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信号理論
- No.7 サブバンドと完全再構成 -
渡辺裕
信号理論 / Signal Theory
1
Signal
g
Theory
y
- No.7 Subband and Perfect Reconstruction -
Hiroshi Watanabe
信号理論 / Signal Theory
2
サブンド
サブバンド

通過周波数帯域の限られたフィルタを適用することにより，特定の
通過周波数帯域の限られたフィルタを適用することにより
特定の
周波数帯域のサンプルだけを処理する手法
用いるフィルタをサブバンドフィルタと呼ぶ
サブバンド出力を間引き、量子化することにより、変換符号化と等
価になる
チャネルイコライザ（伝送等化器）オディオイコライザ（オ
チャネルイコライザー（伝送等化器）、オーディオイコライザー（オー
ディオ周波数調整器）、オーディオ符号化などに応用される
主にFIRフィルタが用いられる
信号理論 / Signal Theory
3
Subband

Processing samples having specified frequency range
by applying limited bandwidth filter
Filter is called “Subband Filter”
It equals to transform coding by applying decimation
and quantization to subband outputs
Application: Channel equalizer (Transmission
equalizer), Audio equalizer, Audio coding
In most cases, FIR filter
信号理論 / Signal Theory
4
サブンドフィルタ
サブバンドフィルタ

最も簡単なサブバンド処理は2バンド分割
低域通過型FIRフィルタ H0(z) および高域通過型FIRフィルタ H1(z)
による構成
サブバンド出力は1:2にダウンサンプル（サブサンプル）される
1
H0(z)
()
サブンド
サブバンド
出力
H1(z)
()
H0(z)
2
H1((z))
2
X( )
X(z)
入力信号
0
π
フィルタの周波数特性
信号理論 / Signal Theory
サブバンド
出力
5
Subband Filter

The simplest subband is two-band
two band
Consists of Low pass FIR filter H0(z) and High pass FIR
filter H1(z)
Subband output is down-sampled to 1:2 (subsample)
1
H0(z)
()
subband
output
H1(z)
()
H0(z)
2
H1((z))
2
X( )
X(z)
0
π
input
signal
Filter’s frequency response
信号理論 / Signal Theory
subband
output
6
サブバンドフィルタ
サブ
ンドフィルタ (2)

2:1サブサンプル
x(n)
n
入力信号
H0(z)
フィルタ適用
n
2:1 sub-sample
n
信号理論 / Signal Theory
サブサンプル処理後
のサブバンド出力
7
Subband Filter (2)

2:1Subsample
x(n)
n
input
p signal
g
H0(z)
Filtering
n
2:1 sub-sample
n
信号理論 / Signal Theory
subsampled
subband output
8
ハーフバンドフィルタ
フンドフィルタ

ハフバンドフィルタ H(z) の定義
ハーフバンドフィルタ
H ( z ) = H ( z −1 )
H1(z)
1
H ( z ) + H ( − z −1 ) = 1

H0(z)
周波数特性
– 周波数特性は π/2 で対称
– 対称なフィルタ特性と加算すると1になる
0.5
0
π/2
π
H ( e jω ) + H ( −e − jω ) = H ( e jω ) + H ( e j ( π −ω ) ) = 1
信号理論 / Signal Theory
9
Halfband Filter

Definition of halfband filter H(z)
H ( z ) = H ( z −1 )
H1(z)
1
H ( z ) + H ( − z −1 ) = 1

H0(z)
0.5
Frequency response
– Symmetric at π/2
0
– Sum of two filters response equals to 1
π/2
π
H ( e jω ) + H ( −e − jω ) = H ( e jω ) + H ( e j ( π −ω ) ) = 1
信号理論 / Signal Theory
10
ハーフバンドフィルタ
フンドフィルタ (2)

インパルス応答の性質
h( n ) + ( −1 )n h( n ) = δ ( n )
(n =0)
⎧1 / 2
h( n ) = ⎨
⎩ 0 ( n = even, n ≠ 0 )
H( z ) =
∞
∑ h( n )z
n = −∞
−1
H( z ) =
−n
= L + h( −1 )z 1 + h( 0 )z 0 + h( 1 )z −1 + L
∞
n
0
1
−1
h
(
n
)
z
=
L
+
h
(
−
1
)
z
+
h
(
0
)
z
+
h
(
1
)
z
+L
∑
n = −∞
−1
H( −z ) =
∞
∑ h( n )( − z )
n = −∞
n
= L h( −2 )z − 2 − h( −1 )z −1 + h( 0 )z 0
− h( 1 )z 1 + h( 2 )z 2 L
信号理論 / Signal Theory
11
Halfband Filter (2)

