比を求めなさい。
Ａ
㋓
Ｄ
㋑
㋐
答
1：6
35 ㎠
Ｅ
Ｆ
㋒
Ｃ
Ｂ
（２）㋐の面積が 7 ㎠のとき，三角形ＡＢＣの面積は何㎠になりますか。
答
133 ㎠
【２】右の図のように，三角形ＡＢＣの各辺を延長して，その直線上に点を取り三角形ＤＥＦをつくります。ＣＡを 4 倍にのば
してＣＤを，ＡＢを 3 倍にのばしてＡＥを，ＢＣを 2 倍にのばしてＢＦをつくりました。このとき，三角形ＤＦＣの面積が
4 ㎠になりました。次の三角形の面積を求めなさい。
Ｄ
（１）三角形ＡＢＣの面積。
答
1㎠
Ａ
Ｂ
（２）三角形ＤＥＦの面積。
Ｅ
Ｃ
Ｆ
答
18 ㎠
7
面積と辺の比(1)
【１】右の図は三角形ＡＢＣを 4 つの三角形に分けたものです。
これについて，次の問いに答えなさい。
（１）三角形ア，イ，ウの面積の比を求めなさい。
答
Ａ
5㎝
7㎝
8㎝
5：7：8
Ｂ
（２）三角形ＡＢＤと三角形ＡＤＣの面積の比を求めなさい。
ア
イ
ウ
Ｃ
Ｄ 6㎝
18 ㎝
3：1
答
【２】右の図の三角形ＡＢＣについて，次の問いに答えなさい。
（１）三角形ＡＢＣの面積が 120 ㎠のとき，三角形ＡＢＤの面積は何㎠ですか。
Ａ
6㎝
Ｅ
48 ㎠
答
10 ㎝
（２）三角形ＡＥＣの面積が 45 ㎠のとき，三角形ＡＢＣの面積は何㎠ですか。
Ｂ
8㎝
答
【３】右の図は台形ＡＢＣＤをア，イ，ウの 3 つの三角形に分けたものです。
ＡＤ=15 ㎝，ＢＣ＝20 ㎝，ＤＥ：ＥＣ＝3：5，ウの面積が 120 ㎠のと
き，次の問いに答えなさい。
（１）三角形イの面積は何㎠ですか。
15 ㎝
Ａ
ア
Ｃ
12 ㎝
Ｄ
200 ㎠
Ｄ
Ｅ
イ
ウ
答
72 ㎠
Ｂ
Ｃ
20 ㎝
（２）台形ＡＢＣＤの面積は何㎠ですか。
答
336 ㎠
Ａ
【４】右の図は，三角形ＡＢＣを直線ＤＥで 2 つの図形に分けたものです。
ＡＤ：ＤＢ＝5：2，ＡＥ：ＥＣ＝2：3，三角形ＡＤＥの面積が 12 ㎠の
とき，三角形ＡＢＣの面積は何㎠ですか。
Ｅ
Ｄ
答
42 ㎠
Ｂ
【５】右の図は，三角形ＡＢＣを 4 つの三角形㋐，㋑，㋒，㋓に分けたもので，
ＡＤ：ＤＦ＝2：1，ＢＥ：ＥＤ＝3：1，ＣＦ：ＦＥ＝3：1 です。三角形Ａ
ＢＣの面積が 120 ㎠のとき，三角形㋐の面積は何㎠ですか。
Ｃ
Ａ
㋑
Ｄ
㋐
㋓
Ｆ
Ｅ
㋒
Ｃ
Ｂ
答
4㎠
8
割合に関する問題(2)～倍数算～
例題１（倍数算）
（１）兄と弟の所持金の比は 5：4 でしたが，兄が 200 円使ったので，兄と弟の所持金の比は 5：6 になりました。はじめ
に兄は何円持っていましたか。
（２）ＡとＢの所持金の比は 5：4 です。もし，ＡからＢに 300 円わたすと，ＡとＢの所持金の比は 5：7 になります。Ａ
とＢのはじめの所持金はそれぞれ何円でしたか。
（３）姉と妹のはじめの所持金の比は 5：3 でしたが，2 人とも 400 円の本を買ったので，姉と妹の所持金の比は 15：7 に
なりました。はじめに姉は何円持っていましたか。
〔解き方〕
（１）弟の所持金は変わらないので，弟の所持金の比
を 4 と 5 の最小公倍数 12 にそろえます。(右図)
すると，兄の所持金の比は 15－10＝5 減り，こ
れが兄の使った 200 円に相当するので，
200÷5＝40(円)･･･1
はじめの兄の所持金は，40×15＝600(円)
兄：弟
兄：弟
はじめ
5
：
4
×3
買った後
5
：
6
×4
15 ： 12
10 ： 12
答
600 円
（２）2 人の間でお金のやり取りをするので，2 人の所持金の和は変わりませんから，比の和をそろえます。
わたす前の 2 人の所持金の比の和は，5＋4＝9
Ａ：Ｂ：和
Ａ：Ｂ：和
わたした後の 2 人の所持金の比の和は，5＋7＝12
9 と 12 の最小公倍数は 36 なので，わたす前の比を
(36÷9＝)4 倍し，わたした後の比を(36÷12＝)3 倍
します。(右図)
Ａに注目すると，300÷(20－15)＝60(円)･･･1
はじめのＡの所持金は，60×20＝1200(円)
はじめのＢの所持金は，60×16＝960(円)
5
：
4
：
9
×4
20 ： 16 ： 36
わたした後 5
：
7
：
12
×3
15 ： 21 ： 36
わたす前
答
Ａ…1200 円，Ｂ…960 円
（３）2 人とも 400 円の本を買ったので，2 人の所持金の差は変わりませんから，比の差をそろえます。
本を買う前の 2 人の所持金の比の差は，5－3＝2
姉：妹：差
姉：妹：差
本を買った後の 2 人の所持金の比の差は，15－7＝8
×4
2 と 8 の最小公倍数は 8 なので，はじめの比を(8÷2
はじめ
5 ： 3 ： 2
20 ： 12 ： 8
＝)4 倍し，買った後の所持金の比はそのままにしま
×1
す。(右図)
買った後 15 ： 7 ： 8
15 ： 7 ： 8
姉に注目すると，400÷(20－15)＝80(円)･･･1
はじめの姉の所持金は，80×20＝1600(円)
答 1600 円
【１】はじめ，兄と弟の貯金額の比は 3：2 でしたが，兄が貯金を 2000 円おろしたので，2 人の貯金額の比は 5：4 になりまし
た。はじめ，兄の貯金額は何円でしたか。
答
12000 円
【２】はじめ，兄と弟の所持金の比は 5：2 でしたが，兄が 350 円の本を買ったので，兄と弟の所持金の比は 4：3 になりまし
た。兄と弟のはじめの所持金はそれぞれ何円でしたか。
答
兄…750 円，弟…300 円
9
割合に関する問題(2)～倍数算～
【３】姉と妹の持っているおはじきの個数の比は 5：2 です。姉が妹におはじきを 9 個あげたところ，2 人のおはじきの個数の
比は 9：5 になりました。2 人のおはじきはそれぞれ何個になりましたか。
答
姉…81 個，妹…45 個
【４】Ａ，Ｂ2 つの水そうがあります。はじめ，ＡとＢには 2：1 の割合で水が入っていましたが，ＡからＢに 2L の水をうつし
たところ，ＡとＢの水の割合は 2：3 になりました。はじめ，ＡとＢの水そうにはそれぞれ何 L の水が入っていましたか。
答
Ａ…5L，Ｂ…2.5L
【５】Ａ，Ｂ2 種類の品物の値段の比ははじめ 7：3 でしたが，その後Ａ，Ｂともに 70 円値上がりしたので，その比は 7：4 に
なりました。Ａ，Ｂのはじめの値段はそれぞれ何円でしたか。
答
Ａ…210 円，Ｂ…90 円
【６】兄と弟の貯金額の比ははじめ 5：3 でしたが，2 人とも 1000 円ずつ貯金をおろしたので，残っている貯金額の比は 2：1
になりました。兄と弟のはじめの貯金額はそれぞれ何円でしたか。
答
兄…5000 円，弟…3000 円
【７】赤白 2 つの箱に，何個かの玉が入っています。赤の箱と白の箱の玉の数の比は 7：5 でしたが，白の箱から赤の箱へ 5 個
の玉を移したので，赤と白の玉の数の比は 5：3 になりました。玉は全部で何個ありますか。
120 個
答
【８】池の水面からＡ，Ｂ2 本のくいが出ており，水面から出ている部分の長さの比が 10：1 です。その後，水面が 20 ㎝下が
ったので，水面から出ている部分の長さの比が 5：2 になりました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）Ｂのくいは，はじめ何㎝水面から出ていましたか。
答
4㎝
（２）水面が下がった後，Ａのくいは水面から何㎝出ましたか。
答
60 ㎝
10
割合に関する問題(2)～倍数算～
例題２（倍数変化算）
はじめＡとＢの所持金の比は 7：1 でしたが，Ａが 200 円使い，Ｂが 400 円もらったので，ＡとＢの所持金の比は 4：1
になりました。2 人のはじめの所持金は，それぞれ何円でしたか。
〔解き方〕
お金を使ったりもらったりする前と後では，2 人の所持金の和も差もはじめと同じにはなりません。そこで，はじめの A の
所持金を⑦円，Ｂの所持金を①円とすると，その後のＡの所持金は⑦－200（円）
，Ｂの所持金は①＋400（円）と表すことが
でき，これが 4：1 と表されているので，比例式をつくって考えます。
⑦
(⑦－200)：(①＋400)＝4：1
内項の積と外項の積が等しいので，
200 円
1×(⑦－200)＝4×(①＋400)
④
⑦－200＝④＋1600
右の線分図より，(1600＋200)÷(⑦－④)＝600(円)･･･①
1600 円
はじめの兄の所持金は，600×⑦＝4200(円)
はじめの弟の所持金は，600×①＝600(円)
答兄…4200 円，弟…600 円
【１】兄と弟は，はじめ同じお金を持っていましたが，兄が 600 円もらい，弟が 1200 円使ったので，兄のお金は弟の 3 倍にな
りました。兄ははじめ何円持っていましたか。
答
2100 円
【２】兄と弟の持っているお金の比は 3：2 でしたが，その後兄は 350 円使い，弟は 150 円もらったので，兄と弟の持っている
お金の比は 2：9 になりました。兄がはじめに持っていたお金は何円でしたか。
答
450 円
【３】はじめ兄と妹の所持金は同じでしたが，兄が 600 円使い，妹が母から 300 円もらったので，兄と妹の所持金の比は 3：4
になりました。兄ははじめ何円持っていましたか。
答
3300 円
【４】はじめお姉さんと妹の持っているお金の金額の比は 15：2 でした。買い物に行き，お姉さんは 6375 円，妹は 450 円使っ
たので持っているお金の金額の比が 3：2 になりました。お姉さんは，今何円持っていますか。
答
750 円
11
割合に関する問題(2)～倍数算～
【１】大小 2 つの箱に玉が入っています。大きい箱には小さい箱の 3 倍の玉が入っていましたが，小さい箱から大きい箱へ 10
個移したら，大きい箱の玉が小さい箱の玉の 4 倍になりました。今，小さい箱には何個の玉が入っていますか。
答
40 個
【２】姉と妹の持っているお金の比は，8：3 でしたが，妹がおじいちゃんから 150 円もらったので，2 人の持っているお金の
比は 12：7 になりました。はじめに姉と妹が持っていたお金はそれぞれ何円ですか。
答
姉…720 円，妹…270 円
【３】Ａ，Ｂ2 つの品物の値段の比は，はじめ 5：2 でしたが，その後Ａ，Ｂとも値段が 500 円上がったので、その比は 5：3
になりました。はじめのＡ，Ｂの値段はそれぞれ何円でしたか。
答
Ａ…1000 円，Ｂ…400 円
【４】同じ数のボールが入っている箱Ａ，Ｂがあります。箱Ａからボールを 8 個取り出し，箱Ｂにボールを 2 個入れると，Ａと
Ｂに入っているボールの個数の比は 4：5 になるそうです。Ａの箱に入っているボールは何個ですか。
答
40 個
【５】はじめＡはＢの 7 倍の金額を持っていましたが，Ａが 200 円使い，Ｂが 400 円もらったので，Ａの所持金はＢの 4 倍に
なりました。2 人のはじめの所持金は，それぞれ何円でしたか。
答
【６】分子に 2 を加えると
Ａ…4200 円，Ｂ…600 円
1
1
になり，分母に 4 を加えると
になる分数を求めなさい。
5
3
答
5/21
12
割合に関する問題(2)～年令算～
例題１
現在，Ａは 15 才，Ｂは 6 才です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）Ａの年令がＢの年令の 2 倍になるのは，今から何年後ですか。
（２）
ＡとＢの年令の比が 4：3 になるのは，今から何年後ですか。
（３）
Ａの年令がＢの年令の 4 倍だったのは，今から何年前ですか。
年令算では，誰でも同じだけ年をとるので，年令の差が変わらないことに注目します。
〔解き方〕
（１）2 人の年令の差は，15－6＝9(才)
〈何年か後〉
右の線分図より，
Ａ
9÷(2－1)＝9(才)･･･1 に相当⇒Ａの年令がＢの年令の 2 倍になるとき
のＢの年令
9－6＝3(年後)
Ｂ
②
9才
①
答
（２）(１)より，2 人の年令の差は 9 才なので，
右の線分図より，
9÷(4－3)＝9(才)･･･1 に相当
9×3＝27(才)･･･ＡとＢの年令の比が 4：3 になるときのＢの年令
27－6＝21(年後)
〈何年か後〉
④
Ａ
9才
③
Ｂ
答
（３）(１)より，2 人の年令の差は 9 才なので，
右の線分図より，
9÷(4－1)＝3(才)･･･1 に相当⇒Ａの年令がＢの年令の 4 倍だったとき
のＢの年令
6－3＝3(年前)
〈何年か前〉
Ａ
Ｂ
3 年後
21 年後
④
9才
①
答
3 年前
【１】今，Ａさんは 8 才で，お母さんは 34 才です。お母さんの年令がＡさんの年令の 3 倍になるのは，今から何年後ですか。
答 5 年後
【２】現在，Ａ君は 18 才，Ｂ君は 8 才です。Ａ君とＢ君の年令の比が 3：2 になるのは今から何年後ですか。
答
12 年後
【３】今，お父さんは 42 才で，Ａさんは 15 才です。今から何年前にお父さんの年令がＡさんの年令の 4 倍でしたか。
答 6 年前
13
割合に関する問題(2)～年令算～
【４】現在，Ａは 48 才，Ｂは 24 才です。ＡとＢの年令の比が 5：3 になるのは，今から何年後ですか。
