½ V0 Ô 2mE

量子力学 I 第８回レポート解答
一次元運動をしている電子の位置のエネルギーが
8> 1
<
V (x) = > V0
: 0
(x < 0)
(0 < x < L)
(x > L)
で表されるとき、束縛状態のエネルギーを次の手順で求めよ。束縛状態とは、エネルギーが負で、
波動関数の値が無限遠でゼロになる ( lim
x!1
(x) = 0) 状態のことを言う。ここで
V0 > 0 である。
(a) 時間に依存しないシュレディンガー方程式 (ハミルトニアンの固有値方程式) を立て、0 <
x < L; L < x それぞれの領域で一般解を求めよ。（x < 0 の領域には電子が存在できない
ので、x < 0 での波動関数の値はゼロである。）エネルギー E が負の場合だけを考えれば良
い。0 < x < L の領域では (i) E < V0 、(ii) E = V0 と (iii) E > V0 の３つの場合に分
けて考えること。
(b) 境界条件 lim
x!+0
(x) = 0 を満たすように 0 < x < L での波動関数の形を絞り込め。(i),(ii),(iii)
のそれぞれの場合について考えること。
(c) 境界条件 lim
x!1
(d)
(x) = 0 を満たすように
x > L での波動関数の形を絞り込め。
0 (x) = lim 0 (x)
x = L での波動関数の接続条件 x!lim
(x) = lim
(x) と lim
L+0
x!L 0
x!L+0
x!L 0
から得られる
0 (x)
lim
(x)
x!L+0
= lim
x!L 0
0 (x)
(x)
(1)
に波動関数の式を代入して、積分定数を消去せよ。(i),(ii),(iii) のそれぞれの場合について考
えること。
(e)
(f)
E < V0 と E = V0 の場合には (1) 式の解が存在しないことを示せ。
p2m(E + V )
p
2mE
0
E > V0 の場合には、X =
L, Y =
L とすると、
h
h
Y
=
X cot X
X2 + Y 2 =
2mV0 L2
(= 一定)
h 2
(2)
(3)
となることを示せ。
(g) XY 平面上 (X
> 0; Y > 0) に (2) 式と (3) 式が表す２つの曲線 (群) を描け。
h 2 2
(h) この２つの曲線 (群) の交点 (Xn ; Yn ) が解を与える。実際、Yn から En =
Y のよ
2mL2 n
うにエネルギーが求まる。それでは、束縛状態の解が１個以上存在するために V0 が満たす
べき条件を求めよ。
(a) 0 < x < L の領域
h 2 d2
2m dx2
V0
p
E < V0 のとき (x) = A exp(
(ii) E = V0 のとき (x) = A + Bx
(i)
E > V0 のとき
x > L の領域
(iii)
(x) = A exp(i
h 2 d2
=E
2m dx2
(b)
d2
=
dx2
E < 0 であるので (x) = C exp(
(i) E < V0 のとき A + B = 0
(x) = A[exp(
p
2m(E + V0 )
h 2
d2
=
dx2
=E
2m(E +V0 )
h
p
x)
2m(E +V0 )
h
x) + B exp(
p2m(E+V )
0
h
x) + B exp(
2mE
h 2
2mE
x) + D exp(
h
exp(
E = V0 のとき A = 0 ! (x) = Bx
(iii) E > V0 のとき A + B = 0
p
p
2m(E +V0 )
h
p
i
2m(E +V0 )
h
p2m(E+V )
h
0
x)
x)
2mE
x)
h
x)] = 2A sinh(
p
2m(E +V0 )
h
x)
(ii)
(x) = A[exp(i
(c) lim
x!1
(d)
(x) = 0
p2m(E+V0 )
h
!C =0 !
p
x) exp( i 2m(hE+V0 ) x)] = 2iA sin(
p 2mE
(x) = D exp(
x)
h
p2m(E+V0 )
h
x)
0 (x)
0 (x)
= lim
x!L 0 (x)
x!L+0 (x)
p 2mE p 2m(E+V0 ) cosh( p 2m(E+V0 ) L)
p 2mh(E+V0 )
=
(i) E < V0 のとき
h
h
sinh(
L)
h
p 2mE
(ii) E = V0 のとき
=1
h
p 2mE p2m(E+V0 ) cos( p2m(E+V0 ) L)
p2m(hE+V0 )
(iii) E > V0 のとき
=
h
h
lim
L)
h
の場合には左辺 < 0 < 右辺なので解は存在しない。
sin(
(e)
(f)
E < V0 と E = V0
p2m(E + V )
p
p2m(E+V0 ) cos( p2m(E+V0 ) L)
p 2mE
2mE
0
h
p2m(E+V0 ) で X =
=
L, Y =
L
h
h
h
h
sin(
L)
h
Y X
=
cot X ! Y = X cot X
L L p
p
2m(E + V0 )
2mE
2mV0 L2
(= 一定)
また、 X =
L, Y =
L から X 2 + Y 2 =
h
h
h2
とすると、
(g) (h) 束縛状態の解が１個以上存在するためには、(3) 式の円の半径が 2 より大きければよい。
q 2mV L
8
-x*cos(x)/sin(x)
(4.5-x**2)**0.5
7
6
5
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
0 2
h 2
> 2
2h
2
! V0 > 8mL
2

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