運動基礎

class.
No.
Name
運動基礎
◎物理カードの使用方法◎
このカードは基礎の徹底練習用である。まず、半分に折り解答
を完璧に作成し、何も見ずにできたらチェック欄に斜線、でき
なかったら○をいれる。解答は右ページに丁寧に書くこと。習っ
てない分野もあるがそんなことは気にしない、自ら導けばよい。
・プリント、セミナー、ネット手当たり次第調べ空白をなくす！
・バラバラにすることなく、自ら丁寧に冊子にすること。
・さらに半分に切るとコンパクトなカードになる。
・合宿にも必ず持参し、マスターすること。
・行楽のお伴に、デートにお伴に常に持ち歩けばヒーロー？
・不得意や重要なものはまとめて試験対策、公式集にもなる。
☆は公式、A は基礎、M は数学を意味する。
物理基本カード
運動基礎
A １．運動の要素
物体の運動を質点（大きさ、色、形のない質量だけを持つ理想的　な物体）で表した時、その瞬間の運動を決定するのは何か。
また、これは数学では何に相当するか。図で示せ。
A ２．ベクトルの和
北に１０[m/s] の速度 VA と東に１０[m/s] 速度 VB をたすと
どんな速度になるか図示して答えよ。
A ３．ベクトルの和の意味
静水中で２[m/s] でげる A 君が速さ 2[m/s] の川の中で川下、川上
対岸に向かって泳いだ時の速度を求めなさい。
A ４．ベクトルの差
北に１０[m/s] の速度 VA から東に１０[m/s] 速度 VB を引くとどうな
るか、また VB から VA を引くとどんな速度になるか図示して答えよ。
A ５．ベクトルの差の意味
西向きに４[m/s] で走っている A 君と南向きに４[m/s] で走っている
B 君がいる A 君から見た B 君の速度と B 君から見た A 君の速度を求
めよ。
A ６．☆相対速度
A の速度を VA、B の速度を VB とした時、A から見た B の速度を
VAB で表し、これを A に対する B の相対速度という。
相対速度の公式を記せ。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A １．運動の要素 ☆ベクトルは自由に平行移動してよし！
運動を決定するのは速さＶとその向きである。この２つの要素は 1
つの矢印で表すことができこれをベクトルという。ベクトル量は他に力
や運動量がある。これに対し、大きさのみの量をスカラーという。
図で理解しよう。適当に原点Ｏを決め物体の運動を観測する。ある時刻
ｒ1
V
でｒ１の位置、次の位置ｒ２になったとしよう。
ｒ２
ｒ１、ｒ２が数学でいう位置ベクトルである。
O　この間の時間をΔｔ秒とすれば（r2 － r1)/ Δｔが速度
ベクトルを表す。だから速度の単位は [ 距離 / 時間 ] となる。
A ２．ベクトルの和　ベクトルの足し算は図ではおっぽと頭まをくっつ
けてくっついてないおっぽから頭へ矢印を引けばいい。
右図はちょうど１：１：√２の直角三角形だから
答えは北東に２×√２＝２．
８[m/s]
A3 川下へはベクトルを足して２＋２＝４、川下に４[m/s], 川上へは向
きが反対なので２－２＝０[m/s]、対岸の場合は上図から２．8[m/s]
A ４．ベクトルの差　ベクトルは作図から求める
Va － Vb ＝ 10 √２　北西に１４[m/s]
Va
Vb ー Va ＝ 10 √ 2　南東に１４[m/s]
Vb
☆ベクトルの和はおっぽと頭をくっつけておっぽから頭へ
☆ベクトルの差はおっぽとおっぽをくっつけて後ろから前へ
A ５．ベクトルの差の意味
A 君から見るということは A 君を基準とすればよい。これは A 君の
速度を０とすることだから A 君の速度を引くことになる。ベクトル
Va
の引き算だから尾っぽと尾っぽを合わせておく。
Vb
A から見た B　Vb ー Va ＝４√２北西に５．６[m/s]
B から見た A　Va ー Vb ＝４√２南東に５．６[m/s]
A ６．☆相対速度　【解答】
VAB ＝ VB － VA
物理基本カード
運動基礎
A ７．相対速度　成分
北から西に 30°
の向きに 3[m/s] の VA と東から北に 60°の向きに　4[m/s] の VB がある。れらを図示し、VAB と VBA を図示して求めよ。
ただし、√１３＝３．
６とせよ。
A ８．相対速度
北向きに４[m/s] で走っている A 君から B 君を見たら南西に
５．
６[m/s] で走って見えたという。B 君の速度を求めよ。
√２＝１．
４とせよ。
A9．速度
西向きに５[m/s] で動いている船の上を A 君は北向きに５[m/s]
で運動する。岸で静止している B さんから A 君を見るとどう
見えるか
A10．速さと速度
ア）速さは数学的にどういう量か。
イ）速度は数学的にどういう量か。
ウ）北向きに 5[m/s] の速度の速さを求めよ。
A11．速さと速度
ア）1 秒間に 1 ｍ進んだ物体の速さを求めよ。
イ）１時間に１ｋｍ進んだ物体の速さを求めよ。
ウ）１００ｍを１０秒で走る人の速さを求めよ。
エ）１００ｋｍを 5 時間で走る電車の速さを求めよ。
オ）６０ｋｍを３０分で走る車の速さを求めよ。　【問題】
物理基本カード
A ７．相対速度
VA ＝３
class
No.