答
12 年後
【５】現在，Ａは 16 才，Ｂは 10 才です。ＡとＢの年令の比が 2：1 だったのは，今から何円前ですか。
答 4 年前
例題２
Ａの水そうには 62L，Ｂの水そうには 34L の水が入っています。両方の水そうからそれぞれ 1 分間に 3L ずつポンプで
水をくみ出します。同時にくみ出し始めると，ＡとＢの水の量の比が 5：1 になるのは，くみ出し始めてから何分後ですか。
〔解き方〕
両方の水そうから同じ量(3L)ずつ水をくみ出すので，一方の水そうが空になるまで 2 つの水そうの水の量の差は変わらないこ
とに注目します。
〈何分か後〉
⑤
62－34＝28(L)･･･A と B の水そうの水量の差
Ａ
右の線分図より，
28L
28÷(5－1)＝7(L)･･･1 に相当⇒水量の比が 5：1 になったときのＢの水量
(34－7)÷3＝9(分後)
①
Ｂ
答 9 分後
【１】兄は 2500 円，弟は 500 円持っていました。今日，お母さんから同じ金額のおこづかいをもらったので，兄の金額は弟の
金額の 3 倍になりました。お母さんから何円ずつもらいましたか。
答
500 円
【２】兄は 1000 円，弟は 600 円持っています。今日から 2 人とも毎日 100 円ずつ使っていくと，兄の残金が弟の残金の 3 倍に
なるのは，何日後ですか。
答 4 日後
【３】Ａは 3500 円，Ｂは 2300 円持っていましたが，Ａ，Ｂとも同じ金額の本を買ったので，ＡとＢの残りの金額の比は 5：3
になりました。2 人はそれぞれ何円の本を買いましたか。
答
500 円
14
割合に関する問題(2)～年令算～
例題３
今，母は 38 才で，3 人の子どもの年令は 14 才，11 才，9 才です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）3 人の子どもの年令の和が，母の年令と等しくなるのは，今から何年後ですか。
（２）母の年令が，3 人の子どもの年令の和の 2 倍だったのは，今から何年前ですか。
〔解き方〕
（１）14＋11＋9＝34(才)･･･3 人の子どもの年令の和
1 年で，母の年令が 1 才増えるのに対し，3 人の子どもの年令の和は 3 才増えます。そのため，母の年令と 3 人の子どもの
年令の和との差は，3－1＝2(才) ずつ小さくなるので，
3 人の子どもの年令の和が，母の年令と等しくなるのは，
(38－34)÷(3－1)＝2(年後)
答 2 年後
（２）①年前に母の年令が，3 人の子どもの年令の和の 2 倍(2：1)だったすると，そのときの母の年令と 3 人の子どもの年令の
和は，それぞれ，
母･･･38－①(才)，3 人の子どもの年令の和･･･34－③(才)
38－①：34－③＝2：1
内項の積と外項の積が等しいので，
1×(38－①)＝2×(34－③)
38－①＝68－⑥
(68－38)÷(⑥－①)＝6(年前)
答 6 年前
【１】今，父は 41 才，2 人の子どもの年令はそれぞれ 11 才，5 才です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）姉妹の年令の和が，お父さんの年令と等しくなるのは，今から何年後ですか。
答
25 年後
（２）父の年令が，2 人子どもの年令の和の 2 倍になるのは，今から何年後ですか。
答 3 年後
【２】今年，お父さんは 42 才で，3 人の子どもはそれぞれ 14 才，11 才，7 才です。今から何年後に，お父さんの年令が 3 人
の子どもの年令の和に等しくなりますか。
答 5 年後
【３】今，おじいさんは 64 才，3 人の孫は 10 才と 7 才と 5 才です。おじいさんの年令が，3 人の孫の年令の和の 2 倍になるの
は，今から何年後ですか。
答 4 年後
15
割合に関する問題(2)～年令算～
【１】今，Ａさんは 12 才で，お母さんは 39 才です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）お母さんの年令とＡさんの年令の比が 2：1 になるのは，今から何年後ですか。
15 年後
答
（２）お母さんの年令とＡさんの年令の比が 4：1 だったのは，今から何年前ですか。
答
3 年前
【２】Ａ，Ｂ2 つのタンクがあって，Ａには 108ℓ，Ｂには 52ℓの水が入っています。いま，両方のタンクから，毎分 2ℓずつの
水を使っていくと，タンクＡとタンクＢの水の量の比が 3：１になるのは，水を使い始めてから何分後ですか。
12 分後
答
【３】今，お父さんとＡ君の年令の和は 52 才です。今から 4 年後には，お父さんの年令はＡ君の年令の 4 倍になります。これ
について，次の問いに答えなさい。
（１）今，お父さんは何才ですか。
答
44 才
（２）お父さんの年令が昭子さんの年令の 3 倍になるのは，今から何年後ですか。
答
10 年後
答
28 年後
【４】今，お父さんは 44 才，兄は 10 才，弟は 6 才です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）兄弟の年令の和が，お父さんの年令と等しくなるのは，今から何年後ですか。
（２）お父さんの年令が，兄弟の年令の和の 2 倍になるのは，今から何年後ですか。
答
4 年後
【５】今，お父さんは 41 才，お母さんは 38 才，3 人の子どもの年令はそれぞれ 9 才，5 才，3 才です。今から何年後に，父母
の年令の和が子どもの年令の和の 3 倍になりますか。
答
4 年後
16
体積と容積
要点のまとめ
かくちゅう
下の図のように，上下 2 つの面の多角形が合同で，平行になっている立体を角柱といいます。底面の形が三角形であれ
えんちゅう
ば三角柱，四角形であれば四角柱，五角形であれば五角柱，･････といい，底面の形が円であれば円柱といいます。このと
ていめん
そくめん
き，上下 2 つの面を底面，底面と底面をつないでいる面を側面といい，側面は底面に垂直に立っています。さらに，底面と
底面とのきょりを高さといいます。
三角柱
四角柱
円柱
五角柱
高さ
高さ
高さ
底面
底面
高さ
底面
底面
よって，角柱や円柱の体積は，角柱・円柱の体積＝底面積×高さで求めることができます。
また，角柱や円柱を展開図に表したとき，側面全体は，たての長さが高さ，横の長さが底面のまわりの長さに等しい長方
形になります。
底面の周りの長さ
高さ
底面の周りの長さ
高さ
側面
側面
よって，角柱や円柱の側面積は，角柱・円柱の側面積＝高さ×底面の周りの長さで求めることができ，
角柱や円柱の表面積は，角柱・円柱の表面積＝底面積×2＋側面積で求めることができます。
例題
次の立体の体積はそれぞれ何㎤ですか。また，表面積はそれぞれ何㎠ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
（１）
（２）
6㎝
8㎝
12 ㎝
8㎝
8㎝
10 ㎝
〔解き方〕
（１）＜体積＞
底面積＝6×8÷2＝24(㎤)
体積＝24×8＝192(㎤)
＜表面積＞
側面積＝8×(6＋8＋10)＝192(㎠)
表面積＝24×2＋192＝240(㎠)
（２）＜体積＞
底面の半径＝8÷2＝4(㎝)
底面積＝4×4×3.14＝50.24(㎠)
体積＝50.24×12＝602.88(㎤)
答体積…192 ㎤，表面積…240 ㎠
＜表面積＞
底面の周りの長さ＝8×3.14＝25.12(㎝)
側面積＝12×25.12＝301.44(㎠)
表面積＝50.24×2＋301.44＝401.92(㎠)
答
体積…602.88 ㎠，表面積…401.92 ㎠
17
体積と容積
【１】次の立体の体積は何㎤ですか。また，表面積は何㎠ですか。ただし，円周率は 3.14 とします。
（１）
（２）
10 ㎝
3㎝
8㎝
9㎝
12 ㎝
5㎝
13 ㎝
16 ㎝
12 ㎝
答
体積…576 ㎤，表面積…456 ㎠
（３）
答
体積…480 ㎤，表面積…540 ㎠
（４）(円柱を半分に切ったもの)
8㎝
答
15 ㎝
12 ㎝
3㎝
体積…226.08 ㎤，表面積…207.24 ㎠
答
体積…847.8 ㎤，表面積…575.64 ㎠
【２】右の図は円柱の半分と，三角柱でできています。この立体の体積と表面積をそれ
ぞれ求めなさい。ただし，円周率は 3.14 とします。
5㎝
4㎝
3㎝
8㎝
答
体積…126.5 ㎤，表面積…150.425 ㎠
【３】右の図は，ある立体の展開図です。円周率を 3.14 として，次の問いに答えなさい。
（１）もとの立体の表面積は何㎠ですか。
10 ㎝
45°
答
635.5 ㎠
20 ㎝
（２）もとの立体の体積は何㎤ですか。
答
785 ㎤
18
体積と容積
例題１
高さが等しく，底面積が 300 ㎠と 200 ㎠の直方体の容器Ａ，Ｂがあり，
容器Ａには 18 ㎝の深さまで水を入れました。これについて，次の問いに答
えなさい。
（１）容器ＡとＢの水の体積が同じになるように，ＡからＢへ水を移すと
ＡとＢの水の深さはそれぞれ何㎝になりますか。
Ｂ
300 ㎠
200 ㎠
18 ㎝
（２）ＡからＢへ何㎤かの水を移したところ，ＡとＢの水の深さが同じに
なりました。
① このときの水の深さは何㎝ですか。
②
Ａ
何㎤の水を移しましたか。
〔解き方〕
（１）『容器ＡとＢの水の体積が同じになるように，ＡからＢへ水を移す』ので，Ａに入っている水の半分をＢの容器に移すこ
とになります。
よって，Ａの深さは，18÷2＝9(㎝)
移した水の体積は，300×18÷2＝2700(㎤)
Ｂの深さは，2700÷200＝13.5(㎝)
答Ａ…9 ㎝，Ｂ…13.5 ㎝
Ａ
Ｂ
（２）
① 水の体積は，300×18＝5400(㎤)
『ＡとＢの水の深さが同じ』になったので，
右の図のようにＡとＢの 2 つの容器をくっつけて考えて，
5400÷(300＋200)＝10.8(㎝)
18 ㎝
答 10.8 ㎝
□㎝
② 移した水の体積は，200×10.8＝2160(㎤)
200 ㎠
300 ㎠
【１】直方体の形をしたＡ，Ｂ2 つの容器は深さが等しく，底面積はそれぞ
れ 300 ㎠，400 ㎠です。今，Ａにだけ 28 ㎝の深さまで水を入れました。
これについて，次の問いに答えなさい。
（１）容器Ａの水の一部をＢに移したところ，ＡとＢの水の量が等しくなり
ました。このとき，Ａ，Ｂの水の深さはそれぞれ何㎝になりますか。
答
Ａ
Ｂ
300 ㎠
400 ㎠
2160 ㎤
28 ㎝
答
Ａ…14 ㎝，Ｂ…10.5 ㎝
（２）容器Ａの水の一部をＢに移したところ，Ａ，Ｂの水の深さが等しくなりました。
① このとき，水の深さは何㎝になりましたか。
答
②
12 ㎝
ＡからＢに移した水の量は何㎤ですか。
答
4800 ㎤
19
体積と容積
例題２
内のりが右のような直方体を組み合わせた形の容器があり，中に 2Ｌの水を入れて
あります。このとき，次の問いに答えなさい。
（１）この容器の容積は何㎤ですか。
20 ㎝
（２）水の深さは何㎝ですか。
10 ㎝
Ａ
5㎝
10 ㎝
（３）この容器にふたをして，Ａの面を底にすると，水の深さは何㎝になりますか。
20 ㎝
〔解き方〕
（１）右の図 1 のように，容器を上下 2 つに分けて考えると，
下段の容積は，10×20×5＝1000(㎤)
上段の容積は，10×(20－10)×(20－5)＝1500(㎤)
容器の容積は，1000＋1500＝2500(㎤)
(図 1)
上段
2500 ㎤
答
下段
（２）2L＝2000 ㎤
(１)より，下段の容積が 1000 ㎤なので，上段に入っている水の体積は，2000－1000＝1000(㎤)
上段の底面積は，10×10＝100(㎠) なので，
水の深さは，5＋1000÷100＝15(㎝)
(図 2)
答
15 ㎝
（３）A の面を底にすると右の図 2 のような柱体になります。
この柱体の底面積(Ａの面の面積)は，20×20－(20－5)×10＝250(㎠)
水の深さは，2000÷250＝8(㎝)
答
【１】次の図[Ａ]は直方体を組み合わせた容器で，[Ｂ]は
直方体の容器です。[Ａ]，[Ｂ]の容器にそれぞれ 6 ㎝
の深さまで水を入れました。容器の厚さは考えない
ものとして，次の問いに答えなさい。
（１）図[Ａ]の容器に入っている水の量は何Ⅼですか。
[Ｂ]
[Ａ]
8㎝
15 ㎝
16 ㎝
6㎝
6㎝
10 ㎝
10 ㎝
答
1.2Ⅼ
8㎝
10 ㎝
20 ㎝
（２）図[Ｂ]の容器の水を全て図[Ａ]の容器に移すと，図[Ａ]の容器の水の深さは何㎝になりますか。
答
【２】右の図のような直方体を組み合わせた形の水そうに，14 ㎝の深さまで水が入って
います。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）入っている水の体積は何㎤ですか。
10 ㎝
16 ㎝
答
1280 ㎤
（２）この容器にふたをして，Ａの面を底にすると，水の深さは何㎝になりますか。
12 ㎝
8㎝
Ａ
12 ㎝
10 ㎝
答
6.4 ㎝
20
体積と容積
例題３