Characteristic of impulse response
h( n ) + ( −1 )n h( n ) = δ ( n )
(n =0)
⎧1 / 2
h( n ) = ⎨
⎩ 0 ( n = even, n ≠ 0 )
H( z ) =
∞
∑ h( n )z
n = −∞
−1
H( z ) =
−n
= L + h( −1 )z 1 + h( 0 )z 0 + h( 1 )z −1 + L
∞
n
0
1
−1
h
(
n
)
z
=
L
+
h
(
−
1
)
z
+
h
(
0
)
z
+
h
(
1
)
z
+L
∑
n = −∞
−1
H( −z ) =
∞
∑ h( n )( − z )
n = −∞
n
= L h( −2 )z − 2 − h( −1 )z −1 + h( 0 )z 0
− h( 1 )z 1 + h( 2 )z 2 L
信号理論 / Signal Theory
12
ミラフィルタ
ミラーフィルタ

ミラフィルタの定義
ミラーフィルタの定義
H0(z)
H 1( z ) = H 0 ( − z )
H 1 ( e jω ) = H 0 ( e j ( ω −π ) )
h1 ( n ) = ( −1 )n h0 ( n )

1
0.5
周波数特性
0
– 周波数特性は π/2 で対称
– 対称なフィルタ特性と加算すると1にならない
信号理論 / Signal Theory
H1(z)
π/2
π
13
Mirror Filter

Definition of mirror filter
H 1( z ) = H 0 ( − z )
H 1 ( e jω ) = H 0 ( e j ( ω −π ) )
h1 ( n ) = ( −1 )n h0 ( n )

Frequency response
– Symmetric at π/2
– Sum of two filters response
does not equals
q
to 1
信号理論 / Signal Theory
H0(z)
H1(z)
1
0.5
0
π/2
π
14
分析合成
分析・合成

分析フィルタ部と合成フィルタ部
2
H0(z)
F0(z)
2
X(z)
Y(z)
+
入力信号
2
H1(z)
2
分析フィルタ

F1(z)
合成信号
合成フィルタ
完全再構成の条件
H 0 ( − z )F0 ( z ) + H 1 ( − z )F1 ( z ) = 0
H 0 ( z )F0 ( z ) + H 1 ( z )F1 ( z ) = 2 z − L
信号理論 / Signal Theory
15
Analysis and Synthesis

Analysis filters and Synthesis filters
2
H0(z)
2
F0(z)
X(z)
input
signal
Y(z)
+
2
H1(z)
Analysis filter

2
F1(z)
output
signal
Synthesis filter
Condition for Perfect Reconstruction
H 0 ( − z )F0 ( z ) + H 1 ( − z )F1 ( z ) = 0
H 0 ( z )F0 ( z ) + H 1 ( z )F1 ( z ) = 2 z − L
信号理論 / Signal Theory
16
完全再構成

ダウンサンプルのz変換表現
1
Y( z ) =
M
M −1
∑ X( z
1
M
exp( − j 2πk / M ))
k =0
x(n)
y(m)=x(mM)
x(n)
M
n
y(m)
m
信号理論 / Signal Theory
17
Perfect Reconstruction

Z transform representation for down sampling
Z-transform
1
Y( z ) =
M
M −1
∑ X( z
1
M
exp( − j 2πk / M ))
k =0
x(n)
y(m)=x(mM)
x(n)
M
n
y(m)
m
信号理論 / Signal Theory
18
完全再構成 (2)

ダウンサンプリングはM周期デルタ関数と x(n) の畳み込み
∞
1
i( n ) = ∑ δ ( n − rM ) =
M
r = −∞

M −1
∑ exp( j 2πnk / M )
k =0
デルタ関数は n=…-2M, -M, 0, M, 2M… で 1，他の場合には 0
上式右辺は，例えば M=3 のとき, n=3k (k:整数) で 1, 他の場合 0
(
1
i( n ) = 1 + e jπn 2 / 3 + e jπn 4 / 3
3
信号理論 / Signal Theory
)
19
Perfect Reconstruction (2)

Down sampling is convolution of M period delta
function and x(n)
∞
1
i( n ) = ∑ δ ( n − rM ) =
M
r = −∞