Name
VB ＝４ ☆相対速度は尾っぽを合わて作図
☆作図でだめなら成分で求める。
30 °
原点を図の　ようにとると東を X, 北をｙ VA、VB をベクトルと考えて
60 °
O
VB(
４Cos60°、４Sin60°) ＝ ( ２，２√３）
⇒参照物理数学　ベクトル
VA（３Sin30°、３Cos30°）＝ ( － 1.5、1.5 √３)
よって VAB ＝ VB ー VA ＝ (3.5、0.5 √３) この成分の大きさは
VAB ＝√（Vx ２＋ Vy ２）より√ 13 ＝３．６向きは tan θ＝ Vy/Vx から√３/7
６[m/s]
よって VAB は tan θ＝√３/7 をみたすθだけ東から北に３．
VBA は向きが反対 tan θ＝√３/7 をみたすθだけ西から南に３．６[m/s]
A ８．相対速度
VB
☆見たら　があったら相対速度
相対速度の公式から VAB ＝ VB ー VA 求めたい VB に
VA
VAB
5.6 ＝４√２
式を変形すると VB ＝ VAB ＋ VA よってベクトルの和だから尾と尾を
V船
右図のように合わせれば答えは西に４[m/s]
A9．速度　動いている上を動くわけだからこの問題もベクトルの和
VA
よって右図から直角三角形の比を用いて５√２、北西に７[m/s]
A10．速さと速度
☆物理の答え方
ア）大きさのみのスカラー
☆スカラー量は大きさと単位
イ ) 大きさと向きを持つベクトル☆ベクトル量は大きさ、向き、単位の
ウ）５[m/s]
3 点セット！大きさはデジタルで！
A11．速さと速度
☆速さの問題　単位が重要！
ア）速さの定義より、１[m/s]
速さは単位時間に進む距離
イ）１[km/h]
等速運動なら
ウ）速さ＝距離／時間より 10[m/s]
エ）速さ＝距離／時間より 20[km/h] が便利！
オ） 30 分を 0.5 時間と考えて、
速さは 1 時間に進む距離だから 120[km/h]
【解答】
き
はじ
物理基本カード
運動基礎
A12．等速直線運動
次の穴埋めをしなさい。
一定の　と一定の　で運動することを等速直線運
動という。　ともいうことができる。
A13． ☆等速直線運動
位置を S、速度を V、時間をｔとして等速直線運動の式を
V,S,t それぞれについて表せ、また単位も明記せよ。
A14．　単位の換算　はじきの問題
ア）
１０[m/s] を [km/h] にせよ。
イ）
360 ｋｍを 2 時間で走った電車は何 [km/min] か。
ウ）
１０[m/min] の速さで 1 時間進むと何ｋｍになるか。
A15．　等速直線運動のグラフ
ア）
等速直線運動の S-t グラフは何関数か。
イ）
等速直線運動の V-t グラフは何関数か。
ウ）
速さ４[m/s] の等速運動の S-t,V-t グラフを描け。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A12．等速直線運動
次の穴埋めをしなさい。
一定の　速さ　と一定の　向き　で運動することを等速直線運　動という。等速度運動　ともいうことができる。
A13． ☆等速直線運動
S
位置 S[m] 速度 V[m/s]　時間ｔ [s]
V ｔ
式：S=V ｔ、V=S/t　ｔ＝ S/V
他に重要な記号は　質量ｍ［kg］
変化量Δ　Δ S ＝ S2 ー S1
A14．　単位も数値として分数で計算する。 1h=3600s
ア）
１０m/s ＝ 10（km/1000）/（ｈ /3600）＝３６[km/ ｈ ]
イ）
V=S/t=180km/h ＝１８０ｋｍ／６０分＝３［ｋｍ／ min］
ウ）
1h=60min S=V t より S=10 ×６０＝ 600 ｍ　０．６[ ｋｍ ]
６で割る
☆ km/h → m ／ｓは３．
☆ m ／ｓ→ｋｍ／ｈは３．
６でかける
A15．　等速直線運動のグラフ
ア）
１次関数
イ）
ｔ軸に平行な直線
ウ）
青が S-t, 緑が V-t
Ｓ
[m]
V[m/s]
Ｓ
８
V
４
t[s]
２
【解答】
物理基本カード
運動基礎
A16．☆加速度と速度　終わりの値 A ２からはじめの値 A1 を引いたの
がΔ A であるΔ A を A1 と A2 で表し、次に答えよ。
ア）
速度をΔで表せ。単位も明記せよ。
イ）
加速度をΔで表せ。単位も明記せよ。
A17．　☆加速度と速度
ア）
速度は単位時間の何の変化か。
イ）
加速度は単位時間の何の変化か。
A18．　☆グラフ
ア）
S-t グラフの傾きは何か。
イ）
V-t グラフの傾きは何か。
ウ） V-t グラフの面積は何か。
エ） S-t グラフの直線の傾きは何か。
オ） S-t グラフの接線の傾きは何か。
A19．　グラフと平均の速さ
ア） S= ２ｔの S-t グラフと V-t グラフをかけ。
イ）またこのグラフのｔ＝２からｔ＝４までの平均の速さを求めよ。
ウ）ｔ＝２からｔ＝４までの移動距離を求めよ。
A20．　グラフと瞬間の速さ
ア） S= ２ｔ２の S-t グラフと V-t グラフをかけ。