内のりが，右の図のような直方体の水そうに，水が深さ 12 ㎝まで入ってい
ます。この水そうの中に，たて 5 ㎝，横 10 ㎝，高さ 20 ㎝の直方体のおもり
を矢印の方向にまっすぐに沈めていきます。これについて，次の問いに答えな
さい。
（１）直方体を水そうの底まで沈めると，水の深さは何㎝になりますか。
20 ㎝
10 ㎝
5㎝
（２）直方体を底から 9 ㎝だけ引き上げると，水の深さは何㎝になりますか。
20 ㎝
（３）水面から 12 ㎝だけ沈めると，水の深さは何㎝になりますか。
12 ㎝
10 ㎝
20 ㎝
〔解き方〕
（１）右の図のように，直方体のおもりを沈めることによって，沈んだ
．．．．．．．
おもりの体積だけ水が押しのけられて，水の深さが増えますから，
右の図のＡとＢの部分の体積は等しくなります。
Ａの部分の体積は，10×5×12＝600(㎤)
12 ㎝
Ｂの部分の体積も同様に 600 ㎤なので，
600÷(10×20－5×10)＝4 ㎝･･･増えた深さ
よって，水の深さは，12＋4＝16(㎝)
（２）右の図のように，おもりを引き上げることでできたすき間に水が
流れ込むので，右の図のＡとＢの体積は等しくなります。
Ａの部分の体積は，5×10×9＝450(㎤)
Ｂの部分の体積も同様に 450 ㎤になるので，
450÷(10×20－5×10)＝3(㎝)･･･減った深さ
(１)より水の深さは 16 ㎝になっているので，
水の深さは，16－3＝13(㎝)
Ｂ
Ｂ
Ａ
12 ㎝
Ａ
50 ㎠
200 ㎠
答
16 ㎝
答
13 ㎝
答
15 ㎝
Ｂ
9㎝
Ａ
（３）右の図より，直方体のおもりを沈めることによって，Ａの部分の
水が押しのけられてＢに移ります。ところが水に沈んだ 12 ㎝はＣ
の部分をふくめた長さなので，
Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃとなることに注目し
きょうゆう
ます。(ＡとＢの部分にＣの部分を共有させます。)
5×10×12＝600(㎤)･･･Ａ＋Ｃ(＝Ｂ＋Ｃ)
600÷(10×20)＝3(㎝)･･･Ａの部分が沈んだことによって増えた深さ
水の深さは，12＋3＝15(㎝)
12 ㎝
Ｃ
Ａ
【１】右の図のような底面積が 300 ㎠で高さが 20 ㎝の直方体の水そうに，10 ㎝の深さま
で水が入っています。この水そうに底面積が 100 ㎠で高さが 20 ㎝の直方体のおもり
をまっすぐに入れていくとき，次の問いに答えなさい。
（１）直方体のおもりを水そうの底まで入れると，水の深さは何㎝になりますか。
Ｂ
12 ㎝
□㎝
100 ㎠
20 ㎝
20 ㎝
答
10 ㎝
15 ㎝
（２）直方体のおもりを水そうの底から 5 ㎝だけ引き上げると，水の深さは何㎝になりますか。
300 ㎠
答
12.5 ㎝
21
体積と容積
【２】内のりがたて 8 ㎝，横 10 ㎝，高さ 12 ㎝の直方体の容器に，5 ㎝の深さまで，水が入っています。この中に，たて 6 ㎝，
横 5 ㎝，高さ 12 ㎝の直方体のおもりを，水そうの底につくまでまっすぐに沈めました。これについて，次の問いに答えな
さい。
（１）水の深さは何㎝になりますか。
答
8㎝
（２）直方体のおもりを容器の底から 3 ㎝だけ引き上げると，水の深さは何㎝になりますか。
答
【３】8 ㎝の深さまで水が入っている直方体の容器に，図 1 のよう
な直方体の棒を入れたところ，水の深さは図 2 のように 12 ㎝
になりました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）この容器の底面積は何㎠ですか。
6.2 ㎝
(図 1)
25 ㎝
18 ㎝
8㎝
8㎝
5㎝
(図 2)
答
120 ㎠
（２）直方体の棒を，容器の底から 5 ㎝だけ上に引き上げると，
水の深さは何㎝になりますか。
12 ㎝
答
9.5 ㎝
答
6.4 ㎝
【４】内のりがたて 8 ㎝，横 10 ㎝，高さ 10 ㎝の直方体の水そうに，6 ㎝の深さまで水が入って
います。この中で，たて 4 ㎝，横 4 ㎝，高さ 12 ㎝の直方体のおもりを右の図のように，まっ
すぐに入れていくとき，次の問いに答えなさい。
（１）このおもりを水そうの底につくまで沈めると，水の深さは何㎝になりますか。
答
7.5 ㎝
（２）このおもりを水面から 2 ㎝だけ沈めると，水の深さは何㎝になりますか。
（３）水の深さが 7 ㎝になるのは，このおもりを水面から何㎝沈めたときですか。
答
5㎝
22
体積と容積
例題４
右の図のような，たて 10 ㎝，横 6 ㎝，深さ 8 ㎝の直方体の容器に，
深さ 7 ㎝まで水が入れてあります。この容器を図 1 のように，ＡＢを
軸として水がこぼれないように右へかたむけました。これについて，
次の問いに答えなさい。
（１）図 1 の□の長さを求めなさい。
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｆ
8㎝
10 ㎝
Ｅ 6㎝Ａ
（２）図 1 の状態から，図 2 のようにさらに右の方へかたむけました。
このとき，こぼれた水の量は何㎤ですか。
図1
図2
Ｄ
□㎝
Ｅ
Ｄ
Ｅ
Ａ
Ａ
〔解き方〕
（１）図 1 の様子を見取り図に表すと右の図のようになり，水は底面が
台形の四角柱になります。
水の体積は，10×6×7＝420(㎤)
□㎝
(□＋8)×6÷2×10＝420(㎤)より，
□＝420÷10×2÷6－8＝6(㎝)
Ｅ
Ｃ
Ｄ
Ｆ
Ｂ
答
Ａ
（２）図 2 の様子を見取り図に表すと右の図のようになり，水は底面が
三角形の三角柱になります。
容器に残っている水の体積は，6×8÷2×10＝240(㎤)
こぼれた水の量は，420－240＝180(㎤)
Ｆ
6㎝
Ｃ
Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ａ
180 ㎤
答
【１】内のりがたて 12.5 ㎝，横 20 ㎝，深さ 19 ㎝の直方体の容
器に，水が満水になるまで入っています。右の図のように，
容器の底面の 1 辺を水平な机の上につけたまま，静かにかた
むけて 1L だけ水を流しました。
図の□の長さは何㎝ですか。
□㎝
20 ㎝
19 ㎝
19 ㎝
12.5 ㎝
20 ㎝
答
10 ㎝
【２】右の図のような直方体の容器に，水が満水まで入っていま
す。この容器の底面の１辺ＡＢをつけたまま，静かに 45 度か
たむけると，こぼれた水の体積は何㎤になりますか。
18 ㎝
Ｂ
12
㎝
10 ㎝Ａ
45°
Ａ
答
【３】右の図 1 のような直方体の容器に，深さ３㎝まで水が入ってい
ます。底面は正方形で一辺が 5 ㎝です。図 2 のように，この容器
の底面の 1 辺を床につけたままかたむけたとき，x の長さは何㎝
になりますか。
8㎝
図1
図2
10 ㎝
3㎝
5㎝Ａ
600 ㎤
Ｂ
5㎝
x㎝
5㎝
Ａ
答
9㎝
23
体積と容積
【１】右の立体は，直方体を組み合わせて作ったものです。この立体の
体積は何㎤ですか。また，表面積は何㎠ですか。
11 ㎝
6㎝
3㎝
3㎝
6㎝
6㎝
4㎝
答
3㎝
体積：306 ㎤，表面積：534 ㎠
【２】右の図は，円柱の展開図です。このことについて，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は 3.14 とします。
（１）この立体の体積は何㎤ですか。
答
31.4 ㎝
942 ㎤
12 ㎝
（２）この立体の表面積は何㎠ですか。
533.8 ㎠
答
【３】直方体の形をしたＡ，Ｂ2 つの容器があり，Ａの底面積は 300 ㎠，Ｂの底面積は 200 ㎠です。また，Ａの容器には 20 ㎝
の深さまで水が入っていて，Ｂの容器には 3.6L の水が入っています。Ａの容器の水の一部をＢに移してＡ，Ｂの水の深さ
を等しくしました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）水の深さは何㎝になりましたか。
答
18 ㎝
（２）ＡからＢに何㎤の水を移しましたか。
240 ㎤
答
【４】内のりが右のような直方体を組み合わせた形の容器があります。この中に 1.2L の水を入れました。これについて，次の
問いに答えなさい。
（１）この容器の容積は何㎤ですか。
答
2500 ㎤
20 ㎝
10 ㎝
Ａ
5㎝
（２）水の深さは何㎝ですか。
10 ㎝
20 ㎝
答
12 ㎝
答
4.8 ㎝
（３）この容器にふたをして，Ａの面を底にすると，水の深さは何㎝になりますか。
24
体積と容積
【３】右の図①は，たて 10 ㎝，横 12 ㎝，高さ 20 ㎝の直方体の形をした容器
に，水を 16 ㎝の深さまで入れたようすを表したものです。いま，たて 6
㎝，横 8 ㎝，高さが 25 ㎝の直方体の棒を，上からまっすぐに容器の中に
入れていきます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）水がこぼれないように，棒を水の中に沈めたところ，図②のように，水
の深さが 20 ㎝になりました。このとき，x は何㎝ですか。
答
16 ㎝
(図①)
x
10 ㎝
20 ㎝
（２）さらに，図③のように，容器の底まで棒をしずめました。
このとき，水そうからこぼれた水は何㎤ですか。
(図②)
(図③)
答
【４】図のような直方体の容器に水をみたし，水平な台の上にのせてあります。これにつ
いて，次の問いに答えなさい。
（１）辺ＢＣを台につけたまま，ゆっくり容器を 45 度かたむけて，もとにもどしたとき，
水面の高さは何㎝になりますか。
480 ㎤
10 ㎝
Ｃ
12 ㎝
答
7㎝
Ａ 6㎝Ｂ
（２）(１)の作業を終えた後に，今度は辺ＡＢを台につけたまま，ゆっくり容器を 45°かたむけたとき，水は何㎤こぼれますか。
答
204 ㎤
【５】底面積が 250 ㎠で，深さが 20 ㎝の円柱の容器と，底面積が 50 ㎠で，高さが 15 ㎝の直方体のおもりが 2 個あります。い
ま，容器に 10 ㎝の深さまで水を入れました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）直方体のおもり 1 個を容器の底に立てると，水の深さは何㎝になりますか。
答
12.5 ㎝
（２）(１)のあと，さらにもう 1 個のおもりを底に立てると，水の深さは何㎝になりますか。
答
16 ㎝
25
容積と比
例題１
底面積が異なる，高さの等しい 2 つの円柱の容器Ａ，Ｂがあります。この 2 つの容器に同じ量の水を入れたところ，Ａの
水の深さは 18 ㎝，Ｂの水の深さは 15 ㎝になりました。このとき，ＡとＢの底面積の比を求めなさい。
〔解き方〕
同じ量の水を入れたので，容器Ａと容器Ｂに入っている水の体積の比は 1：1 になります。
この体積の比を実際の体積として底面積を求めると，『底面積＝水の体積÷深さ』なので，
1
1
底面積の比･･･容器Ａ：容器Ｂ＝(1÷18)：(1÷15)＝
：
＝5：6
18
15
別解)
直方体や円柱の形をした容器に水を入れるとき，
① 底面積が等しいとき，水の体積と水の深さは比例します。
水の体積＝容器の底面積×水の深さ
で求めますから，右のような関係になります。
③の関係から，
深さの比･･･容器Ａ：容器Ｂ
＝18 ㎝：15 ㎝＝6：5
底面積の比･･･容器Ａ：容器Ｂ
1
1
＝
：
＝5：6
6
5
⇒ 水の体積の比と水の深さの比は等しくなります。
② 水の深さが等しいとき，水の体積と容器の底面積は比例
します。
⇒ 水の体積の比と底面積の比は等しくなります。
③ 水の体積が等しいとき，水の深さと底面積の比は反比例
します。
⇒ 水の深さの比と底面積の比は逆比になります。
答
5：6
【１】円柱の形をした容器Ａ，Ｂがあります。容器Ａの底面積は 80 ㎠で深さは 24 ㎝，容器Ｂの底面積は 100 ㎠で深さは 16 ㎝
です。容器Ａと容器Ｂの容積の比を求めなさい。
答
2：3
【２】水の入った直方体の容器Ａ，Ｂがあります。ＡとＢの底面積の比は 5：3 で，ＡとＢに入っている水の体積の比は 2：1
です。このとき，ＡとＢの水の深さの比を求めなさい。
答
6：5
【３】直方体の形をした，底面積が等しい 2 つの容器Ａ，Ｂがあります。容器Ａには 6 ㎝の深さまで，容器Ｂには 8 ㎝の深さま
で水を入れたとき，容器Ａと容器Ｂに入っている水の体積の比を求めなさい。
答
3：4
【４】直方体の形をした，2 つの容器Ａ，Ｂがあり容器Ａの底面積は 30 ㎠，容器Ｂの底面積は 25 ㎠です。この 2 つの容器に同
じ深さになるように水を入れたとき，容器Ａと容器Ｂに入っている水の体積の比を求めなさい。
答
6：5
【５】円柱形の 2 つの容器Ａ，Ｂがあります。この 2 つの容器に同じ量の水を入れたところ，容器Ａの水の深さは 12 ㎝，容器
Ｂの水の深さは 9 ㎝になりました。容器Ａと容器Ｂの底面積の比を求めなさい。
答
3：4
【６】円柱の形をした 2 つの容器Ａ，Ｂがあります。この 2 つの容器に同じ量の水を入れたところ，容器Ａと容器Ｂの底面積の
比が 7：8 であるとき，容器Ａと容器Ｂの水の深さの比を求めなさい。
