電磁気学 I

＜平成27年度前期＞
内容：
12. 磁場における荷電粒子の運動
電磁気学 I
磁場－序論
磁気現象に関する歴史　磁場中で運動する荷電粒子に働く力
磁場の定義・性質，ローレンツ力
第12回
井上　真澄
磁場－序論
磁場中で運動する荷電粒子に働く力
磁気現象に関する歴史
磁気の定義・性質
800B.C.（紀元前）頃　ギリシャ人はある種の鉱石が鉄の小片を引きつける
ことを発見
（ある種の鉱石・・現在マグネタイト(Fe3O4)と呼ばれるもの）
［マグネシア地方にに産することに由来］
700～800　日本での磁鉄鉱発見（続日本紀）
1296　「磁気書簡」（ピエール・ド・マリクール）
磁気の引力，磁化作用，南北極の区別などについての実験結果の
記述
1600　「磁気論（磁石及び磁性体ならびに大磁石としての地球の生理）」
（ウィリアム・ギルバート）
鉄を磁化する方法／地球自身が大きな磁石であること／地球の
磁極が南北両極付近にあること，など
1750　「人工磁石についての論文」（ジョン・ミッチェル）
「磁荷」の間に働く力は距離の二乗に反比例（逆二乗則）
［クーロンの法則の発表より前］
1820　電気と磁気の間の相互関係についてのいくつかの重要な発表・発見
［電磁気学の夜明け］
「電流の磁気作用」の論文（ハンス・エルステッド）［電流の周
りに磁場が発生］
アンペールの法則
ビオ・サバールの法則，など
＜参考＞
・空間の1点における電界の定義
→その点に置かれたテスト電荷に作用する単位電荷あたりの
電気力
・空間の1点における重力場g（重力加速度）の定義
→その点に置かれたテスト質量に作用する単位質量あたりの
重力
同様に，適当なテスト物体に働く磁気的な力を使って，その点での
磁場を表すベクトルBを定義　（磁束密度）
テスト物体・・・速度vで運動する電荷qの荷電粒子
電場（電界）や重力場はないと仮定
観察結果：
観察結果
F = qv × B
［ q：電荷，　v：速度，　B：磁場（磁束密度）］
・磁気力Fの大きさ・・・qとvに比例
・磁気力Fの大きさと方向・・・Bとvに依存
・vとBが平行　→　磁気力はゼロ
・vとBがある角度θをなす　→　磁気力FはvとBの両方に垂直
磁気力Fの大きさはsin θに比例
・同方向に運動する正電荷と負電荷には反対向きの力
以上をまとめると次の式になる
F = qv × B
vとBとFの関係
（正電荷の場合）
磁場中で運動する荷電粒子
の偏向（破線）
ローレンツ力
正電荷　→　Fはv×Bの方向
磁場中で運動する荷電粒子に働く力
負電荷　→　Fはv×Bと反対の方向
F = qv × B
(29.1)
・・・・ローレンツ力
v×B の方向・・・右手系規則　（覚え方はお好きの方法でどうぞ）
・右手を開いて4本指をvの方向に揃えてからBの方向に向くまで曲げる
→　親指の方向がv×B　（4本指が伸びたままならゼロ）
・右手を開いて親指をvの方向に向け，他の4本指をBの方向に向ける
→　手の平の向く方向がv×B　（親指と他の4本指の方向が揃ったらゼロ）
・vとBを含む面に垂直に右ネジを立て，vの方向からBの方向に右ネジ
を回そうとする
→　ネジの進む方向がv×B　（ネジが回せなければゼロ）
磁気力の大きさ
F = qvB sinθ
θ = 0, 180°
θ = 90°
(29.2)
→
F =0
→
F = qvB （最大）
（最小）
磁場（磁束密度）の単位
【電場と磁場の相違】
1. 電気力は電場（電界）の方向に作用。
磁気力は磁場の方向と垂直な方向に作用
・・・ T （テスラ）
これはWb/m2 （ウェーバー/m2）に等しい
2. 電気力は荷電粒子の速度に無関係。
磁気力は荷電粒子が動いているときのみ作用。
単位間の関係：
（電界がなく，電荷を持つ粒子が磁場に垂直に運動するとき）
3. 電気力は荷電粒子を変位させる時に仕事をする。
磁気力は磁場が定常（静的）なときは荷電粒子を変位させても
仕事をしない（運動方向と磁気力が垂直のため）。
→　磁場のみがある空間では荷電粒子の運動エネルギーは
変化しない
（磁場は粒子の速度の方向を変えるが，速さを変える
ことはできない。）
電界も存在する場合　→　電気力qEと磁気力qv×Bが作用
電荷に作用する合力Fは
F = qE + qv × B
= q( E + v × B)
F = qvB
より
B=
F
qv
→　1 Cの電荷が1 m/sの速さで1 Tの磁場（磁束密度）中で運動する
ときに受ける力が1 N
 N 
 Wb 
 N 
 N 
1 [T ] = 1  2  = 1 
=1 
=1 



m 
 C ⋅ m/s 
A ⋅m
 (C/s) ⋅ m 
∴
(29.3)
＜参考＞
CGS単位系での磁場（磁束密度）の単位・・・ G（ガウス）
(29.4)
1 [T] = 10 4 [G ]
(29.18)
・・・・これもローレンツ力と呼ばれる
地球磁場・・・　0.5 [G] = 5×10-5 [T] 程度
超伝導線を用いたコイルの強力磁場・・・数十 T
まとめ
［例題29.1］（磁場の中を運動する陽子）
ある陽子がxy平面内にあって速さ8×106
m/sで
正のx軸方向に運動しており，x軸に対し角度60
度に向いた大きさ2.5 Tの磁場領域に入る（図参
照）。陽子に作用する初期の磁気力および加速
度を計算せよ。
式(29.2)より
F = qvB sinθ
= (1.6 ×10 −19 [C])(8 ×106 [m / s])(2.5[T])(sin 60°)
= 2.77 ×10 −12 [N]
Fの向きはz軸の正方向　（∵　v×Bがz軸の正方向で，電荷が正）
陽子の質量と加速度をそれぞれm, aとすると
F = ma
F
m
F = qv × B
(29.1)
［ q：電荷，　v：速度，　B：磁場（磁束密度）］
・・・・ローレンツ力
磁気力の大きさ
F = qvB sin θ
θ = 0, 180°
θ = 90°
＜解＞
∴ a=
磁場中で運動する荷電粒子に働く力
(29.2)
→
→
（最小）
F =0
F = qvB （最大）
磁場（磁束密度）の単位
・・・ T （テスラ）
これはWb/m2 （ウェーバー/m2）に等しい
 N 
 Wb 
 N 
 N 
1 [T ] = 1  2  = 1 
=1 
=1 


m 
 A ⋅ m 
 C ⋅ m/s 
 (C/s) ⋅ m 
(29.3)
そして・・・
=
2.77 ×10 −12 [N]
1.67 ×10 −27 [kg]
= 1.66 ×1015 [m / s2 ]
磁気力の問題を考える際に重要なこと：　各ベクトルの方向の関係
を間違えないように図をイメージする（絵を描く）
図をイメージする（絵を描く）ように心がける
図をイメージする（絵を描く）
こと。

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