イ）ｔ＝２からｔ＝４までの平均の速さを求めよ。
ウ）ｔ＝２からｔ＝２＋Δｔまでの平均の速さを求めよ。
エ）ｔ＝２での瞬間の速さを求めよ。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A16． Δ A ＝ A2 － A1
ア）
V ＝距離の変化 / 時刻の変化＝Δ S/ Δｔ　[m/s]
イ）
a ＝速度の変化 / 時刻の変化＝Δ V/ Δｔ　[m/s ２]
A17． ☆単位変化を聞かれたら定義式で分母を１とせよ
ア）
位置の変化　すなわちΔ S
イ）
速度の変化　すなわちΔ V
A18． ☆覚えるより図に描きイメージせよ。
ア）
傾きはΔ S/ Δｔだから V　速さ
イ）
傾きはΔ V/ Δｔだから a　加速度
ウ） V ×Δｔだからすなわち面積は S　位置
エ）Δ S/ Δｔだから平均の速さ
オ）
Δ S/ Δｔ　Δｔ→０　だから　瞬間の速さ　＊物理数学参照
A19 青が S-t, 緑が V-t グラフＳ [m]
８
ア）は速さ２の等速運動
V[m/s]
Ｓ＝２ｔ
イ）平均の速さは常に２[m/s]
ウ）８－４＝４ｍ
これは V-t の面積からも出る
V
２
＊問題に単位がなければ答えにも
２
単位はいらない、ここでは基本単位　A20．　グラフと瞬間の速さ
ア）青が S-t, 緑が V-t グラフ
Ｓ [m] V[m/s]
32
４
t[s]
Ｓ＝２ｔ２
イ）(S(4) － S(2))/(4-2) ＝ 12[m/s]
ウ）(S(2+ Δ t) － S(2))/(4-2)
16
V ＝４ｔ
＝２Δｔ＋８　[m/s]
エ）Δｔ→０から８　[m/s]
S の式をｔで微分し、V ＝４ｔｔ＝２
を代入して８と出る　物理数学参照
【解答】
２
４
t[s]
運動基礎
物理基本カード
A21． V-t グラフ　ある物体の V-t グラフは次のようになった。
V[m/s]
12
10
12
ｔ [s]
4
ア ) 等加速度運動をするのは何秒からか。
イ ) ア ) の時の加速度を求めよ。
ウ）もっとも遠ざかる時刻とその位置を求めよ。
エ） 12 秒後の位置と移動距離を求めよ。
オ）再び原点に戻るのは何秒後か。
カ） 12 秒までの平均の速さを求めよ。
A22．グラフの変換次のような V-t グラフの運動について問題に答えよ。
V[m/s]　６　t[s]
2
6
-3
ア）上の V-t グラフを S-t グラフにせよ。
イ）上の V-t グラフを a-t グラフにせよ。
ウ） 12 秒後の位置と移動距離を求めよ。
エ） 12 秒間の平均の速さを求めよ。
【問題】
12
物理基本カード
class
A21．
No.
Name
☆ V-t グラフ　加速度は傾き
ア）４秒から負の等加速運動位置は面積
イ）傾きを求めればよいからΔ V/ Δｔ＝－ 12/6 ＝－ 2[m/s ２]
ウ）速さが０のところで U ターンしているからｔ＝ 10[s]
この時の位置はグラフの面積から　原点より正の向きに８４ｍ
エ）12 秒での V の値は傾きが－ 2 だから - ４になる。位置は
上面積－下面積から８４－４＝８０　原点より正の向きに 80 ｍ
移動距離は上面積＋下面積から８４＋４＝８８ｍ
オ）12 秒までに４ｍ戻っているから 12 秒を基準とし、あと８０ｍ
戻ればよい。12 秒からの速度は反対向きに４[m/s] だから 80 ｍ
進むには 20 秒必要。よって答えは 12+20 ＝３２秒
カ）
平均の速さは距離 / 時間　よって V= ８８/ １２＝７．３[m/s]
☆ V-t グラフ　移動距離＝上面積＋下面積　スカラー
位置＝上面積ー下面積　ベクトル　向きも答える！
S[m]
a[m/s ２]
A22．青は S-t の等速運動、赤は S-t の等加速運動、　42
39
緑は
a ーｔグラフ
☆ S-t　a-t グラフ　30
等速は直線　1 次関数
３
正の等加速は下に凸
負の等加速は上に凸
の 2 次関数
S は位置＝上面ー下面
６
2
t[s] で V-t グラフから変換
6
10 12
a は加速度で V-t グラフ
の傾きから変換する
ー 1．5
ウ）位置は面積または上のグラフから原点より正の向きに 39 ｍ
移動距離は V-t の上面積＋下面積から 42 ＋ 3 ＝４５ｍ
エ）距離 / 時間から V= ４５/ １２＝３．
７５[m/s]
【解答】
物理基本カード
運動基礎
A23． ☆等加速度運動　穴埋めをし、問いに答えよ。
加速度が一定の運動を　運動という。
次のように速度ベクトルＶ１とＶ２がある、加速度を図示し、
その大きさを求めよ。
（だだし、Ｖ１からＶ２まで２秒かかっている）
Ｖ１＝８[m/s]
30°
V2= ８√３[m/s]
A24　☆加速度と速度を微分を用いて定義せよ。
A16 のΔｔによる定義のΔｔをΔｔ→０とすればよい。
また次の速度と加速度を求めよ。
ア）
ｘ＝２ｔ２　イ）ｙ＝（１／２）ｇｔ２　ウ）　ｙ＝ Cos（ωｔ）
（ｇ、ωは定数）
A25　☆位置と距離
次の穴埋めをして問題に答えよ。
位置は　量で　から　に向かう矢印で