答
8：7
26
容積と比
例題２
右の図のような高さの等しい円柱形の容器Ａ，Ｂがあり，容器Ａと容器
Ｂの底面積の比は 5：4 です。はじめ 2 つの容器は空の状態であるものと
して，次の問いに答えなさい。
（１）容器Ａと容器Ｂに同じ量の水を入れたところ，容器Ａの水の深さが
8 ㎝になりました。このとき，容器Ｂの水の深さは何㎝になりました
か。
20 ㎝
20 ㎝
（２）Ｂの容器に 15 ㎝の深さまで入れた後，この水を全て容器Ａに移す
と，容器Ａの水の深さは何㎝になりますか。
Ａ
Ｂ
（３）容器Ａには 9 ㎝，容器Ｂには 4 ㎝の深さまで水を入れた後，容器Ｂ
の水を全て容器Ａに移すと，容器Ａの水の深さは何㎝になりますか。
〔解き方〕
（１）同じ量の水を入れると，容器の底面積の比と水の深さの比は逆比の関係になるので，
1
1
水の深さの比･･･容器Ａ：容器Ｂ＝
：
＝4：5
5
4
容器Ｂの水の深さは，8÷4×5＝10(㎝)
答
10 ㎝
答
12 ㎝
（２）底面積の比を実際の底面積として考えます。
4×15＝60･･･水の体積
60÷5＝12(㎝)
別解）
容器Ｂの水を全て容器Ａに移すので，同じ量の水を入れる
ことと同じになります。
(１)より，容器Ａと容器Ｂの水の深さの比が 4：5 なので，
容器Ａの深さは，15÷5×4＝12(㎝)
15 ㎝
Ａ
Ｂ
（３）底面積の比を実際の底面積として考えます。
5×9＋4×4＝61･･･水の体積の和
61÷5＝12.2(㎝)
別解）
容器Ｂの水を全て容器Ａに移すので，
4÷5×4＝3.2(㎝)･･･容器Ａの増える水の深さ
9＋3.2＝12.2(㎝)
9㎝
4㎝
Ａ
Ｂ
答
12.2 ㎝
【１】高さの等しい 2 つの空の容器Ａ，Ｂがあります。容器Ａと容器Ｂの底面積の比は 3：5 です。はじめ，2 つの容器は空の
状態であるものとして，次の問いに答えなさい。
（１）容器Ｂに 13.5 ㎝の深さまで水を入れ，この水を全て容器Ａに移すと，容器Ａの水の深さは何㎝になりますか。
答
22.5 ㎝
（２）容器Ａには 20 ㎝の深さまで，容器Ｂには 5 ㎝の深さまで水を入れます。次に，容器Ａの水を全て容器Ｂに移すと，容器
Ｂの水の深さは何㎝になりますか。
答
17 ㎝
27
容積と比
例題３
高さが等しく，底面積が異なる円柱の形をした容器Ａ，Ｂ，Ｃがあります。
Ａの容器には 8 ㎝，Ｂの容器には 5 ㎝の深さまで水が入っており，Ｃの容器
には何も入っていません。Ａの容器の水を全て容器Ｃに移すと，水の深さは
18 ㎝になり，Ｂの容器の水を全てＣの容器に移すと，水の深さは 7.5 ㎝にな
ります。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）Ａ，Ｂ，Ｃの容器の底面積の比を求めなさい。
（２）Ａの容器の水をすべてＢとＣの容器に移して，ＢとＣの水の深さを同
じにしました。このとき，水の深さは何㎝になりましたか。
Ａ
Ｂ
〔解き方〕
（１）
『Ａの容器の水を全て容器Ｃに移すと，水の深さは 18 ㎝』になったので，
水の体積が等しいとき，水の深さの比と底面積の比は逆比の関係になりますから，
1
1
深さの比･･･Ａ：Ｃ＝8：18＝4：9，底面積の比･･･Ａ：Ｃ＝
：
＝9：4
4
9
1
1
深さの比･･･Ｂ：Ｃ＝5：7.5＝2：3，底面積の比･･･Ｂ：Ｃ＝
：
＝3：2
2
3
右の連比より，底面積の比･･･Ａ：Ｂ：Ｃ＝9：6：4
Ｃ
Ａ：Ｂ：Ｃ
9 ：
4
3 ： 2
9 ： 6 ： 4
答
9：6：4
（２）底面積の比を実際の底面積として考えます。
水の体積の和は，⑨×8＋⑥×5＝ 102
水の深さは， 102 ÷(⑥＋④)＝10.2(㎝)
8㎝
5㎝
⑨
⑥
④
【１】右の図のような高さの等しい直方体の容器Ａ，Ｂがあります。この
2 つの容器に同じ量の水を入れたところ，Ａの深さは 6 ㎝に，Ｂの深
さは 18 ㎝になりました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）容器Ａと容器Ｂの底面積の比を求めなさい。
答
Ａ
10.2 ㎝
Ｂ
18 ㎝
答
3：1
6㎝
（２）容器Ｂの水の一部を移して，2 つの容器に入っている水の深さを同じにすると，深さは何㎝になりますか。
答
【２】右の図のような直方体の形をした高さが等しい容器Ａ，Ｂ，Ｃがあり
ます。ＡとＢの容器には同じ量の水が入っており，深さはそれぞれ６㎝
と９㎝で，Ｃは空です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）容器Ａの水をすべて容器Ｃに移すと，容器Ｃの水の深さは 12 ㎝に
なります。Ａ，Ｂ，Ｃの容器の底面積の比を求めなさい。
Ａ
6㎝
Ｂ
9㎝
Ｃ
9㎝
答
6：4：3
（２）Ｂの容器の水をすべてＡとＣの容器に移したところ，ＡとＣの容器の水の深さが同じになりました。このとき，水の深さ
は何㎝になりましたか。
答
8㎝
28
容積と比
【１】高さが等しく直方体の形をした空の容器Ａ，Ｂ，Ｃがあります。ＡとＢの底面積の比は 9：8，ＡとＣの底面積の比は 3：
2 です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）3 つの容器に同じ量の水を入れたところ，Ｂの容器の水の深さが 7.2 ㎝になりました。Ｃの容器の水の深さは何㎝になり
ますか。
答
6.4 ㎝
（２）ＢとＣの水の量の比が 2：1 になるように水を入れたところ，Ｂの水の深さが 9 ㎝になりました。Ｃの容器の水の深さは
何㎝になりますか。
答
【２】高さが等しいＡ，Ｂ2 つの円柱の容器があります。Ａにいっぱいの水を入れ，その
6㎝
5
の水をＢに移したところ，水の深
8
さの比が 2：5 になりました。容器ＡとＢの底面積の比を求めなさい。
答
【３】右の図のような，高さが等しく直方体の形をした容器Ａと円柱形の容器
Ｂがあります。ＡとＢの底面積の比は 2：1 で，Ａには 10 ㎝，Ｂには 4 ㎝
の深さまで水が入っています。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＡとＢに入っている水の体積の比を求めなさい。
Ａ
10 ㎝
答
3：2
Ｂ
4㎝
5：1
（２）Ａの水の一部をＢに移し，ＡとＢの容器の水の深さを同じにしました。このときの水の深さは何㎝ですか。
答
【４】水がいっぱい入っている高さの等しい直方体の形をした容器Ａ，Ｂ，Ｃが
あります。ＡとＣの底面積の比は 2：3 で，ＢとＣの底面積の比は 5：6 です。
いま，3 つの容器から同じ量の水を捨てたところ，Ａは空になり，Ｂは深さ
が 7.2 ㎝になりました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）容器の高さは何㎝ですか。
Ａ
Ｂ
8㎝
Ｃ
答
36 ㎝
答
12 ㎝
（２）水を捨てた後，Ｃの容器の水の深さは何㎝になりますか。
29
相似な図形～縮尺～
例題１
（１）4 ㎞の距離を，縮尺
1
の地図上で表すと，何㎝になりますか。
50000
（２）縮尺 1：1000 の地図上で 5 ㎝の距離は，実際には何ｍの距離になりますか。
〔解き方〕
1
1
は 1：50000 とも表し，実際の距離を
に縮小することです。
50000
50000
4 ㎞＝4000ｍ＝400000 ㎝より，
1
地図上の距離は， 400000×
＝8(㎝)
50000
（１）縮尺
8㎝
答
1
1
（２）(実際の距離)×
＝5(㎝)ですから，5÷
＝5000(㎝)＝50(ｍ)
1 000
1 000
50ｍ
答
【１】縮尺 1：50000 の地図上で 12 ㎝の距離は，実際には何㎞ですか。
6㎞
答
【２】10 ㎞の距離を縮尺
1
の地図上で表すと何㎝の長さになりますか。
25000
答
40 ㎝
答
30 分
【３】縮尺 1：20000 の地図上で，10 ㎝で表される距離を時速 4 ㎞で歩くと何分かかりますか。
例題２
（１）縮尺
1
の地図上で 4 ㎠の面積は，実際には何 a になりますか。
1000
（２）6 ㎢の距離を，縮尺 1：50000 の地図上で表すと，何㎠になりますか。
〔解き方〕
（１）右の図のような 4 ㎠の長方形を考えます。
実際のたての長さは，1 ㎝×1000＝1000(㎝)＝10(m)
実際の横の長さは，4 ㎝×1000＝4000(㎝)＝40(m)
実際の面積は，10×40＝400(㎡)＝4(a)
1㎝
参考
1a＝100 ㎡
1ha＝100a＝10000 ㎡
4㎠
4㎝
答
（２）右の図のような 6 ㎢の長方形を考えます。
1 ㎞＝1000ｍ＝100000 ㎝
1
地図上のたての長さは，100000 ㎝×
＝2(㎝)
50000
1
地図上の横の長さは，600000 ㎝×
＝12(㎝)
50000
地図上の面積は，2×12＝24(㎠)
1㎞
4a
6㎢
6㎞
答
24 ㎠
30
相似な図形～縮尺～
1
【１】縮尺
の地図上で 12 ㎠の面積は，実際には何 a になりますか。
3000
答
108a
【２】8 ㎢の面積を，縮尺 1：20000 の地図上で表すと，何㎠になりますか。
【３】縮尺
答
200 ㎠
答
500ha
1
の地図上で 20 ㎠の面積は，実際には何 ha になりますか。
50000
要点のまとめ
１相似と合同
○2 つの図形が同じ形(拡大図と縮図の関係になっている形)であるとき，2 つの図形は相似である(相似形)といいます。
○2 つの図形が形も大きさも同じであるとき，2 つの図形は合同であるといいます。
○三角形では，次のことが成り立ちます。
三角形の相似条件
三角形の合同条件
① ３組の辺の比がすべて等しい。
a
c
① ３辺がそれぞれ等しい。
d
f
a
c
e
b
b
a
d
Ｂ
Ｅ
② ２辺とその間の角がそれぞれ等しい。
a
Ｅ
e
b
a＝d，b＝e，角Ｂ＝角Ｅ
a：d＝b：e，角Ｂ＝角Ｅ
③ ２組の角がそれぞれ等しい。
③ １辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
Ａ
Ｂ
d
Ｂ
e
b
f
e
a＝d，b＝e，c＝f
a：d＝b：e＝c：f
② ２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
d
Ｄ
Ｅ
角Ａ＝角Ｄ，角Ｂ＝角Ｅ
２相似比と面積比
三角形の相似条件にあるように，2 つの相似な三角形では，
対応する 3 つの辺の長さの比はすべて等しくなります。この比
を相似比といいます。
右の図の三角形Ａと三角形Ｂの相似比は底辺の長さを考え
て 2：3 であることがわかります。このとき，高さの比も 2：3
になりますから，三角形Ａと三角形Ｂの面積の比は，
(2×2÷2)：(3×3÷2)＝2：4.5＝4：9
となります。
a
Ａ
Ｄ
d
Ｅ
Ｂ
a＝d，角Ａ＝角Ｄ，角Ｂ＝角Ｅ
Ａ
Ｂ
2
相似比 a：b ⇒ 面積比 ( a×a )：( b×b )
3
31
相似な図形
例題１
右の図のＡＢとＤＥは平行です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＡＣとＤＣの長さの比を求めなさい。
Ｄ
Ａ
5.4 ㎝
3.6 ㎝
（２）ＢＣの長さは何㎝ですか。
Ｅ
（３）三角形ＡＢＣの面積が 16 ㎠のとき，三角形ＤＥＣの面積を求めなさい。
〔解き方〕
右の図で，角●は共通の角で等しく，ＡＢとＤＥが
平行なので，角■どうしは同位角で等しくなるので三
角形ＡＢＣと三角形ＤＥＣは相似形になります。
（１）ＡＣ：ＤＣ＝ＡＢ：ＤＥ＝3.6 ㎝：5.4 ㎝
3.6 ㎝
＝2：3
Ｂ
Ｃ
7.2 ㎝
Ｄ
Ａ
5.4 ㎝
Ｃ
ＣＥ
Ｂ
7.2 ㎝
2：3
答
（２）(１)より，三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＣの相似比が 2：3 になるので，
2：3＝ＢＣ：7.2
ＢＣ＝2×7.2÷3＝4.8(㎝)
答
4.8 ㎝
答
36 ㎠
（３）三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＣの面積比は，(2×2)：(3×3)＝4：9
4：9＝16：三角形ＤＥＣ
三角形ＤＥＣ＝9×16÷4＝36(㎠)
【１】右の図のＢＣとＤＥは平行です。x と y の長さはそれぞれ何㎝ですか。
Ａ
y
18 ㎝
30 ㎝Ｂ
答
x：40 ㎝，y：21 ㎝
Ｃ
24 ㎝
Ｄ
35 ㎝
Ｅ
x
【２】右の図のＢＣとＤＥは平行です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＡＢの長さは何㎝ですか。
Ａ
5㎝
答
12.5 ㎝
Ｄ
（２）ＡＥとＥＣの長さの比を求めなさい。
答
2：3
Ｂ
3.2 ㎝
Ｅ
Ｃ
8㎝
（３）三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣの面積の比を求めなさい。
答
4：25
答
7.2 ㎠
（４）三角形ＡＢＣの面積が 45 ㎠のとき，三角形ＡＤＥの面積は何㎠ですか。
