120701 初版 http://goo.gl/MFRFj a b c d = ad − bc 1) a b c d = a c b d

120701 初版
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行列と行列式第 3 回
3.1 2 次の行列式
a b
= ad − bc は単に記号だった。すぐわかるとおり，いくつかの性質がある。
c d
1)
a b
a c
=
転置
c d
b d
2)
a b
c d
b a
=−
=−
交代
c d
a b
d c
3) k
a b
ak bk
a b
ak b
a bk
=
=
=
=
1), 2) を認めれば，1 つでよ
c d
c d
ck dk
ck d
c dk
さそう
また，
a+l b+m
a b
l m
a+l b
a b
l b
=
+
， =
+
4)
c
d
c d
c d
c+m d
c d
m d
特に，
a+c b+d
a b
a+b b
a b
=
， =
c
d
c d
c+d d
c d
3.2
 3 次の行列式

 a11 x + a12 y + a13 z = p
a21 x + a22 y + a23 z = q を解いてみよう。

 a x+a y+a z =r
31
32
33
下
2
つの式より，
{
a22 y + a23 z = q − a21 x
a22 a23
で，∆11 =
とおいて，
a32 y + a33 z = r − a31 x
a32 a33
∆11 · y =
q − a21 x a23
a21 a23
q a23
= −x
+
r − a31 x a33
a31 a33
r a33
a22 q − a21 x
a21 a22
q a22
=x
−
a32 r − a31 x
a31 a32
r a32
したがって，
(
)
a21 a23
a21 a22
q a23
q a22
x a11 · ∆11 − a12
+ a13
= p · ∆11 − a12
+ a13
a31 a33
a31 a32
r a33
r a32
記号の作り方を考えると，
a11 a12 a13
a22 a23
a21 a23
a21 a22
− a12
+ a13
a21 a22 a23 = a11
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33
とするのが妥当だろう。逆にこれを 3 次の行列式の余因子展開という。
そして，
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
a31 a32 a33
であるが，サラスの方法という覚え方がある。3 次の行列式にも 2 次と同様の性質がある。
∆11 · z =

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