表すことができる。距離は　量で大きさのみを持つ。したがっ
て距離は１成分しかないが、平面の運動の場合は位置は　成分を
持つ。位置の変化量を　といい　である。
ア）
次のように原点を決め、ある物体の運動を軌跡で表した。
位置 S1,S2 と移動距離 S さらに変位Δ S を図示せよ。
S1
S2
原点 O
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A23．　＊参照→　物理数学　ベクトルの差
加速度が一定の運動を　等加速度　運動という。
a= Δ V/ Δｔ＝ (V2 ー V1)/ ２　引き算だから尾と尾をくっつける
よって下図から V2 － V1 が８[m/s] だから　答えは４[m/s ２]
Ｖ１＝８[m/s]
V2 － V1 ＝８
30°
V2= ８√３[m/s]
A24 ＊参照→物理数学微分の意味　・はｔの 1 回微分・・は 2 回微分
・
・・
ア）
ｘ＝２ｔ２　V= ｘ＝４ｔ　a ＝ｘ＝４
・
・・
イ）ｙ＝（１／２）ｇｔ２　V= ｙ＝ｇｔ　a ＝ｙ＝ｇ
・
・・
ウ）V= ｙ＝－ω Sin( ωｔ )　a ＝ｙ＝－ω２Cos( ωｔ ) ＝－ω２ｙ
A25　☆位置と距離
次の穴埋めをして問題に答えよ。
位置は　ベクトル　量で　始点　から　終点　に向かう矢印で表すこ
とができる。距離は　スカラー　量で大きさのみを持つ。したがって距
離は１成分しかないが、平面の運動の場合は位置は　２　成分を
持つ。位置の変化量を　変位　といい　ベクトル量　である。
ア）
次のように原点を決め、ある物体の運動を軌跡で表した。
位置 S1,S2 と移動距離 S さらに変位Δ S を図示せよ。
S1
ΔS
S2
S1
S2
原点 O
【解答】
物理基本カード
A26
運動基礎
加速度の意味
ア）半径ｒ、速さ V で等速円運動する物体がある。この運動の加速
度はどいう向きになるか速度 V1 とΔｔ秒後の速度 V2 を円周上に図
示して示せ。
V2
V1
A27
☆等加速度運動
ア）初速 Vo からｔ秒後に速度 V に加速した、加速度 a を求めよ。
イ）ア）の式を V について解き、等加速運動①の公式を求めよ。
ウ）イ）をｔについて積分し、位置 S の式を導け。これを等加速運　動②の式とせよ。また V-t グラフを描き、S は何を示すが図示せよ。
エ） ①と②の式からｔを消去し、等加速運動③の公式を導け。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A26 加速度の意味　ア）加速度はΔ V/ ΔｔだからΔ V の向きが加速度の向きに一致する
この場合は V2-V1 の向きで等速円運動の場合は常に中心を向く
車で円運動すると車の中ではこれと反対向き（遠心方向という）
に力を受ける。しかし、地球が太陽の周りをまわるもの車が回るもの
V1
外から見れば中心方向
V2 ー V1
に力を受けている。
V2
電車が急に　加速すると、中にいる
人は反対向き　に力を受けるのも同じで
観測者が　どこにいるかで受ける力
の向きは変わる。
☆加速度と力
加速度の向きは力の向き
A27 ☆等加速度運動　＊参照→物理数学　積分の意味
ア）a ＝（V ー Vo）／ｔ
イ）公式①　V ＝ Vo ＋ a ｔ
ウ）V-t グラフの面積を出すことと同じで距離、位置 S を表す
積分では V を０からｔまで積分し、∫ Vdt ＝ S=Vot ＋ at2/2 公式②
エ）
①の２乗から②に２a をかけてひけばｔの項が全て消える。
結果は公式③　V2 － Vo2 ＝２aS
☆等加速３公式
① V ＝ Vo ＋ a ｔ　速さの式
② S ＝ Vot ＋ at2/2 位置の式
③ V2 － Vo2 ＝２aS　時間の無い式
【解答】
物理基本カード
A28
運動基礎
加速度　次の加速度を求めよ。
ア）はじめ２[m/s] で運動していた物体が 4 秒後に 10[m/s] になった。
イ）はじめ２０[m/s] で運動していた物体が静止するまで４秒かかった。
ウ）はじめ右向きに４[m/s] で運動していた物体が８秒後には左むきに
１２[m/s] になっていた。
エ）はじめ V1 で運動していた物体が V2 になるまでｔ秒かかった。
A29
等加速運動　次の問題に答えよ。
ア）はじめ２[m/s] で運動していた２[m/s ２] の加速度で 4 秒進んだ後の
速さを求めよ。
イ）はじめ２[m/s] で運動していた２[m/s ２] の加速度で 4 秒進んだ、こ
の時、進んだ距離を求めよ。
ウ）はじめ２０[m/s] で運動していた物体が静止するまで４秒かかった。
静止するまで何ｍ進んだか。
エ）はじめ原点では右向きに４[m/s] で運動していた物体が左向きに
２[m/s ２] の加速度で５秒進んだ、この時の速度と位置を求めよ。
オ）はじめ原点では右向きに８[m/s] で運動していた物体が左向きに
２[m/s ２] の加速度で６秒進んだ、この時の速度と移動距離を求めよ