32
相似な図形
例題２
右の図は，ＡＤとＥＣが平行である台形ＡＢＣＤを対角線で 4 つの三角形に
分けたものです。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＡＥとＥＣの長さの比を求めなさい。
4㎝
Ａ
Ｄ
Ｅ
（２）三角形ＡＥＤと三角形ＥＢＣの面積の比を求めなさい。
（３）三角形ＡＥＤと三角形ＡＢＥの面積の比を求めなさい。
Ｂ
〔解き方〕
右の図で，ＡＤとＢＥが平行なので，●どうし，■どうしは平行線の錯角より
等しくなりますから，三角形ＡＥＤと三角形ＥＢＣは相似形になります。
（１）ＡＥ：ＥＣ＝ＡＤ：ＢＣ＝4 ㎝：10 ㎝＝2：5
答 2：5
（２）三角形ＡＥＤと三角形ＥＢＣの相似比は 2：5 なので，
面積比は，(2×2)：(5×5)＝4：25
答 4：25
（３）三角形ＥＡＤと三角形ＡＢＥはともに高さの等しい三角形なので，
面積の比と高さの比は等しくなります。
ＤＥ：ＥＢ＝ＡＤ：ＢＣ＝2：5 なので，三角形ＡＥＤと三角形ＡＢＥの面積
の比は 2：5 になります。
Ｃ
10 ㎝
（４）三角形ＡＥＤの面積が 5.6 ㎠のとき，台形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
4㎝
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
10 ㎝
2：5
答
（４）三角形ＡＥＢの面積は，5.6÷2×5＝14(㎠)
三角形ＤＥＣの面積は，三角形ＡＥＢの面積と等しいので 14 ㎠。
三角形ＥＢＣの面積は，5.6÷4×25＝35(㎠)
三角形ＡＢＥと三角形ＥＢＣはともに高さの等しい三角形なので，
三角形ＡＢＥの面積：三角形ＥＢＣの面積＝ＡＥ：ＥＣ＝2：5
三角形ＥＢＣの面積は，14÷2×5＝35(㎠)
台形ＡＢＣＤの面積は，5.6＋14×2＋35＝68.6(㎠)
68.6 ㎠
答
【１】右の図は，ＡＤとＥＣが平行である台形ＡＢＣＤを対角線で 4 つの三角形に
分けたものです。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＤＥ：ＥＢを求めなさい。
答
Ａ
15 ㎝
Ｄ
Ｅ
3：8
（２）三角形ＡＥＤと三角形ＥＢＣの面積の比を求めなさい。
答
9：64
Ｂ
Ｃ
40 ㎝
（３）三角形ＡＥＤと三角形ＡＢＥの面積の比を求めなさい。
答
3：8
（４）三角形ＡＥＤの面積が 27 ㎠のとき，台形ＡＢＣＤの面積は何㎠ですか。
答
363 ㎠
33
相似な図形
例題３
右の図の四角形ＡＢＣＤは平行四辺形です。三角形ＤＥＦの面積が 7.5 ㎠のと
き，次の問いに答えなさい。
（１）ＡＦとＦＥの長さの比を求めなさい。
Ａ
Ｄ
5㎝
Ｆ
Ｅ
3㎝
（２）三角形ＡＢＦと三角形ＤＥＦの面積の比を求めなさい。
Ｂ
Ｃ
（３）四角形ＦＢＣＥの面積は何㎠ですか。
〔解き方〕
（１）三角形ＡＢＦと三角形ＤＦＥは相似形なので，ＡＦ：ＦＥ＝ＡＢ：ＤＥ＝(5＋3)㎠：5 ㎝＝8：5
答
8：5
（２）三角形ＡＢＦと三角形ＤＥＦの相似比が 8：5 ですから，
三角形ＡＢＦと三角形ＤＥＦの面積の比は，(8×8)：(5×5)＝64：25
答
64：25
答
23.7 ㎠
（３）三角形ＡＦＤと三角形ＤＦＥは高さが等しい三角形なので，
三角形ＡＦＤの面積：三角形ＤＦＥの面積＝ＡＦ：ＦＥ＝8：5
三角形ＡＦＤの面積は，7.5÷5×8＝12(㎠)
三角形ＡＢＦと三角形ＡＦＤは高さが等しい三角形なので，
三角形ＡＢＦの面積：三角形ＡＦＤの面積＝ＢＦ：ＦＤ＝ＡＦ：ＦＤ＝8：5
三角形ＡＢＦの面積は，12÷5×8＝19.2(㎠)
三角形ＡＢＤと三角形ＤＢＣは合同な三角形なので，
四角形ＦＢＣＥの面積は，19.2＋12－7.5＝23.7(㎠)
【１】右の四角形ＡＢＣＤは平行四辺形です。三角形ＤＥＦの面積が 9.9 ㎠の
とき，次の問いに答えなさい。
（１）ＡＦ：ＥＦを求めなさい。
Ａ
Ｄ
6㎝
Ｆ
答
Ｅ
5：3
4㎝
（２）三角形ＡＢＦと三角形ＤＥＦの面積の比を求めなさい。
Ｂ
Ｃ
25：9
答
（３）三角形ＡＦＤと三角形ＤＦＥの面積の比を求めなさい。
答
5：3
（４）四角形ＦＢＣＥの面積は何㎠ですか。
【２】右の図の四角形ＡＢＣＤは長方形です。四角形ＡＢＦＥの面積は何㎠ですか。
Ａ
12 ㎝
答
82.5 ㎠
Ｂ
10 ㎝
Ｅ
答
34.1 ㎠
5㎝
Ｄ
Ｆ
Ｃ
34
相似な図形
例題４
右の図の四角形ＡＢＣＤは面積が 56 ㎠の長方形で，ＡＥ：ＥＢ＝1：1，
ＡＦ：ＦＤ＝4：1 です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＥＧ：ＧＣを求めなさい。
Ａ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
（２）三角形ＧＢＣの面積は何㎠ですか。
Ｂ
〔解き方〕
（１）右の図のように，ＥからＢＣに補助線をひくと，
三角形ＢＨＥと三角形ＢＦＡ，三角形ＥＧＨと三角形ＧＢＣがそれぞれ相似
になります。
三角形ＢＨＥと三角形ＢＦＡの相似比は 1：2 になるので，
ＥＨの長さの比は，4÷2＝2
三角形ＥＧＨと三角形ＧＢＣは相似ですから，
ＥＧ：ＧＣ＝ＥＨ：ＢＣ＝2：(4＋1)＝2：5
Ｃ
４
Ａ
①
Ｆ１Ｄ
２
Ｅ
Ｈ
Ｇ
①
Ｂ
Ｃ
５
答
2：5
答
10 ㎠
（２）三角形ＥＢＣの面積は，56÷2÷2＝14(㎠)
三角形ＧＢＣの面積は，14÷(2＋5)×5＝10(㎠)
【１】右の図の四角形ＡＢＣＤは長方形です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＢＧ：ＧＦを求めなさい。
Ａ
Ｄ
2㎝
Ｆ
Ｇ
答
6㎝
2：3
（２）三角形ＧＢＥの面積は何㎠ですか。
Ｂ
8㎝
Ｃ
6㎝
Ｅ
9.6 ㎠
答
例題５
右の図の四角形ＡＢＣＤは台形で，ＡＤ，ＥＦ，ＢＣは平行です。ＡＥ：ＥＢ＝3：2
のとき，ＥＦの長さは何㎝ですか。
6㎝
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｂ
〔解き方〕
右の図のように，ＡからＤＣに平行な直線を引き，ＥＦ，ＢＣとの交点をＧ，Ｈ
とすると，三角形ＡＥＧと三角形ＡＢＨは相似になります。
相似比は，ＡＥ：ＡＢ＝3：(3＋2)＝3：5
ＥＧの長さは，(11－6)÷5×3＝3(㎝)
ＥＦの長さは，3＋6＝9(㎝)
答 9㎝
6㎝
Ａ
Ｅ
Ｇ
Ａ
6㎝
10 ㎝
Ｅ
Ｂ
答
14 ㎝
Ｄ
Ｆ
6㎝
Ｈ
11 ㎝
Ｂ
【１】右の四角形ＡＢＣＤは台形で，ＡＤ，ＢＣ，ＥＦは平行です。
ＡＥ：ＥＢ＝2：1 のとき，ＥＦの長さは何㎝ですか。
Ｃ
11 ㎝
Ｃ
Ｄ
Ｆ
16 ㎝
Ｃ
35
相似な図形
例題６
地面に立てた長さ 1ｍの棒の影の長さが 1.5ｍのとき，次の(１)～(３)の木の高さはそれぞれ何ｍですか。
（１）
（２）
（３）
6ｍ
1.5ｍ 1ｍ
9.3ｍ
1.5ｍ
5ｍ
3ｍ
〔解き方〕
（１）太陽の光はまっすぐ進むので，右の図のように，棒の影と木の影
を表すと，
このときできる 2 つの三角形は相似な図形になります。
このことから，棒の長さ：影の長さ＝木の高さ：木の影の長さ
1ｍ
となります。
棒の長さと棒の影の長さの比は，1ｍ：1.5ｍ＝2：3
9.3÷3×2＝6.2(ｍ)
答 6.2ｍ
（２）右の図より，
(5＋1)÷3×2＝4(ｍ)･･･②
木の高さは，1.5＋4＝5.5(ｍ)
②
1.5ｍ
9.3ｍ
③
②
③
1.5ｍ 1ｍ
答
5.5ｍ
5ｍ
（３）右の図より，
(6＋3)÷3×2＝6(ｍ)･･･②
木の高さは，6－1.5＝4.5(ｍ)
②
6ｍ
1.5ｍ
答
4.5ｍ
③
3ｍ
【１】ある時刻に長さ 1ｍの木の棒を立てたところ，影の長さは 1.6ｍでした。同じ
時刻に，高さ 6ｍの木の影の長さは何ｍですか。
6ｍ
答
9.6ｍ
【２】へいから 4ｍのところに木が立っていて，木の影が右の図のようにうつって
います。また，同じ時刻に，長さ 20 ㎝の棒の影の長さが 25 ㎝ありました。こ
の木の高さは何ｍですか。
1.8ｍ
4ｍ
答
【３】地面に立てた長さ１ｍの棒の影の長さが 1.8ｍになるとき，右の図の街灯の高さ
は何ｍですか。
4.8ｍ
答
5ｍ
1ｍ
6ｍ
5ｍ
36
相似な図形
【１】縮尺 1：30000 でかかれている地図について，次の問いに答えなさい。
（１）この地図上で，6 ㎝の長さの道のりは，実際には何㎞ありますか。
答
1.8 ㎞
答
15 ㎝
（２）実際の距離が 4.5 ㎞あるＡ市とＢ市の間は，この地図上では何㎝になりますか。
な
み
ふみや
【２】奈美さんは 500 分の 1 で，文也君は 300 分の 1 で同じ土地の地図を作りました。奈美さんの地図で 60 ㎝あるところは，
文也君の地図では何㎝になっていますか。
答
【３】下の図で，ＢＣとＤＥが平行なとき，x，y を求めなさい。
（１）
（２）
30 ㎝
Ｅ
Ｄ
20 ㎝
20 ㎝
Ｂ
Ｄ
45 ㎝
Ｂ
x㎝
Ａ 16 ㎝
y㎝
y㎝
Ａ
Ｃ
答
35 ㎝
14 ㎝
20 ㎝
Ｅ
Ｃ
x㎝
x：25 ㎝，y：24 ㎝
答
【４】右の図で，ＡＢとＰＱとＣＤは平行です。これについて，次の問いに答
えなさい。
（１）ＢＱ：ＱＤを求めなさい。
（２）ＰＱの長さは何㎝ですか。
x：50 ㎝，y：18 ㎝
Ｃ
Ａ
Ｐ
5㎝
答
100 ㎝
7.5 ㎝
2：3
Ｂ
Ｑ
Ｄ
答
3㎝
37
相似な図形
【５】右の四角形ＡＢＣＤは平行四辺形です。三角形ＥＦＤの面積が 4.5 ㎠のとき，次の問いに答えなさい。
（１）ＢＦ：ＦＥを求めなさい。
Ａ
答
6.3 ㎝
Ｆ
7：3
Ｅ
Ｄ
（２）三角形ＡＢＦと三角形ＤＥＦの面積の比を求めなさい
Ｂ
Ｃ
9㎝
49：9
答
（３）三角形ＥＦＤと三角形ＥＢＣの面積の比を求めなさい。
答
9：100
答
45.5 ㎠
（４）台形ＦＢＣＤの面積は何㎠ですか。
【６】右の図の四角形ＡＢＣＤは長方形で，ＥはＢＣを 2：3 に分ける点です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＡＦ：ＦＣを求めなさい。
10 ㎝
Ａ
Ｄ
答
5：3
6㎝
Ｆ
（２）三角形ＡＥＣの面積は何㎠ですか。
Ｂ
Ｃ
Ｅ
答
18 ㎠
（３）三角形ＡＥＦの面積は何㎠ですか。
答
11.25 ㎠
【７】身長 150 ㎝のゆかさんが，高さ 5ｍの街灯から 4.2ｍ離れたところに立っ
ています。ゆかさんの影の長さは何ｍですか。
答
1.8ｍ
答
12 ㎝
【８】右の図のような直角三角形の中に正方形をかきました。正方形の 1 辺の
長さは何㎝ですか。
21 ㎝
28 ㎝
38
相似な図形
【８】右の図の四角形ＡＢＣＤは 1 辺が 6 ㎝の正方形です。これについて，
次の問いに答えなさい。
（１）ＣＦの長さは何㎝ですか。
6㎝
Ａ
Ｄ
答
4㎝
Ｇ
6㎝
3㎝
Ｅ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
（２）ＡＧ：ＧＥ：ＥＦを求めなさい。
6：4：5
答
【９】右の図で，四角形ＡＢＣＤは長方形で，ＢＥ：ＥＣ＝1：2，
ＣＦ：ＦＤ＝1：1 です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＢＧ：ＧＨ：ＨＤを求めなさい。
12 ㎝
Ａ
Ｄ
Ｈ
6㎝
Ｆ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
3：5：4
答
（２）三角形ＡＧＨの面積は何㎠ですか。
15 ㎠
答
【10】右の図の平行四辺形ＡＢＣＤの面積は 180 ㎠で，ＡＦ：ＦＤ＝5：4，
ＤＥ：ＥＣ＝3：2 です。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）ＢＧ：ＧＦを求めなさい。
Ａ
Ｆ
Ｄ
Ｇ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
答
3：1
（２）四角形ＧＢＣＥは何㎠ですか。
答
88.5 ㎠
39
速さに関する問題～旅人算～
例題１
弟が，家から毎分 60ｍの速さで学校まで歩きました。弟が出発してから 3 分後に，兄が毎分 75ｍの速さで学校に向かった
ところ，途中で弟を追いこし，その 2 分後に兄は学校に着きました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）兄が弟に追いついたのは，家から何ｍのところですか。
（２）家から学校までの道のりは何ｍですか。
〔解き方〕追いつきの旅人算では，追いつくまでの時間＝２人の間の道のり(へだたり)÷２人の速さの差
の考え方が基本と
なります。
家へだたり
学校
（１）兄が家を出るとき，弟は家から，60×3＝180(ｍ) のところにいます。
．．．．
この 180ｍのへだたりは 1 分間に(75－60)ｍずつ小さくなるので，
弟
3分
兄が弟に追いつく(180ｍのへだたりがなくなる)のは兄が出発してから，
兄
180÷(75－60)＝12(分後)
2分
追いつく