M −1
∑ exp( j 2πnk / M )
k =0
delta function is 1 at n=…-2M, -M, 0, M, 2M… ，otherwise 0
Right side of above equation equals to 1 at n
n=3k
3k
(k:integer) for M=3, otherwise 0
(
1
jπn 2 / 3
jπn 4 / 3
i( n ) = 1 + e
+e
3
信号理論 / Signal Theory
)
20
完全再構成 (3)

i(n) と x(n) の積は
1
i( n )x( n ) =
M

M −1
p( − j 2πnk / M )
∑ x( n ) exp(
k =0
この式をz変換すれば
∞
1
∑
n = −∞ M
M −1
−n
x
(
n
)
exp(
−
j
2
π
nk
/
M
)
z
∑
k =0
1
=
M
M −1 ∞
1
=
M
M −1
∑ ∑ x( n ) exp( − jn( ω − j 2πk / M ))
k =0 n = −∞
∑ X ( z exp( − j 2πk / M ))
k =0
信号理論 / Signal Theory
21
Perfect Reconstruction (3)

Product of i(n) and x(n)
1
i( n )x( n ) =
M

M −1
p( − j 2πnk / M )
∑ x( n ) exp(
k =0
By applying z-transform
∞
1
∑
n = −∞ M
M −1
−n
x
(
n
)
exp(
−
j
2
π
nk
/
M
)
z
∑
k =0
1
=
M
M −1 ∞
1
=
M
M −1
∑ ∑ x( n ) exp( − jn( ω − j 2πk / M ))
k =0 n = −∞
∞
∑ X ( z exp( − j 2πk / M ))
k =0
=0
信号理論 / Signal Theory
22
復習

z変換
X( z ) =
∞
−n
x
(
n
)
z
∑
( z ≡ e jω )
n = −∞
信号理論 / Signal Theory
23
Review

z transform
z-transform
X( z ) =
∞
−n
x
(
n
)
z
∑
( z ≡ e jω )
n = −∞
信号理論 / Signal Theory
24
完全再構成 (4)

1/Mへの間引きは z変換では以下のように表される
1/Mへの間引きは，z変換では以下のように表される
∞
∑ x( nM )z
−n
n = −∞

=
∞
∑ x( s )z
1
( −s )
M
= X( z
1
M
s = −∞
s ≡ nM
)
n=
1
s
M
x(s) の部分が i(n)x(n) に相当するからこれらを合わせるとダウン
サンプリングのz変換表現を得る
1
Y( z ) =
M
M −1
∑ X( z
1
M
exp( − j 2πk / M ))
k=
=0
0
信号理論 / Signal Theory
25
Perfect Reconstruction (4)

Decimation to 1/M by z-transform
z transform
∞
∑ x( nM )z
−n
n = −∞

=
∞
∑ x( s )z
1
( −s )
M
= X( z
1
M
s = −∞
s ≡ nM
)
n=
1
s
M
x(s) corresponds to i(n)x(n), so that we have z-transform
of down sampling
1
Y( z ) =
M
M −1
∑ X( z
1
M
exp( − j 2πk / M ))
k=
=0
0
信号理論 / Signal Theory
26
完全再構成 (5)

アップサンプルのz変換表現
X ( z ) = Y( zM )
y(m)
x(n)=y(n/M)
y(m)
M
m
x(n)
( )
n
信号理論 / Signal Theory
27
Perfect Reconstruction (5)

Z transform representation for up sampling
Z-transform
X ( z ) = Y( zM )
y(m)
x(n)=y(n/M)
y(m)
M
m
x(n)
( )
n
信号理論 / Signal Theory
28
完全再構成 (6)

なぜなら M倍にサンプルすると z変換では以下のように表される
なぜなら，M倍にサンプルすると，z変換では以下のように表される
∞
∑ x( n / M )z
n = −∞
−n
=
∞
∑ x( s )z
− Ms
= X( z )
s = −∞
信号理論 / Signal Theory
M
s≡n/ M
n = Ms
29
Perfect Reconstruction (6)

Since M times up sampling is represented by zz
transform as follows
∞
∑ x( n / M )z
n = −∞
−n
=
∞
∑ x( s )z
− Ms
= X( z )
s = −∞
信号理論 / Signal Theory
M
s≡n/ M
n = Ms
30
完全再構成 (7)

フィルタリング，ダウンサンプリング，アップサンプリング，フィルタリ
フィルタリング
ダウンサンプリングアップサンプリングフィルタリ
ングを縦続接続した信号をz変換で表現する
1 1
Y ( z ) = F0 ( z ) ∑ H 0 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
1 1
+ F1 ( z ) ∑ H 1 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
H0(z)
2
2
F0(z)
X(z)
入力信号
Y(z)
+
H1(z)
2
2
信号理論 / Signal Theory
F1(z)
合成信号
31
Perfect Reconstruction (7)