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A28 加速度　ア）V ＝ Vo ＋ a ｔより 10 ＝２＋ 4a a ＝２[m/s ２]
イ）静止したは V（終速が０）
V ＝ Vo ＋ a ｔより 0 ＝２０＋ 4a a ＝－ 5[m/s ２]
運動と反対向きに５[m/s ２]
ウ）普通では右が＋左は－
V ＝ Vo ＋ a ｔより－ 12 ＝４＋８a a ＝－２[m/s ２]
運動と反対向きに２[m/s ２]
エ）
a ＝Δ V ／Δｔより　a ＝ (V2 － V1) ／ t
＊まず公式から書くくせをつけていくと公式は自然に覚えられる。
A29 等加速運動　ア）
V ＝ Vo ＋ a t より V ＝２＋２×４＝１０　１０[m/s]
イ） S ＝ Vot ＋ a ｔ２/ ２より S ＝２×４＋２×４２/ ２＝２４[m]
ウ）まず加速度を求める。V ＝ Vo ＋ a t より０＝２０＋４a から a= ｰ 5
S ＝ Vot ＋ a ｔ２/ ２より S ＝２０×４－５×４２/ ２＝４０[m]
エ）V ＝ Vo ＋ a t より V ＝４－２×５＝－ 6　左向きに６[m/s]　位置は S にそのまま代入する。　位置はベクトルだから向きがいる
S ＝４×５ー２×５２/ ２＝－ 5　原点より左に５ｍ
オ）V ＝ Vo ＋ a t より V ＝８－２×６＝－４　左向きに４[m/s]
移動距離は U ターンの場合、図を描いて解く。止まるまでの
距離は V2 － Vo ２＝２a S より０－８２＝－２×２S　S ＝１６
１６
１２
現在位置は S ＝ Vot ＋ a ｔ２/ ２より S ＝８×６－２×６２/ ２＝１２
よって図から１６＋１６－１２＝２０　２０[m]
【解答】
物理基本カード
A30
運動基礎
等加速運動　次の問題に答えよ。
はじめ右に１２[m/s] で運動していた物体が 10 秒後には左向きに
１８[m/s] になった。
ア）加速度を求めよ。
イ）静止するまでの時間と距離を求めよ。
ウ）５秒後の位置と移動距離を求めよ。
エ）原点より右に１８ｍの位置に来るのは何秒後か。
オ）この運動の V-t,　S-t グラフを描け。
A31 等加速運動　次の問題に答えよ。
ある１F から出発したエレベータの a-t グラフは次のようになった。
4　1F の高さは４ｍとする。
2
a[m/s ]
2
ｔ [s]
２　４　６　８　10
－４
ア） 10 秒後には何 F にいるか。
イ）エレベータの最大の速さはどれだけか。
ウ）この運動の V-t グラフを描け。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A30 ア）V ＝ Vo ＋ a t より－ 18 ＝ 12 ＋ 10a a ＝－３[m/s ２]
イ）V ＝ Vo ＋ a t より　０＝ 12 －３ｔ
ｔ＝４[s]
２
S ＝ Vot ＋ a ｔ / ２より S ＝ 12 ×４－３×４２/ ２＝ 24[m]
＊静止するまでの距離は Vot の常に半分になる
ウ）位置は S=Vot ＋ a ｔ２/ ２より S ＝ 12 × 5 －３× 5 ２/ ２＝ 22.5
原点より右に 22.5m 移動距離はイから 24 ｍだから移動距離は
２４＋２４－ 22．5 ＝ 25.5 ｍ
エ）S=Vot ＋ a ｔ２/ ２より 18 ＝ 12 ×ｔ－３×ｔ２/ ２より
（ｔ－６）
（ｔ－２）＝０　６秒後、２秒後
S[m]
V[m/s]
１２
４
10
24
ｔ [/s]
ｰ 18
４
８
10 ｔ [/s]
ｰ 30
A31　V[m/s]　12
☆ V-t グラフ
傾きは加速度、
面積は距離
４
ｔ [s]
２　４　６　８　10
☆ a ーｔグラフ
面積は速度の増分、
足していけば現時点
での速さがでる。
ア）面積を求めて６８ｍ　よって６８/4 ＝１７　これは積分と関係し
答えは　１７階
ている。a の式をｔ
イ）グラフから１２[m/s]
で積分したのが V、
ウ）上図　a が定関数なら V は 1 次関数になる。
さらに積分すれば S
さらに V が１次関数なら S は 2 次関数になる。
☆参照→物理数学
【解答】
物理基本カード
運動基礎
重力加速度は文字の時はｇ、数値のときは９，８[m/s ２] とする。
A32　☆自由落下
初速０でｙ軸の＋方向を下向きにとる。物体を自由落下させた時の
公式①②③を等加速運動の公式①②③から導け。
A33　☆投げ下げ
初速 Vo でｙ軸の＋方向を下向きにとる。物体を投げ下げた時の
公式①②③を等加速運動の公式①②③から導け。
A34　☆投げ上げ
初速 Vo でｙ軸の＋方向を上向きにとる。物体を投げ上げた時の
公式①②③を等加速運動の公式①②③から導け。
A35　自由落下
高さ４４．
１ｍのビルの屋上から物体を静かに放した。
ア）2 秒後の物体の地上からの高さと速さを求めよ。
イ）地面に落ちるまでに何秒かかるか。
A36　投げ下げ
高さ４４．１ｍのビルの屋上から物体 A を静かに放した。１秒おくれ