よって，75×12＝900(ｍ)
答
900ｍ
（２）兄が家を出てから学校に着くまでの時間は，12＋2＝14(分後)
家から学校までの道のりは，75×14＝1050(ｍ)
答
1050ｍ
【１】姉と妹が学校へ行くのに，妹は午前 7 時 50 分，姉は午前 8 時に家を出て，2 人は同時に学校に着きました。妹の分速は
60ｍ，姉の分速は 80ｍです。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）姉が家を出たとき，妹は何ｍのところにいますか。
答
600ｍ
（２）学校に着いたのは午前何時何分ですか。
答
午前 8 時 30 分
（３）家から学校までの道のりは何ｍですか。
答
2400ｍ
【２】弟は家を午前 8 時 20 分に出発しておじいさんの家に向かいました。弟の忘れ物に気付いた兄は，午前 8 時 30 分に家を
出発して弟を追いかけました。弟は分速 50ｍ，兄は分速 70ｍで歩きます。また，兄弟の家からおじいさんの家までは 2 ㎞
あります。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）兄が弟に追いつく時刻を求めなさい。
答
午前 8 時 55 分
（２）兄が弟に追いつく地点は，おじいさんの家の何ｍ手前ですか。
答
250ｍ
40
速さに関する問題～旅人算～
例題２
太郎君は午前 9 時 40 分にＡ町を出発し，毎分 72m の速さで 2400ｍ離れたＢ町に向かって歩きます。花子さんは午前 9 時
45 分にＢ町を出発し，同じ道を毎分 48ｍの速さでＡ町に向かって歩きます。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）花子さんが出発するとき，2 人のへだたりは何ｍですか。
（２）2 人が出会うのは，午前何時何分ですか。
（２）2 人が出会った地点は，Ａ町から何ｍはなれたところですか。
〔解き方〕出会い(すれちがい)の旅人算では，出会うまでの時間＝２人の間の道のり(へだたり)÷２人の速さの和の考え方が
基本となります。
Ａ町
Ｂ町
2400ｍ
（１）太郎君は，花子さんが出発するまでの(45－40)分間
進むので，
へだたり
2400－72×5＝2040(ｍ)
太郎君
答 2040ｍ
（２）花子さんが出発した後，2 人のへだたりは 1 分間に
(72＋48)ｍずつ小さくなります。
花子さんが出発してから太郎君と出会うまでの時間は，
2040÷(72＋48)＝17(分)
よって，9 時 45 分＋17 分＝10 時 2 分
9 時 40 分
9 時 45 分
花子さん
9 時 45 分
出会う
答
午前 10 時 2 分
（３）全体の道のりから，花子さんが進んだ道のりをひけばよいので，
2400－48×17＝1584(ｍ)
別解)
太郎君は花子さんと出会うまでに進んだ時間は，5＋17＝22(分)
よって，72×22＝1584(ｍ)
答
1584ｍ
【１】Ａ地点からＢ地点への道のりは 4.8 ㎞です。まみさんはＡ地点を 8 時 10 分に出発し，Ｂ地点へ毎分 80ｍの速さで歩きま
した。かず子さんはＢ地点を 8 時に出発し，Ａ地点へ毎分 60ｍの速さで歩きました。このことについて，次の問いに答え
なさい。
（１）2 人がすれちがったのは何時何分ですか。
答
9 時 40 分
（２）2 人がすれちがった地点は，Ａ地点から何㎞離れた地点ですか。
答
2.4 ㎞
【２】Ａさんの家からＢさんの家まで 2.4 ㎞あります。Ａさんが毎分 80ｍの速さで，自分の家からＢさんの家へ向かいました。
その 5 分後にＢさんが毎分 70ｍの速さで，自分の家からＡさんの家へ向かって出発しました。2 人が出会うのは，Ａさん
が出発してから何分何秒後ですか。
答
18 分 20 秒後
41
速さに関する問題～旅人算～
例題３
3.6 ㎞離れたＰ地とＱ地があります。太郎君が分速 70ｍ，花子さんが分速 50ｍで同時に出発して歩いて何往復かするとき，
次の問いに答えなさい。
（１）太郎君がＰ地から，花子さんがＱ地から向かい合って出発するとき，
① 2 人が 1 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
②
2 人が 2 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
（２）太郎君と花子さんがＰ地を出発するとき，
① 2 人が 1 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
②
2 人が 2 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
〔解き方〕2 人は同時に出発しますから，2 人が出発してからすれちがうまでに進んだ時間は同じになります。
（１）
Ｐ地
3600ｍ
① 右の図より，2 人が反対の方向から向かい合って同時に出発す
ると，1 回目にすれちがうまでに進んだ道のりの和はＰＱ間 1 つ
太郎君
分(3.6 ㎞)になります。
2 人が 1 分間に進む道のりの和は(70＋50)ｍなので，
よって，1 回目にすれちがう時間は，3600÷(70＋50)＝30(分後)
Ｑ地
花子さん
30 分後
答
②
右の図より，2 人が反対の方向から向かい合って同時に出発す
ると，2 回目にすれちがうまでに進んだ道のりの和はＰＱ間 3 つ
分(3.6 ㎞×3)になります。
ここで，2 人はそれぞれ一定の速さで進むことから，2 人の進
んだ道のりの和が 1 回目にすれちがうまでに進んだ道のりの 3 倍
になれば，かかる時間も同様に 3 倍になります。
(１)より，30×3＝90(分後)
Ｐ地
3600ｍ
Ｑ地
太郎君
花子さん
２人が反対の方向から向かい合って出発するとき，出発してから２回目に出会うまでの時間は，１回目に出会う時
間(ＰＱ間 1 つ分の道のりを出会う時間)の３倍，３回目に出会う時間は１回目の５倍，４回目に出会う時間は１回
目の７倍，･････の時間がかかります。
別解)
2 人が出発してから 2 回目にすれちがうまでに進んだ道のりの和は，3600×3＝10800(ｍ)
2 人が出会う時間は，10800÷(70＋50)＝90(分後)
90 分後
答
（２）
① 右の図より，2 人が同じ方向から同時に出発して 1 回目にす
れちがうまでに進んだ道のりの和はＰＱ間 2 つ分(3.6 ㎞×2)に
なります。
(１)の①より，ＰＱ間 1 つ分を出会う時間が 30 分なので，
30×2＝60(分後)
Ｐ地
3600ｍ
Ｑ地
太郎君
花子さん
答
右の図より，2 人が反対の方向から同時に出発して 2 回目に
すれちがうまでに進んだ道のりの和はＰＱ間 4 つ分(3.6 ㎞×4)
になります。
よって，30×4＝120(分後)
②
Ｐ地
3600ｍ
60 分後
Ｑ地
太郎君
花子さん
答
120 分後
２人が同じ地点から同じ方向に同時に出発するとき，出発してから１回目に出会うまでの時間は，ＰＱ間１つ分の
道のりを出会う時間の２倍，２回目に出会う時間は４倍，３回目に出会う時間は６倍，･････の時間がかかります。
42
速さに関する問題～旅人算～
【１】2160ｍ離れたＰ地とＱ地があります。太郎君が分速 75ｍ，花子さんが分速 60ｍで同時に出発して歩いて何往復かすると
き，次の問いに答えなさい。
（１）太郎君がＰ地から，花子さんがＱ地から向かい合って出発するとき，
① 2 人が 1 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
②
答
16 分後
答
48 分後
答
32 分後
答
64 分後
2 人が 2 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
（２）太郎君と花子さんがＰ地を出発するとき，
① 2 人が 1 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
②
2 人が 2 回目にすれちがうのは出発してから何分後ですか。
【２】Ｐ地点とＱ地点は 1.8 ㎞離れています。ＡさんはＰ地点を，ＢさんはＱ地点を同時に出発し，それぞれ一定の速さで 2 つ
の地点を休まずに 1 往復します。Ａさんの速さを毎分 70ｍ，Ｂさんの速さを毎分 50ｍとして，次の問いに答えなさい。
（１）2 人が始めて出会うのは，Ｐ地点から何ｍはなれたところですか。
答
1050ｍ
（２）2 人が 2 回目に出会うのは，Ｐ地点から何ｍはなれたところですか。
答
450ｍ
【３】兄と弟が家を同時に出発し，1.5 ㎞離れた公園に向かって，兄は分速 80ｍ，弟は分速 70ｍで歩きました。兄は公園に着
いてすぐに折り返したところ，公園に向かう弟に出会いました。このことについて，次の問いに答えなさい。
（１）2 人が出会ったのは，家を出てから何分後ですか。
答
20 分後
（２）2 人が出会った地点は公園から何ｍ離れていますか。
答
100ｍ
43
速さに関する問題～旅人算～
例題４
兄と弟は，1200ｍ離れたＡ地とＢ地の間を 1 往復します。弟がＡ地を出発してから 4 分後に，兄がＡ地を出発しました。
兄の歩く速さを毎分 75ｍ，弟が歩く速さを毎分 45ｍとして，次の問いに答えなさい。
（１）兄が弟に追いつくのは，弟が出発してから何分後ですか。
（２）2 人が出会うのは，兄が出発してから何分何秒後ですか。
〔解き方〕
（１）兄が出発するとき，弟とのへだたりは，45×4＝180(ｍ)
兄が弟に追いつくのにかかる時間は，180÷(75－45)＝6(分後)
問いは，
『弟が出発してから』の時間なので，4＋6＝10(分後)
答
（２）右の図より，2 人が出会ったとき，2 人が同じ時間(兄が出発し
てから出会うまでの時間)に進んだ道のりの和(図の太線部分の長
さの和)は，
1200×2－180＝2220(ｍ)
2 人が出会う時間は，2220÷(75＋45)＝18.5 分＝18 分 30 秒後
参
○
1 分＝60 秒，0.5 分＝60×0.5＝30 秒
Ｐ地
1200ｍ
10 分後
Ｑ地
180ｍ
弟
兄
答
18 分 30 秒後
【１】ＡとＢは，３㎞離れたＰ地とＱ地の間を 1 往復します。ＡがＰ地を出発してから 8 分後に，Ｂ時はＰ地を出発しました。
Ａの速さを毎分 50ｍ，Ｂの速さを毎分 90ｍとして，次の問いに答えなさい。
（１）ＢがＡに追いついたのは，Ｂが出発してから何分後ですか。また，それはＰ地から何ｍ離れた地点ですか。
答
10 分後，900ｍ
（２）2 人が出会うのは，Ｂが出発してから何分後ですか。また，それはＰ地から何ｍの地点ですか。
答
40 分後，2400ｍ
【２】Ａ君とＢ君は 2.4 ㎞離れたＰ地とＱ地の間を往復します。Ａ君がＰ地を出発してから 6 分後に，Ｂ君はＱ地を出発しまし
た。Ａ君の速さを毎分 80ｍ，Ｂ君の速さを毎分 70ｍとして，次の問いに答えなさい。
（１）2 人がはじめてすれちがうのは，Ｂ君が出発してから何分何秒後ですか。
答
12 分 48 秒後
答
44 分 48 秒後
（２）2 人が 2 回目にすれちがうのは，Ｂ君が出発してから何分後ですか。
44
速さに関する問題～旅人算～
例題５
円形の池があります。3 人が同じ地点から同時にＡとＢはそれぞれ分速 70ｍと 50ｍで右回りに，Ｃは左回りに分速 80ｍで
スタートしました。ＡとＣが出会ってから 4 分後にＢとＣが出会いました。この池のまわりの長さは何ｍありますか。
〔解き方〕
右の図より，
ＢとＣが 4 分間に進んだ道のりの和は，
(50＋80)×4＝520(ｍ)
この 520ｍは，ＡがＣと出会ったときのＡとＢのへだたり
でもあるので，ＡとＢが 520ｍ離れるのにかかる時間は，
520÷(70－50)＝26(分)
この 26 分間は，ＡとＣが出発してから出会うまでの時間
でもありますから，
池のまわりの長さは，(70＋80)×26＝3900(ｍ)
Ｂ(50ｍ/分)
Ａ(70ｍ/分)
池
Ｃ(80ｍ/分)
答
この道のりをＢとＣ
は 4 分で出会います。
3900ｍ
【１】円形の池があります。この池のまわりをＡとＢは左回りに，Ｃは右回りに同じ所から同時に回り始めました。途中でＣは
Ａと出会ってから，2 分後にＢと出会いました。Ａは 80ｍ，Ｂは 65ｍ，Ｃは 70ｍの分速です。これについて，次の問いに
答えなさい。
（１）ＣとＡが出会ったとき，ＢはＡより何ｍおくれていますか。
答
270ｍ
（２）この池のまわりは何ｍありますか。
【２】池のまわりを 1 周する道があります。この道のＰ地点からＡとＢは同じ
方向に，Ｃは反対の方向に同時に走り出します。Ａは分速 120ｍ，Ｂは分速
80ｍ，Ｃは分速 100ｍで走ります。最初にＡとＣがＱ地点で出会い，この
ときＢはＳ地点にいました。
その 3 分後にＢとＣがＲ地点で出会いました。
このとき，次の問いに答えなさい。
（１）Ｑ地点とＳ地点は何ｍ離れていますか。
答
2700ｍ
答
2970ｍ
Ｐ
Ａ
Ｃ
Ｂ
池
答
540ｍ
Ｓ
Ｒ
Ｑ