Cascade connection of filtering,
filtering down sampling,
sampling up
sampling and filtering is represented by z-transform
1 1
Y ( z ) = F0 ( z ) ∑ H 0 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
1 1
+ F1 ( z ) ∑ H 1 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
H0(z)
2
2
F0(z)
X(z)
input
signal
Y(z)
+
H1(z)
2
2
信号理論 / Signal Theory
F1(z)
output
signal
32
完全再構成 (8)
1 1
Y ( z ) = F0 ( z ) ∑ H 0 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
1 1
+ F1 ( z ) ∑ H 1 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
1
= F0 ( z )( H 0 ( z ) X ( z ) + H 0 ( − z ) X ( − z ))
2
1
+ F1 ( z )( H 1 ( z ) X ( z ) + H 1 ( − z ) X ( − z ))
2
1
= ( F0 ( z )H 0 ( z ) + F1 ( z )H 1 ( z )) X ( z )
2
1
+ ( F0 ( z )H 0 ( − z ) + F1 ( z )H 1 ( − z )) X ( − z )
2
信号理論 / Signal Theory
33
Perfect Reconstruction (8)
1 1
Y ( z ) = F0 ( z ) ∑ H 0 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
1 1
+ F1 ( z ) ∑ H 1 ( z e − j 2πk / 2 ) X ( z e − j 2πk / 2 )
2 k =0
1
= F0 ( z )( H 0 ( z ) X ( z ) + H 0 ( − z ) X ( − z ))
2
1
+ F1 ( z )( H 1 ( z ) X ( z ) + H 1 ( − z ) X ( − z ))
2
1
= ( F0 ( z )H 0 ( z ) + F1 ( z )H 1 ( z )) X ( z )
2
1
+ ( F0 ( z )H 0 ( − z ) + F1 ( z )H 1 ( − z )) X ( − z )
2
信号理論 / Signal Theory
34
完全再構成 (9)

入出力が一致 (Y(z)=X(z)) するためには
1
Y ( z ) = ( F0 ( z )H 0 ( z ) + F1 ( z )H 1 ( z )) X ( z )
2
1
+ ( F0 ( z )H 0 ( − z ) + F1 ( z )H 1 ( − z )) X ( − z )
2
において，1項目が適当な遅延だけを持ち，2項目が0であることが
必要であるから
H 0 ( − z )F0 ( z ) + H 1 ( − z )F1 ( z ) = 0
H 0 ( z )F0 ( z ) + H 1 ( z )F1 ( z ) = 2 z − L
信号理論 / Signal Theory
35
Perfect Reconstruction (9)

For input and output matching,
matching (Y(z)=X(z))
1
Y ( z ) = ( F0 ( z )H 0 ( z ) + F1 ( z )H 1 ( z )) X ( z )
2
1
+ ( F0 ( z )H 0 ( − z ) + F1 ( z )H 1 ( − z )) X ( − z )
2
We need arbitrary delay for the 1st term and 0 for the
2nd term
H 0 ( − z )F0 ( z ) + H 1 ( − z )F1 ( z ) = 0
H 0 ( z )F0 ( z ) + H 1 ( z )F1 ( z ) = 2 z − L
信号理論 / Signal Theory
36
2 ンドフィルタ
2バンドフィルタ

QMF (Quadrature Mirror Filter)
– 完全再構成ではない直線位相フィルタ
– 周波数分離特性に優れる
周波数分離特性優る
H 1( z ) = H 0 ( − z )
F0 ( z ) = H 1 ( − z )

F1 ( z ) = − H 0 ( − z )
CQF (Conjugate Quadrature Filter)
– 完全再構成の非直線位相フィルタ(偶数次係数0のHalfband
Filter)
H 1 ( z ) = z −( N −1 ) H 0 ( − z −1 )
F0 ( z ) = H 1 ( − z )
F1 ( z ) = H 0 ( − z )
信号理論 / Signal Theory
37
2-band
2
band filter

QMF (Quadrature Mirror Filter)
– Linear phase filter, but not Perfect Reconstruction
– Better band splitting
p
g
H 1( z ) = H 0 ( − z )
F0 ( z ) = H 1 ( − z )