て物体 B を投げ下げ、同時に地面におちるようにするためには物体 B
の初速はどれだけにすればよいか。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A32 図のようにｙ軸は下向きを＋、初速 Vo は０加速度はｇだから
① V ＝ｇｔ
②ｙ＝ｇｔ２／ 2
２
y
＝２ｇｙ
③ｖ
A33 Vo　自由落下に比べ初速 Vo が下向きにあるだけだから
① V ＝ Vo+ ｇｔ
②ｙ＝ Vot+ ｇｔ２／ 2
２
y
③ｖ
ー Vo2 ＝２ｇｙ
A34 Vo が上向きだからｙ軸も上向きを＋にする。加速度はーｇになる
y
①
V ＝ Vo ーｇｔ
②ｙ＝ Vot ーｇｔ２／ 2
③ｖ２ー Vo2 ＝ー２ｇｙ
＊投げ上げは負の等加速運動だからからなず最高点がある。
A35　自由落下
ア）高さはｙ＝ｇｔ２／ 2 よりｙ＝９．
８×２＝１９．６
原点は屋上だから地上からの高さは 44.1-19.6 ＝２４．５ｍ
速さは V= ｇｔから９．
８×２＝１９．
６[m/s]
地上までのｙ＝４４．
１＝ｇｔ２／ 2 よりｔ＝３[s]
A36 ☆まず落下時間を知る。
A35 より物体 A の落下時間は３秒、よって 1 秒おくれの B は２秒で地
面につかないと間に合わない。ｙ＝ Vo t+ ｇｔ２／ 2 より
４４．
１＝２Vo ＋９．
８×２　２Vo= ２４．５
Vo= １２．
３[m/s]
【解答】
物理基本カード
運動基礎
A37　投げ上げ
高さ２４．
５ｍのビルの屋上から物体を初速 19．6[m/s] で投げ上げる。
ア）最高点まで何秒かかるか、また最高点の地上からの高さを求めよ。
イ）３秒後の物体の位置と移動距離を求めよ。
ウ）地上に落ちるまで何秒かかるか、また直前での速さを求めよ。
A38　投げ上げ
高さｈのビルの屋上から物体 A を自由落下させると同時に地上から
物体 B を投げ上げちょうどビルの中点で両者を衝突させたい。
投げ上げる物体 B の初速を求めよ。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A37　投げ上げ
ア）最高点では V=0 だから V ＝ Vo ーｇｔより０＝ 19.6 － 9.8 ｔ
ｔ＝２[s]　高さはｙ＝ Vot ーｇｔ２／ 2 からｙ＝１９．６m　原点が屋上だから地上からの高さは１９．６＋２４．５＝４４．１[m]
イ）位置はｙの式そのままからｙ＝ Vot ーｇｔ２／ 2 ＝１４．７
よって屋上から１４，
７ｍ上方の位置
移動距離は図から最高点までが 19.6 ｍ
19.6m
だから 19.6 ＋ 19.6 － 14.7 ＝ 24.5 ｍ
14.7m
ウ）地上は原点から見たら下方だからマイナス
基準
ｙ＝ Vot ーｇｔ２／ 2 より
24.5m
－ 24.5 ＝ 19.6 ｔ－４．
９ｔ２
ｔ２－４ｔ－５＝０　( ｔ－５)( ｔ＋１) ＝０　ｔ＞０よりｔ＝５[s]　直前の速さは
V ＝ Vo ーｇｔから V=19.6 － 9.8 ×５＝ｰ 29.4　下向きに 29.4[m/s]
A38　☆文字の問題は問題文の文字＋ｇで答えるｇは 9.8 にしないこと
☆まず落下時間　A はｙ＝ h/2 だけ自由落下するから
ｙ＝ h/ ２＝ｇｔ２／ 2 からｔ＝√ (g/h)
次に投げ上げの式でこの時間ｔで h/ ２
だけあがればよいから
ｙ＝ Vot ーｇｔ２／ 2 より h/ ２＝ｇｔ２／ 2
h/2
が上式から成り立つから
ｙ＝ h/2 ＝ Vo √ (g/h) － h/2
よって移項して整理すれば
ｈ＝ Vo √ (g/h) から
Vo ＝√ (gh)
【解答】
h
h/2
Vo
物理基本カード
運動基礎
A39　☆２次元の運動
次のようにｘ－ｙ平面で速度 V があるこれを成分に分け Vx、Vy を
図示せよ、さらに V の大きさと V の向きを示す公式を書け。
ｙ　V
θ　ｘ
A40　☆水平投射
水平投射はｙ軸を下向きにとり水平方向に初速 Vo で投げ出す運動で
ある。ただし、空気抵抗は考えない重力加速度はｇで一定である。
水平投射の Vx,Vy、また水平到達距離ｘ、落下距離ｙを表す公式を示せ。
A41　☆斜方投射
斜方投射は y 軸を上向きにとり水平方向とθだけ上方に初速 Vo で投
げ出す運動である。先と同様に斜方投射の Vx,Vy、また水平到達距離ｘ、
高さｙを表す公式を示せ。
A42　斜方投射　経路の式
斜方投射はｙ－ｔもｙ－ｘグラフも 2 次関数になる。このことを確
かめるために斜方投射のｘ、ｙの式からｔを消去し、経路の式と呼ばれ
るｙ－ｘの式を求めよ。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A39　☆２次元の運動
V の大きさは３平方の定理から V ＝√ (Vx ２＋ Vy2)　向きは基本的にはｘ軸となす角をθとして Tan を
Vy
用いる　tan
θ＝ Vy ／ Vx　θ　ｘ　＊この式は水平、斜方投射両方に成立
Vx
A40　☆水平投射はｘ方向が等速運動、ｙ方向が自由落下である。