（２）池のまわりの長さは何ｍですか。
45
速さに関する問題～旅人算～
【１】2120ｍ離れたＰ地とＱ地があります。Ａ君はＰ地から毎分 75ｍでＱ地に向かって進み，Ｂ君はＡ君が出発してから 4 分
後にＱ地から毎分 65ｍでＰ地に向かって進みました。2 人がすれちがったのはＰ地から何ｍ離れたところですか。
答
1200ｍ
【２】Ａさんは毎朝 6 時に家を出て，2 ㎞離れた公園まで往復します。お兄さんは，Ａさんが家を出発してから 8 分後に同じコ
ースをジョギングで 1 往復しました。Ａさんの歩く速さは毎分 80ｍ，お兄さんの走る速さは毎分 160ｍです。これについ
て，次の問いに答えなさい。
（１）お兄さんが麻子さんに追いつくのは，何時何分ですか。
答 6 時 16 分
（２）お兄さんが帰り道で麻子さんと再び会うのは，何時何分ですか。
答 6 時 22 分
【３】Ａは分速 60ｍ，Ｂは分速 90ｍの速さで歩きます。ＡはＰ地を，ＢはＱ地をそれぞれ向かい合って同時に出発しました。
この 2 人が出会ってからさらに歩き，相手の出発点に着いたらすぐ引き返して，自分の出発点まで帰ってくると，再びＡと
Ｂが出会う地点はＰ地から何ｍはなれたところですか。ただし，2 人が最初に出会ったのは出発後 12 分でした。
答
1440ｍ
【４】Ａ君はＰ地からＱ地に向かって，Ｂ君はＱ地からＰ地に向かって，同時に出発しました。2 人より少し遅れてＰ地からＱ
地に向かって出発したＣ君は 9 時にＡ君に追いつき，9 時 3 分にＢ君に出会いました。また，Ａ君とＢ君は 9 時 6 分に出会
い，Ｂ君は 9 時 22 分にＰ地に着きました。Ｂ君，Ｃ君の速さはそれぞれ毎分 60ｍ，220ｍです。これについて，次の問い
に答えなさい。
（１）Ａ君の速さは毎分何ｍですか。
答
毎分 80ｍ
（２）Ａ地点とＢ地点の間の道のりは何ｍですか。
答
1680ｍ
46
速さに関する問題～通過算～
例題１
長さ 150ｍの列車が時速 72 ㎞で走っています。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）線路のそばに立っている電柱の前を通過するのに何秒かかりますか。
（２）長さ 450ｍの橋を通過するのに何秒かかりますか。
旅人算では，人間の体の幅は考えず，点としてとらえました。自転車や自動車の場合も同様に，長さを考えること
はありませんでした。ところが，ここでは｢電車の長さ｣を考えて問題に取り組みます。このとき，電車のある部分(先
頭や最後尾)を注目する必要があります。
〔解き方〕
（１）求める時間が｢秒｣なので，時速 72 ㎞を秒速に直すと，
72×1000÷(60×60)＝20(ｍ/秒)
右の図より，電柱の前を通過するためには電車は電車の長さ(150ｍ)だ
け進まなければならないので，
通過するのにかかる時間は，150÷20＝7.5(秒)
以上のことから，列車が人や電柱など幅を考えないものの前を通過する時間は，
(列車の長さ)÷(列車の速さ)＝(通過時間)
で求めます。
電車の進んだ距離
7.5 秒
答
（２）右の図より，橋を通過するまで列車が進む道のりは，
450＋150＝600(ｍ)
したがって，かかる時間は，
600÷20＝30(秒)
以上のことから，列車が橋やトンネルなど通過する時間は，
(橋またはトンネルの長さ＋列車の長さ)÷(列車の速さ)＝(通過時間)
で求めます。
電車の進んだ距離
橋
答 30 秒
【１】長さ 120ｍの列車が秒速 15ｍで線路のそばの電柱の前を通過していきました。この電車が電柱の前を通過するのにかか
る時間は何秒ですか。
8秒
答
【２】長さ 300ｍの列車がホームに立っている人の前を 12 秒で通過していきました。この列車の速さは毎秒何ｍですか。
答
25ｍ/秒
【３】長さ 140ｍの列車が秒速 25ｍで走っています。この列車が長さ 310ｍの鉄橋にさしかかってから，渡り終えるまでに何秒
かかりますか。
答
18 秒
【４】長さ 180ｍの列車が，長さ 340ｍのトンネルに入ってから完全にぬけ出るまでに 13 秒かかりました。この列車の速さは
秒速何ｍですか。
答
秒速 40ｍ
47
速さに関する問題～通過算～
例題２
（１）長さ 100ｍの普通列車が時速 54 ㎞で走っています。この列車の前方から，長さ 150ｍの急行列車が時速 90 ㎞の速さ
で近づいてきました。急行列車が普通列車とすれちがうのに何秒かかりますか。
（２）長さ 100ｍの普通列車が時速 54 ㎞で走っています。この列車の後方から，長さ 150ｍの急行列車が時速 90 ㎞で近づ
いてきました。急行列車が普通列車に追いついてから追いこすまでに何秒かかりますか。
〔解き方〕
（１）普通列車の秒速は，54×1000÷(60×60)＝15(ｍ/秒)
急行列車の秒速は，90×1000÷(60×60)＝25(ｍ/秒)
すれちがうのにかかる時間は，右の図 1 から図 2 の状態になる時間を求め
ればよいことになります。このとき，図 3 から普通列車と急行列車の最後尾
に注目すると，2 つの点 a とｂが出会う時間がすれちがう時間になります。
2 つの点 a とｂが出会う時間がすれちがうまでの時間に進んだ道のりの和
は列車の長さの和と等しいので，
(100＋150)÷(15＋25)＝6.25(秒)
以上のことから，列車がすれちがうのにかかる時間は，
(列車の長さの和)÷(列車の速さの和)＝(すれちがうのにかかる時間)
で求めます。
答 6.25 秒
（２）普通列車の秒速は，54×1000÷(60×60)＝15(ｍ/秒)
急行列車の秒速は,，90×1000÷(60×60)＝25(ｍ/秒)
急行列車が普通列車に追いついてから追いこすまでにかかる
時間は，右の図 4 のように，急行列車の最後尾 c が普通列車の
最前部 d に追いつくまでの時間になります。
点 c は，点 d に追いつくまでの時間に点 d よりも列車の長さ
の和だけ多く進むので，
(100＋150)÷(25－15)＝25(秒)
(図 4)
(図 1)
すれちがい開始
(図 2)
すれちがい終了
(図 3)
a
b
追いこす
追いつく
d
c
以上のことから，列車が追いこすのにかかる時間は，
(列車の長さの和)÷(列車の速さの差)＝(追いこすのにかかる時間)
で求めます。
25 秒
答
【１】長さ 82ｍの普通列車が秒速 12ｍで走っています。この列車の前方から，長さ 142ｍの急行列車が秒速 20ｍで近づいてき
ました。急行列車が普通列車とすれちがうのに何秒かかりますか。
答
7秒
【２】長さ 90ｍの普通列車が秒速 12ｍで走っています。この列車の後方から，長さ 150ｍの急行列車が秒速 24ｍで近づいてき
ました。急行列車が普通列車に追いついてから追いこすまでに何秒かかりますか。
答
20 秒
【３】長さ 132ｍの急行列車が秒速 42ｍで走っています。この急行列車が，前方を走っている長さ 108ｍの普通列車に追いつい
てから追いこすまでに 20 秒かかりました。普通列車は秒速何ｍで走っていましたか。
答
30ｍ/秒
48
速さに関する問題～通過算～
例題３
（１）時速 90 ㎞の急行列車がある駅のホームを 10 秒で通過していきました。太郎君はこのホームに立っていましたが，こ
の列車が太郎君の前を通過するのにかかった時間は 4 秒でした。このホームの長さは何ｍですか。
（２）ある列車が，長さ 300ｍの鉄橋を通過するのに 35 秒かかり，840ｍのトンネルを通過するのに 1 分 20 秒かかりました。
この列車の速さは秒速何ｍですか。また，長さは何ｍですか。
太郎君
〔解き方〕
（１）右の図のように，太郎君の前を通過した列車とホームを通過した列車の位置を
そろえて図に表すと，列車がホームの長さを進むのにかかる時間は(10－4)秒と
わかります。
時速 90 ㎞＝90×1000÷(60×60)＝25(ｍ/秒)
ホームの長さは，25×(10－4)＝150(ｍ)
答
ホーム
150ｍ
4秒
10 秒
（２）右の図のように，鉄橋を通過した列車とトンネルを通過した列車
の位置をそろえて図に表すと，列車が(840－300)ｍ長さを進むの
にかかる時間は(80－35)秒とわかります。
列車の速さは，(840－300)÷(80－35)＝12(ｍ/秒)
列車の長さは，12×35－300=120(ｍ)
鉄橋
300ｍ
35 秒
トンネル
840ｍ
答
速さ･･･秒速 12ｍ，長さ･･･120ｍ
80 秒
【１】時速 72 ㎞の急行列車が，駅のホームに立っている人の前を 7 秒で通過し，このホームを通過するのに 17 秒かかりまし
た。この駅のホームの長さは何ｍありますか。
答
200ｍ
【２】Ａさんは 180ｍある駅のホームに立って，列車が自分の前を通過するのにかかる時間を計ったら 6 秒でした。また，この
列車がホームを通過する時間を計ったら 18 秒でした。この列車の秒速は何ｍですか。また，この列車の長さは何ｍですか。
答
速さ･･･秒速 15ｍ，長さ･･･90ｍ
【３】ある列車が 1260ｍの鉄橋を渡り始めてから渡り終えるまでに 60 秒かかりました。また，この列車が 2010ｍのトンネル
を通過するのに 90 秒かかりました。この列車の速さは秒速何ｍですか。また，この列車の長さは何ｍですか。
答
速さ･･･秒速 25ｍ，長さ･･･240ｍ
【４】ある列車が 1080ｍのトンネルに入り始めてから出てしまうまでに 54 秒かかり，504ｍの鉄橋を通過するのに 30 秒かか
りました。この列車の長さは何ｍですか。
答
216ｍ
49
速さに関する問題～通過算～
【１】長さ 45ｍの列車が秒速 15ｍで走っています。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）この列車が線路のそばに立っている電柱の前を通過するのに何秒かかりますか。
答
3秒
（２）この列車が長さ 435ｍの橋を通過するのに何秒かかりますか。
32 秒
答
【２】長さが 160m で秒速 25m の特急列車と，長さ 200m で秒速 20m の普通列車があります。これについて，次の問いに答え
なさい。
（１）この 2 つの列車が向かい合って走っているとき，すれちがうのに何秒かかりますか。
答
8秒
（２）この 2 つの列車が同じ方向に走っているとき，急行列車が普通列車をおいこすのに何秒かかりますか。
答
72 秒
【３】ある急行列車が，立っている人の前を 9 秒で通過しました。この急行列車が 220ｍのホームを通過するのに 20 秒かかり
ます。急行列車は一定の速さで走っているものとして，次の問いに答えなさい。
（１）この急行列車の速さは時速何㎞ですか。
答
72 ㎞/時
（２）この急行列車の長さは何ｍですか。
答
180ｍ
（３）あるトンネルを通過するとき，列車全体がトンネルの中にあった時間は 1 分 14 秒でした。このトンネルの長さは何ｍで
すか。
答
1660m
【４】列車が，長さ 980ｍのトンネルを通過するとき 24 秒間トンネルの中にかくれて見えませんでした。また，この列車が同
じ速さで，長さ 630ｍの鉄橋を通過するのに 22 秒かかりました。この列車の速さは時速何㎞でしたか。
答
時速 126 ㎞
50
速さに関する問題～時計算～
例題１
（１）7 時 20 分のとき，時計の短針と長針の作る角のうち，小さい方の角は何度ですか。
（２）2 時 35 分のとき，時計の短針と長針の作る角のうち，小さい方の角は何度ですか。
時計の短針と長身が示すある時刻の角度や，ある角度を作る時刻を考える問題を時計算といいます。
時計算では，池などのまわりを進む旅人算の考え方を利用します。
覚えておこう‼
もじばん
時計の文字盤の数と数の間の角度は，360 度を 12 等分しているので，360÷12＝30(度)
時計の短針は 1 時間に 30 度(文字盤の数 1 つ分)回るので，短針の分速は，30÷60＝0.5(度)
時計の長針は，1 時間に 360 度回るので，長針の分速は，360÷60＝6(度)
〔解き方〕
（１）7 時 0 分のときの短針と長針の作る角の大きさは，
30×7＝210(度)
7 時 20 分までに，長針は短針よりも，
(6－0.5)×20＝110(度) 多く進みます。
(210 度あった短針と長針の間の角度が 110 度小さくなります)
したがって，210－110＝100(度)
11
1
10
2
9
3
4
8
7
（２）2 時 0 分のときの短針と長針の作る角の大きさは，
30×2＝60(度)
2 時 35 分までに，長針は短針よりも，
(6－0.5)×35＝192.5(度) 多く進みます。
(60 度あった短針と長針の間の角度が 192.5 度小さくなるとい
うことは，長針が短針を追いこします)
したがって，192.5－60＝132.5(度)
12
11
6
12
5
100 度
答
1
10
2
9
3
4
8
7
6
5
132.5 度
答
【１】次の時刻のとき，短針と長針が作る角のうち，小さい方の角の大きさはそれぞれ何度ですか。
（１）10 時 30 分
（２）7 時 24 分
答
135 度
