第5章重み付き残差法と有限要素法

第5回資料
支配方程式と解析解
2015年5月15日
（１）境界値問題：ディリクレ(Dirichlet)問題
平衡方程式（equilibrium equation）
第５章
重み付き残差法と有限要素法
境界条件
変数変換
1次元定常熱伝導問題を取り上げ、その近似解
法として古典的重み付き残差法を紹介し、有限
要素法の理論的枠組みと離散化の方法を概説
する。
解析解（analytical solution）
支配方程式と解析解
近似解と残差
（2）境界値問題：ディリクレ・ノイマン(Dirichlet・Neumann)問題
(1)
平衡方程式（equilibrium equation）
近似解
未知パラメータ
基底関数（basis function）
例
(2)
境界条件
境界条件を満足
変数変換
解析解（analytical solution）
(3)
近似解と残差
最小二乗法
基底関数は、Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ境界において以下（斉次条件：homogeneous condition）を満足
残差の2乗を領域内で積分した誤差関数を考える
：2乗誤差
(3)→平衡方程式：
この誤差関数が未知パラメータについて最小値をとる条件
（4）
2乗誤差を最小化している→最小二乗法（least square method）
残差（residual）
最小二乗法
重み付き残差法
例題：
（4）→
残差
残差に乗ずる関数（未知パラメータと同じ数の関数）
残差に乗じる関数（重み関数：weighting function）として以下を選ぶ
未知パラメータを解くことにより近似解（1）が求まる
各種重み付き残差法による解析例（選点法）
重み関数
各種重み付き残差法による解析例（ガラーキン法）
重み関数
各種重み付き残差法による解析例（モーメント法）
重み関数
各種重み付き残差法の比較

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