したがって Vx は等速だから初速 Vo に等しい。またｙ方向は自由落下
の公式を参考にして以下の公式が全て導ける。
Vx=Vo　ｘ＝ Vo ｔ
Vy= ｇｔ　ｙ＝ｇｔ２／２
A41　☆斜方投射　A40 の水平投射との違いは初速が水平でないから
Vx ＝ VoCos θ、Vy ＝ VoSin θとはじめから分解しておく。あとは
ｙ方向は上を＋にとった投げ上げになることに注意すれば公式が出る。
Vx=VoCos θ　ｘ＝ VoCos θ ｔ
Vy=VoSin θ－ｇｔ　ｙ＝ VoSin θｔ－ｇｔ２／２
＊水平投射も斜方投射も物理数学で見た微分の関係はそれぞれ成立する
A42　☆斜方投射　A41 の斜方投射のｙの式はｔの 2 次関数である。
この式にｘの式をｔについて変形し、代入すれば求める式が得られる。
結果はｙ＝ tan θ・ｘーｇｘ２／２Vo2Cos2 θとなりこれも放物線である。
ｘ＝０で原点を通るから上に突の下のようなグラフになる。
ｙ [m]
最高点　Vy=0 なので傾きが０
ｘ [m]
x/ ２
【解答】
x= 水平到達距離
物理基本カード
運動基礎
A43　斜方投射　経路の式の意味
A ４１の経路の式でｙ＝０となるｘの値を求めよ。
これから初速の向きが何度なら最も遠くへ飛ぶかを求めよ。
ただし、物理数学の加法定理を用いよ。
A44　斜方投射　経路の式の意味
A ４１の経路の式でｙをｘで微分したものをｙ ’ としよう。
ｙ ’ ＝０となるｘを求めよ。このｘは何を意味しているか
微分の意味を考えて答えよ。
A45　平面運動の式の意味
ア）斜方投射、水平投射のｘ方向は何運動しているか。
イ）斜方投射、水平投射のｙ方向はそれぞれ何運動しているか。
A46　平面運動の速度
ア）初速 9．8[m/s] で水平に投げ出した物体の２秒後の速度を求めよ。
イ）初速１９．６[m/s] で水平より 30°上方に投げ出した物体の２秒後の
速度を求めよ
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A43　斜方投射　経路の式でｙ＝０＝ tan θ・ｘーｇｘ２／２Vo2Cos2 θ
よりｘが共通、そこでｘ＝０以外の解は両辺をｘで割って
tan θ＝ｇｘ／２Vo2Cos2 θよりｘ＝２Vo2Cos θ Sin θ／ｇ
加法定理からｘ＝ Vo2 Sin ２θ／ｇ　Sin の最大は位相が 90°の時
よって最大になるのはθ＝ 45°
A44　斜方投射　参照→物理数学　微分　微分の意味はの傾きであった。
さて上に凸の 2 次関数で傾きが０になるところはどういう意味を持つか？これは理
解すると使える内容だ、つまり微分がわかれば関数の最大、最小も簡単に導ける。
ｙ＝ tan θ・ｘーｇｘ２／２Vo2Cos2 θだからこれをｘで微分すると
ｙ ’ ＝ tan θ－ｇｘ／ Vo2Cos2 θとなるこれを０、傾きが０、すなわち
グラフの頂点のｘ座標を求めるとｘ＝ Vo2Cos θ Sin θ／ｇ
A43 と同様に加法定理 ( 倍角 ) からｘ＝ Vo2 Sin ２θ／ｇこれはちょう
ど A43 の中点である。つまり、このｘは頂点のｘ座標である。
☆微分応用　微分した式を０として解くと、頂点のｘ座標が出る！
A45　平面運動の式の意味　ｘ、ｙに射影した運動という。
ア）等速直線運動　イ）斜方投射は投げ上げ、水平投射は自由落下
＊射影した成分は A39 のベクトルの合成でベクトルにできる。
A46　平面運動の速度　☆まず射影成分つまりｘ、ｙ成分を出す。
ア）Vx=Vo より Vx= ９．
８　Vy= ｇｔより Vy ＝２×９．８
よって V= √ (Vx2 ＋ Vy2)= √ (9.82 ＋９．
８2 ２2) ＝９．８√ (1+4)
tan θ＝ Vy ／ Vx ＝２よって Tan θ＝２を満たすθだけ下に 22[m/s]
イ）Vx=VoCos30 ＝ 9.8 √ 3 Vy=VoSin30 － 9.8 × 2= － 9.8
８√ (3+1) ＝ 19．6
よって V= √ (Vx2 ＋ Vy2) ＝９．
tan θ＝ Vy ／ Vx ＝－１／√３　よって水平より 30°下に１９．６[m/s]
Vy ＝０の式から 1 秒後に最上点だからこの結果は対称性から明らか。
☆√が出てきたら 2 乗できる共通項をさがす。特に物理では
９．
８＝０．
２×７２となることは知っておこう！
【解答】
物理基本カード
運動基礎
A47　水平投射　モンキーハンティング
距離３９．
２ｍ離れて同じ高さ１００ｍの A と B のビルがある。
A ビルから物体 A を初速１９．６[m/s] で B ビルに向かって水平に投げ
ると同時に B ビルからは物体 B を自由落下させた。物体ＡとＢは数秒
後に衝突した。
ア）衝突するまで何秒かかるか。
イ）衝突直前の物体Ａの速度を求めよ。
ウ）衝突した時の高さは地上何ｍか。
A48　斜方投射
ある物体を水平より 45°
上方に１９．
６√２[m/s] で投げ上げる。
ア）３秒後の物体の速度を求めよ。