（３）11 時 32 分
答
78 度
答
50 度
（４）2 時 20 分
答
154 度
（５）8 時 55 分
（６）11 時 11 分
答
62.5 度
答
90.5 度
51
速さに関する問題～時計算～
例題２
4 時から 5 時の間で，時計の短針と長針が作る角度について，次の問いに答えなさい。
（１）時計の短針と長針が重なる時刻は 4 時何分ですか。
（２）時計の短針と長針が反対方向に一直線に並ぶ時刻は 4 時何分ですか。
（３）時計の短針と長針の作る角度が 2 回目に 90 度になる時刻は，4 時何分ですか。
〔解き方〕
（１）
『時計の短針と長針が重なる』ということは，4 時 0 分
のときにあった短針と長針の間の角度がなくなる，つまり
長針が短針に追いつくことになります。
4 時 0 分のときの短針と長針の作る角度は，
30×4＝120(度)
長針は短針よりも毎分(6－0.5)度ずつ多く進むので，
9
(分 )
求める時刻は，120÷(6－0.5)＝ 21
11
9
答 4 時 21
分
11
（２）『時計の短針と長針が反対方向に一直線に並ぶ』には，
長針は短針よりも(120＋180)度多く進まなければなりま
せん。
したがって求める時刻は，
6
(分 )
(120＋180)÷(6－0.5)＝ 54
11
答
4 時 54
答
4 時 38
2
分
11
11
1
10
2
9
7
6
12
11
3
4
8
7
1
11
2
9
3
4
8
7
〔1 回目〕
11
12
11
2
9
3
4
8
7
6
5
5
6
〔2 回目〕
1
10
1
2
5
6
12
9
4
8
5
6
10
3
7
2
5
10
1
9
4
8
12
10
3
6
分
11
（３）時計の短針と長針の作る角度が 90 度になるのは，両針
が重なるまでに 1 回だけあるので，2 回目に 90 度になる
のは，長針が短針よりも(120＋90)度多く進んだときです。
したがって求める時刻は，
2
(分)
(120＋90)÷(6－0.5)＝ 38
11
12
11
12
1
10
2
9
3
4
8
7
6
5
【１】1 時から 2 時までの間で，長針と短針が重なる時刻を求めなさい。また，短針と長針が反対方向に一直線に並ぶ時刻を求
めなさい。
答
重なる･･･1 時 5・5/11 分，一直線･･･1 時 38･2/11 分
【２】3 時から 4 時までの間で，長針と短針が重なる時刻を求めなさい。また，短針と長針が反対方向に一直線に並ぶ時刻を求
めなさい。
答
重なる･･･3 時 16･4/11 分，一直線･･･3 時 49･1/11 分
52
速さに関する問題～時計算～
【３】8 時から 9 時までの間で，長針と短針が重なる時刻を求めなさい。また，短針と長針が反対方向に一直線に並ぶ時刻を求
めなさい。
答
重なる･･･8 時 43･7/11 分，一直線･･･8 時 10･10/11
【４】6 時から 7 時の間で，短針と長針が作る角が直角になるのは 6 時何分と何分ですか。
答
16･4/11 分，49･1/11 分
答
21･9/11 分，54･6/11 分
【５】7 時から 8 時の間で，短針と長針が作る角が直角になるのは 7 時何分と何分ですか。
【６】10 時から 11 時の間で，短針と長針が作る角が直角になるのは 10 時何分と何分ですか。
答
5･5/11 分，38･2/11 分
【７】5 時から 6 時の間で，短針と長針が作る角が 2 度目に 120 度になるのは 5 時何分ですか。
答
49･1/11 分
【８】3 時から 4 時までの間で，短針と長針の作る角が 1 回目に 60 度になってから 2 回目に 60 度になるまでに何分かかります
か。
答
21･9/11 分
53
速さに関する問題～時計算～
【１】5 時 15 分のとき，長針と短針が作る小さい方の角の大きさは何度ですか。
答
67.5 度
答
37.5 度
答
126 度
【２】7 時 45 分のとき，長針と短針が作る小さい方の角の大きさは何度ですか。
【３】10 時 12 分のとき，長針と短針が作る小さい方の角の大きさは何度ですか。
【４】5 時から 6 時までの間で，長針と短針がぴったりと重なる時刻は 5 時何分ですか。
答
27･3/11 分
答
16･4/11 分
【５】9 時から 10 時までの間で，長針と短針が一直線に並ぶ時刻は 9 時何分ですか。
【６】1 時から 2 時までの間で，長針と短針の作る角が 90 度になるのは 1 時何分と何分ですか。
答
21･9/11 分，54･6/11 分
【７】2 時から 3 時までの間で，長針と短針の作る角が 2 回目に 40 度になるのは 2 時何分ですか。
答
18･2/11 分
54
速さに関する問題～流水算～
例題１
静水時の速さが毎時 20 ㎞の船が，毎時 4 ㎞で流れている川のＡ地点から 48 ㎞離れた上流のＢ地点の間を往復しています。
これについて，次の問いに答えなさい。
（１）この船が，Ａ地点からＢ地点まで上るのに何時間かかりますか。
（２）この船が，Ｂ地点からＡ地点まで下るのに何時間かかりますか。
ある川を船が上ったり下ったりするとき，船の進む速さは川の流れに影響されて，船自身の速さ(静水時の速さ)は流れの速
さの分だけおそくなったり速くなったりします。このとき，川の下流から上流へ向けて進む(川を上る)ときと，川を上流から下
流に向けて進む(川を下る)ときは下のような関係になります。
上りの速さ＝静水時の速さ－流れの速さ
下りの速さ＝静水時の速さ＋流れの速さ
静水時の速さ＝ (上りの速さ＋下りの速さ)÷2
流れの速さ＝ (下りの速さ－上りの速さ)÷2
上りの
速さ
流れの
速さ
静水時
の速さ
下りの
速さ
〔解き方〕
（１）この船の上りの速さは，20－4＝16(㎞/時)
Ａ地点からＢ地点まで上るのにかかる時間は，48÷16＝3(時間)
答 3 時間
（２）この船の下りの速さは，20＋4＝24(㎞/時)
Ａ地点からＢ地点まで下るのにかかる時間は，48÷24＝2(時間)
答
2 時間
【１】静水時の速さが毎時 15 ㎞の船が，流れの速さが毎時 3 ㎞の川を上るときと下るときの速さはそれぞれ毎時何㎞ですか。
答
上り･･･毎時 12 ㎞，下り･･･毎時 18 ㎞
【２】静水時の速さが毎時 12 ㎞の船が，流れの速さが毎時 3 ㎞の川を上るときと下るときの速さはそれぞれ毎時何㎞ですか。
答
上り･･･毎時 9 ㎞，下り･･･毎時 15 ㎞
【３】流れの速さが毎分 30ｍの川があります。静水時の速さが毎分 120ｍの船が，1.8 ㎞離れたこの川のＡ地点からＢ地点の間
を上ると何分かかりますか。
答
20 分
【４】静水時の速さが毎時 8 ㎞の船が，60 ㎞離れたＡ地点まで川を下ります。川の流れの速さを毎時 4 ㎞とすると，Ａ地点に
着くのに何時間かかりますか。
答 5 時間
【５】静水時の速さが毎時 6 ㎞の船が 16 ㎞離れたＡ地とＢ地の間を往復します。川の流れの速さが毎時 2 ㎞のとき，Ａ地とＢ
地の間を往復するのに何時間かかりますか。
答 6 時間
55
速さに関する問題～流水算～
例題２
川の下流のＡ地点から 30 ㎞離れた上流のＢ地点まで，上りは 3 時間 20 分，下りは 2 時間で進む船があります。この船の
静水時の速さは毎時何㎞ですか。また，流れの速さは毎時何㎞ですか。
〔解き方〕
20
1
(時間) ＝ 3
(時間)
60
3
1
1
30 ㎞を上るのに 3
時間かかるので，上りの速さは，30÷ 3
＝9(㎞/時)
3
3
30 ㎞を下るのに 2 時間かかるので，下りの速さは，30÷2＝15(㎞/時)
静水時の速さは，(9＋15)÷2＝12(㎞/時)
流れの速さは，(15－9)÷2＝3(㎞/時)
答静水時の速さ･･･12 ㎞/時，流れの速さ･･･3 ㎞/時
3 時間 20 分＝ 3
【１】ある船が川を進むのに，上りの速さが毎分 45ｍ，下りの速さが毎分 55ｍになりました。この船の静水時の速さは毎分何
ｍですか。また，川の流れの速さは毎分何ｍですか。
答
静水時･･･毎分 50ｍ，川の流れ･･･毎分 5ｍ
【２】ある船が，川を 24 ㎞上るのに 2 時間かかり，同じ距離を下るのに 1.2 時間かかりました。これについて，次の問いに答
えなさい。
（１）この船の上りの速さは毎時何㎞ですか。
答
毎時 12 ㎞
答
毎時 16 ㎞
（２）この船の静水時の速さは毎時何㎞ですか。
【３】ある船が川を 60 ㎞上るのに 5 時間かかり，下るのに 3 時間かかりました。これについて，次の問いに答えなさい。
（１）この船の下りの速さは毎時何㎞ですか。
答
毎時 20 ㎞
（２）この川の流れの速さは毎時何㎞ですか。
答 4 ㎞/時
【４】ある船が，一定の速さで流れている川の 30 ㎞はなれた 2 地点の間を往復したところ，上りは 5 時間，下りは 3 時間かか
りました。この川の流れの速さは毎時何㎞ですか。
答毎時 2 ㎞
56
速さに関する問題～流水算～
例題３
毎時 2 ㎞で流れている川の上流にある北町から船Ａが，60 ㎞離れた南町から船Ｂが同時に出発しました。2 せきの船が出会
うのは，出発してから何時間何分後ですか。ただし，Ａ，Ｂの船の速さはそれぞれ毎時 18 ㎞，毎時 22 ㎞とします。
〔解き方〕
2 せきの船が出会う時間は，
60÷(18＋22)＝1.5(時間)＝1 時間 30 分
2 せきの船が出会うということは，船Ａの上りの
速さと船Ｂの下りの速さの和を考えますが，流れの
速さが一定であるとき，船Ａの上りの速さと船Ｂの下
りの速さの和は，2 せきの船の静水時の速さの和に等
しくなります。(右図)
速さの和
18 ㎞/時
船Ａの上
りの速さ
流れの速さ
(2 ㎞/時)
22 ㎞/時
船Ｂの下
りの速さ
1 時間 30 分
答
【１】川の上流にある上川町と 54 ㎞離れた下流の下沢町の間をＡ，Ｂ2 せきの船が往復しています。川の流れの速さは毎時 3
㎞で，静水時の船の速さはＡ，Ｂとも時速 9 ㎞です。Ａは上川町を，Ｂは下沢町を同時に出発しました。これについて，次
の問いに答えなさい。
（１）船Ｂが上川町に到着するのは出発してから何時間後ですか。
答 9 時間後
（２）Ａ，Ｂ2 せきの船が出会うのは出発してから何時間後になりますか。
答 3 時間後
【２】川の上流にあるＡ町から船Ｐが，45 ㎞離れた下流にあるＢ町から船Ｑが同時に出発しました。2 せきの船が出会うのは，
出発してから何時間何分後ですか。ただし，船Ｐ，船Ｑの静水時の速さはそれぞれ毎時 16 ㎞，毎時 20 ㎞とします。
答
1 時間 15 分
【３】川の上流にあるＡ町から船Ｐが，下流にあるＢ町から船Ｑが向かい合って同時に出発しました。2 せきの船は出発してか
ら 2 時間 30 分後に出会いました。Ａ町とＢ町は何㎞離れていますか。ただし，船Ｐ，船Ｑの静水時の速さは毎時 12 ㎞，
毎時 16 ㎞とします。
答
70 ㎞
【４】川の上流にあるＡ町から船Ｐが，39 ㎞下流のＢ町から船Ｑが向かい合って同時に出発しました。2 せきの船は出発してか
ら 1 時間 18 分後に出会いました。船Ｐの静水時の速さが毎時 8 ㎞であるとき，船Ｑの静水時の速さは毎時何㎞ですか。
答
毎時 22 ㎞
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速さに関する問題～流水算～
【１】下の表を完成させなさい。
静水時の速さ
流れの速さ
時速 10 ㎞
時速 2 ㎞
時速(①
)㎞
時速(②
)㎞
時速 32 ㎞
時速 3.4 ㎞
時速(③
)㎞
時速(④
)㎞
時速(⑥
)㎞
時速 26 ㎞
時速(⑦
)㎞
上りの速さ
時速(⑤
)㎞
時速(⑧
)㎞
答
時速 17.2 ㎞
下りの速さ
時速 35 ㎞
時速 25.4 ㎞
①･･･8，②･･･12，③･･･28.6，④･･･35.4，⑤･･･9，⑥･･･17，⑦･･･21.3，⑧･･･4.1
【２】毎時 2 ㎞で流れている川を，静水時の速さが 10 ㎞の船が 36 ㎞離れているＡ地とＢ地の間を往復するとき，往復にかか
る時間は何時間ですか
答
7.5 時間
【３】毎時 3 ㎞で流れている川を，20 ㎞上るのに 2 時間かかる船があります。この船がこの川を 20 ㎞下るのに何時間何分かか
りますか。
答
1 時間 15 分
【４】48 ㎞離れたＡ地とＢ地の間を 2 せきの船Ｐ，Ｑが往復するのに，船Ｐは上りに３時間，下りに 2 時間かかります。船Ｂ
は下りに 2.4 時間かかりました。船Ｂが上るのにかかる時間は何時間ですか。
答 4 時間
【５】川の上流にあるＡ町から船Ｐが，36 ㎞離れた下流のＢ町から船Ｑが向かい合って同時に出発しました。船Ｐの速さを毎
時 8 ㎞，船Ｑの速さを毎時 10 ㎞，川の流れの速さを毎時 2 ㎞として，次の問いに答えなさい。
（１）2 せきの船は出発してから何時間後に出会いますか。
答 2 時間後
（２）出会う場所はＡ町から何㎞のところですか。
答
20 ㎞

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