F1 ( z ) = − H 0 ( − z )
CQF (Conjugate Quadrature Filter)
– Non linear phase,
phase Perfect Reconstruction (even
order coefficients are 0 in Halfband Filter)
H 1 ( z ) = z −( N −1 ) H 0 ( − z −1 )
F0 ( z ) = H 1 ( − z )
F1 ( z ) = H 0 ( − z )
信号理論 / Signal Theory
38
2バンドフィルタ
2
ンドフィルタ (2)

SSKF (Symmetric Short Kernel Filter)
– 直線位相の非直交フィルタ
F0 ( z ) = H 1 ( − z )
F1 ( z ) = − H 0 ( − z )

SSKF(5,3)フィルタの係数の例
H0(z)
H1(z)
n
係数値
0,4
-0.125
1,3
0.25
2
0.75
0,2
0.5
1
-1.0
信号理論 / Signal Theory
39
2-band
2
band filter (2)

SSKF (Symmetric Short Kernel Filter)
– Linear phase filter, not orthogonal
F0 ( z ) = H 1 ( − z )
F1 ( z ) = − H 0 ( − z )

Example of SSKF(5,3) filter
H0(z)
H1(z)
n
Coeff.
0,4
-0.125
1,3
0.25
2
0.75
0,2
0.5
1
-1.0
信号理論 / Signal Theory
40
N ンドフィルタ
Nバンドフィルタ

Nバンドフィルタバンクの構成
N
H0(z)
N
F0(z)
X(z)
入力信号
Y(z)
+
H1(z)
N
HN-1(z)
N
N
F1(z)
N
FN-1(z)
分析フィルタ
信号理論 / Signal Theory
合成信号
合成フィルタ
41
N-band
N
band filter

Structure of N-band
N band filterbank
N
H0(z)
N
F0(z)
X(z)
input
signal
Y(z)
+
H1(z)
N
HN-1(z)
N
Analysis filter
N
F1(z)
N
FN-1(z)
output
signal
Synthesis filter
信号理論 / Signal Theory
42
Nバンドフィルタ
N
ンドフィルタ (2)

理想フィルタバンクの周波数特性 (8band)
パワ
パワー
1
H0(z) H1(z) H2(z) H3(z) H4(z) H5(z) H6(z) H7(z)
0
π/2
π
周波数
信号理論 / Signal Theory
43
N-band
N
band filter (2)

Ideal frequency response of filterbank (8-band)
(8 band)
P
Power
1
H0(z) H1(z) H2(z) H3(z) H4(z) H5(z) H6(z) H7(z)
0
π/2
π
Frequency
信号理論 / Signal Theory
44
Nバンドフィルタ
N
ンドフィルタ (3)

4バンドの場合のサブバンド出力
x(n)
n
入力信号
H0(z)を順次畳み込み
フィルタ適用
n
4:1 sub-sample
n
信号理論 / Signal Theory
サブサンプル処理後
のサブバンド出力
45
N-band
N
band filter (3)

Subband output at 4-band
4 band
x(n)
n
input signal
Sequential convolution of H0(z)
n
filtering
4:1 sub-sample
n
信号理論 / Signal Theory
subsampled
subband
output
46
Nバンドフィルタ
N
ンドフィルタ (4)

4点DCTの場合の係数
x(n)
n
入力信号
直流基底をD0(z)とする．
4点ごとにまとめて変換
４点DCT適用
n
D0(z)を4点ごとに計算
DCT係数
n
信号理論 / Signal Theory
47
N-band
N
band filter (4)

Coefficient of 4-point
4 point DCT
x(n)
n
input signal
DC basis is D0(z)
T
Transform
f
tto each
h 4 samples
l
n
４-point DCT
Apply D0(z) at every 4 samples
DCT Coefficients
n
信号理論 / Signal Theory
48
周波数特性の計算例
Excel による周波数特性の計算
1
1 1
H 0 ( z ) = z −1 + + z 1
4
2 4
1 −1 1
1 1
H 1( z ) = − z + + − z
4
2
4
H0(z)
H1(z)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
信号理論 / Signal Theory
49
3 .0
2 .8
2 .6
2 .4
2 .2
2 .0
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
1 .0
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0.0
0 .0

Example of Frequency Response
C l l ti
Calculation
Calculation of Frequency Response using Excel
1
1 1
H 0 ( z ) = z −1 + + z 1
4
2 4
1 −1 1
1 1
H 1( z ) = − z + + − z
4
2
4
H0(z)
H1(z)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
信号理論 / Signal Theory
50
3 .0
2 .8
2 .6
2 .4
2 .2
2 .0
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
1 .0
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0.0
0 .0

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