イ）最高点まで何秒かかるか、また、その時の速度、高さを求めよ。
ウ）地上に落ちるまで何秒かかるか、また地面直前での速度を求めよ。
エ）地面に落ちたときの水平到達距離を求めよ。
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A47　水平投射　モンキーハンティング
ア）ｘ＝ Vo ｔより３９．
２＝１９．
６ｔ　ｔ＝２秒
イ）Vx=Vo ＝１９．
６　Vy ＝ｇｔ＝９．
８×２＝１９．６
ちょうどｘ、ｙ成分が同じだから図のような直角 2 等辺三角形が
できるので V= １９．
６×√２＝２７．４
19.6　よって水平より 45°
下に２７．４[m/s]
19.6
ウ）落下距離がｙ＝ｇｔ２/ ２よりｙ＝１９．６よって地上からの高さは
100 ー 19.6 ＝８０．
４[m]
☆落体の運動は常に図を描きイメージを持て、計算する必要ない場合が
ある。また、計算も分数で最後まで残し、約分する。
A48　斜方投射
ア）Vx=VoCos45 ＝ 19.6=2 × 9.8 Vy=VoSin45 － 9.8 × 3= － 9.8
よって V= √ (Vx2 ＋ Vy2)=9.8 √ (4+1) ＝ 22
tan θ＝ Vy ／ Vx ＝－２よって Tan θ＝２を満たすθだけ下に 22[m/s]
イ）最高点では Vy ＝０よって０＝ =VoSin45 － 9.8 ×ｔよりｔ＝２[s]
最高点では Vx しかない、よって V=Vx=VCos45 ＝ 19.6[m/s]
ウ）最高点の高さはｙ＝ VoSin θｔ－ｇｔ２／２＝ 19.6[m]
エ）地面に落ちる時間は頂点までの 2 倍すなわち４秒である。
したがってｘ＝ VoCos45・ｔより７８．
４[m]
☆投げ上げや斜方投射は対称性を使え、頂点を過ぎたら V は下向き。
☆斜方投射：頂点は Vy=0 から出す。　頂点でも水平方向の速度がある。
【解答】
運動基礎
物理基本カード
A49　平面の運動　ｙ方向は高さとして次に答えよ。
ある気球の Vx －ｔグラフと Vy －ｔグラフは次のようになった。
Vx　[m/s]　Vy　[m/s]
9.8　4.9　4
10
16
t[s]
t[s]
4
10
16
ア）４秒後の気球の速さを求めよ。
イ）気球の最高点の高さを求めよ。
ウ）気球が最高点に達した時、出発点からどれだけ進んでいるか。
A50　平面の運動　A の４９の問題について次に答えよ。
ア） 10 秒後に気球から物体を自由落下した。この時ちょうど真下の　地上にいた人がいる。物体はこの人からどれだけ離れて落ちるか
イ） 16 秒後に気球から見て気球から物体を上方に４，９[m/s] で投げ上
げた。
この時、気球から見た気球からの最高点と、地上から見た、地上
からの物体の最高点を求めよ。
ウ）物体が再び気球とすれ違うのは物体を投げ出してから何秒後か
【問題】
物理基本カード
class
No.
Name
A49　平面の運動　ｙ方向は高さとして次に答えよ。
V-t は傾き加速度、面積が距離
Vx　[m/s]　Vy　[m/s]
9.8　4.9　4
10
16
t[s]
t[s]
4
10
16
ア）Vx=9.8、Vy=4.9 から V=4.9 √ (4+1)=11[m/s]
イ）最高点は Vy の正の面積だから 10 × 4.9 ／２＝ 24．5[m]
ウ）最高点 (Vy=0) まで 10 秒かかっているから水平距離は Vx の面積
から１９．
６＋６×９．
８＝７８．
４ｍ
☆高さは Vy グラフの面積　水平距離は Vx 距離の面積
☆最高点は Vy=0 から、
U ターン、最大離れ点は Vx= ０から求めよ
A50　平面の運動　A の４９の問題について次に答えよ。
ア）10 秒後 Vy は０だから地上からは Vx ＝ Vo=9.8 で水平投射されて見える。（も
し Vy が０でないなら斜方投射になるだけ）そこでこの時の高さｙは Vy の面積から
24.5 ｍ。従ってｙ＝ｇｔ２／２から落ちる時間ｔ＝√５となる。よって水平到達距離
ｘ＝ Vot だから　ｘ＝ 9.8 ×√５＝２２ｍ
イ）気球に乗って見れば気球は加速度運動していないから重力に変化は
ないのでそのまま投げ上げの式 V2 － Vo2 ＝－２ｇｙから最高点では
８ｙ　よってｙ＝１．２２５ｍ　V ＝ 0 だから４．
９２＝２×９．
地上から見ると気球は Vy グラフから下向きに４．９[m/s] で運動している。従って気
球の速度と気球から投げる速度を合成すると０。つまり自由落下してしまう。従っ
て最高点は投げ出した瞬間で Vy のグラフから地上から答えは９．８ｍである。イの
高さに行くのに気球から見て０．５秒かかっている。この間 Vy のグラフから４秒で
9.8m 気球は落下しているから 0.5 秒で 9.8/ ８＝ 1.225m 落下するこれがはじめの気
球からみた最高点ｙになる。従ってウの答えは１秒後である。
【解答】

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