第５回宿題レポートについて アインシュタインの相対性理論 チェック項目 ①双子のパラドックスとは？（何がパラドックスか） － 第 １３ 回 － 今回の講義はレスポンスカードは使いません レポートの返却をします（場所は黒板参照） レポ トの返却をします（場所は黒板参照） 以前の返却分は前で別途返却します 互いに相手の時計がゆっくり進む⇒出会うと？ ②真実の自分の時間（実際の経過時間） 地球と星の距離は弟にとって８光年 兄にとってはローレンツ収縮により４．８光年 ③見かけの相手の時間１・・・弟の視点 兄が８光年を往復する様子はどのように見えるか レポートの点数分布 ④見かけの相手の時間２・・・兄の視点 10点 3人 9点 14人 ８点 25人 ７点 40人 6点 32人 5点 20人 2~4点 18人 兄が方向転換⇒弟は兄時間で６年遠ざかり６年近付く 1 相手の真の時間経過を扱うには一般相対性理論が必要 前回のまとめ 今回の内容 １．相対論的質量 速さ 第二部 一般相対性理論 で動く物体の質量 第５章 一般相対性理論概論 運動はダイエットの敵 特殊相対性理論が抱える問題点 ２．相対論的エネルギー 速さ で動く物体のエネルギー 特に静止エネルギー 一般相対性理論誕生 般相対性理論誕生 ３．質量とエネルギーの等価性 今日のキーワード 静止エネルギーだけの式ではない 誰もが秘める莫大なエネルギー 一般相対性原理 等価原理 3 第５章 一般相対性理論概論 第二部 一般相対性理論 §１ 特殊相対性理論が抱える問題点 第二部の位置づけ 特殊相対性理論は「生まれた時から不完全」 一般相対性理論の正確な理解には 幾何学などかなり数学的知識が必要 ⇒ 納得のいく導出は無理でも基本的な考え方や 興味深い帰結を知っておくのも悪くない 特殊相対性理論の抱える問題点 加速度と重力 １．慣性系での記述に限られる ・現実は星の重力で加速度運動する系ばかり 現実は星 重力 加速度運動する系ばかり ⇒近似としてはいいが厳密には？ ⇒ 時間、空間の概念変更もあってどうしていいやら・・・ 概論的な紹介が講義の目的 合わせて宇宙論への応用も紹介 今日の講義のテーマ 加速度と重力 一般相対性理論誕生 ・加速度運動した場合の効果が不明 「兄からみた弟の真実時間」の謎 5 兄の１２年に対し弟の真実時間は７．２年でなく２０年 1 ２．重力の現象は特殊相対性理論と矛盾 ２－２． そもそも重力の大きさは？ 力学と電磁気学の融合を目指したのに重力が扱えない ２－１． 光速を越える情報伝達が起こる 距離は観測者により異なる ニュートンの万有引力の法則 質量 ２つの物体の間の距離 と の物体が距離 ：定数（重力定数と呼ばれる） ローレンツ収縮 といわれても・・・ 相対論的質量は速度による 物体の動かしにくさという視点の質量だったが そのまま使っていいのだろうか？ ⇒片方の物体の動き（ の変化）が 瞬時に相手に伝わることになる 重力と特殊相対性理論を融合するには 何か根本的な見直しが必要そうだ クーロンの法則も同じ形だったけど？ マックスウェルの理論は動く電荷について正しく修正 ⇒ 変化は光速で伝わる・・・これこそ電磁波 ニュートンの万有引力の法則 万有引力の法則の形が変わる程度ではなさそう 7 8 エピソード アインシュタインの過ち（１９１１） ２－３． 光速度不変の原理が危うい 光の粒子描像（光量子仮説） 光は重力で曲がる 光の粒子は決まったエネルギーを持つ 太陽 光の粒子が重力を受けるとして計算 ⇒効果は小さいが日食の際に観測可能 質量とエネルギーの等価性 ⇒ 光の粒子は質量を持つ 予言値は誤り！ ⇒ 重力を受けて加速度運動？？？ 「光速に近づくと質量∞」の議論は使えないし・・・ 幸い観測は不調で年月が経過 星に落下する光は光速を超える？ 論拠不十分だが何か危険をはらんでいそう どうやら加速度運動したり重力の影響を 受けると時間がゆっくり進むようだ 9 ☆完全な理論の構築に向けて 加速度運動する系での物理法則の記述 見かけの力だけでは事は足りない §２ 一般相対性理論誕生まで ☆一般相対性原理 特殊相対性理論完成後、アインシュタインは 加速度と重力の問題の解決に着手 重力理論の構築 ニュートンの万有引力の法則を 根本的に修正する必要がある 最初のこだわり 最初 だわり 根拠はないが・・・ 根拠 特殊相対性原理は美しい ここまでの手がかり みんな平等 ⇒ 慣性系に限らず「みんな平等」が真理では？ ・時間の変化がありそう ・重力の変化は波として伝わる？ 電磁波からの類推 電場、磁場に対応して重力場？ 一般相対性理論の完成を受け再計算（１９１５） 予言値は１９１１年の２倍に修正 １９１９年に予言値通りの観測 ⇒ 一躍有名人 加速度運動している人だって主役になりたい 11 後に一般相対性理論を完成させる重要な役割 2 ☆等価原理 加速度と重力に思いを馳せる中で 一般相対性原理 どんな運動をする人にとっても物理法則は同じ 「人生で最高のおもいつき」（１９０７） 注意 思考実験 １．このままでは理念を述べただけで中身なし エレベーターに乗っていてケーブルが切れたら？ 特殊相対性理論のときも「物理法則」構築の基礎は 光速度不変の原理が与えた ２．みかけの力はどうなる？ 空気抵抗はないとする 切れる前 ２つの力がつりあって乗客は静止 13 切れた後 全体が重力加速度で落下 床から力を受けないので 重力を実感しない 自由落下 抗力 14 重力 等価原理（表現１） 局所的には重力は適当な加速度運動で消せる ⇒加速度と重力の問題を同時解決できるかも 自由落下する系は局所慣性系 あたかも慣性系 「無重力状態」 停止中 床から力（抗力）を受けることで 重力を実感する ニュートン力学では加速度運動する人には みかけの力が働くので「物理法則」は同じではない 同じ速度、加速度 地球を周回する宇宙ステーションの中も同じ 地球から重力は受けていても「無重力状態」 乗っている人にとっては重力はないのと同じ 重力と加速度運動は同等ではないか？ 15 「局所的には」という但し書きがつく 巨大エレベーターを考えると 上と下で加速度が違う（地球視点） 自由 落下 アインシュタインはもう一歩踏み込んだ ←加速度系では重力が消えたと解釈 注意 地球 下部の乗客から見ると 上部では上向きの力 「重力のおつり」 16 物体には重力が働く 等価原理（表現２） 重力加速度 とすると質量 の物体には 大きさ の重力が働く この は物体が受ける重力の度合いを 表すので重力質量と呼ばれる 慣性質量と重力質量は等しい 等価原理（表現１）の再考 どうして自由落下する人（加速度系）では 重力が消えるように見えたのだろう？ 見かけの力と重力が相殺 するので無重力状態 加速度系では見かけの力が働く 17 ⇒ 加速度 の系⇒質量 の物体には大きさ の みかけの力が働く この は物体の慣性（運動の変化のしにくさ）を 表すので慣性質量と呼ばれる 加速度 で落下 みかけの力 自由 落下 慣性質量＝重力質量 重力 18 3 ☆等価原理が示唆すること 慣性系のロケットから見ると 相殺可能 １．重力とみかけの力は同等 等価原理を言い換えただけ 光は直進 加速度運動するロケットから見ると 加速度と重力を一緒に考えると 一般相対性原理が成り立つ理論が できるかもという希望の光 きるかもと う希望 光 加速度 光は曲がる ⇒ ロケットを主役に ２．光は重力で曲がる 先ほどの話はそもそも等価原理に立脚 加速度運動を重力に置きなおすと 等価原理 光子が持つ慣性質量により重力を受けるとしていた 加速度運動と重力の同等性から再考（次頁） エネルギーは重力を感じることも意味する 19 ３．重力を受ける（加速度運動する）と 時間が遅れる 光が曲がるとは？ 波の屈折を思い出そう 幅のある光線で考えてみよう 青線は波の山の位置（波面） 「同じ時間で」 光はＡ→Ｃ、Ｂ→Ｄ Ａ 重力源 20 「地球」 慣性系（自由落下する人）にとっては 光速度不変（３０万km/s）なのにどういうこと？ 重力源（質量）に近いところほど 時間がゆっくりすすむ 速 Ｄ 遅 光速が場所によって違うことよりも重要な本質は 重力を感じると時間がゆっくり進む Ｃ ⇔ 距離はＢＤ＞ＡＣ！ Ｂ 光は重力で 曲がる 重力源 あるいは 等価原理 加速度運動による見かけの力を受けると 時間がゆっくり進む 重力を感じると光速は場所によって変わる ⇒光速度不変の原理は慣性系でのみ成立 21 22 完成に向けて ☆生みの苦しみ 手がかり 等価原理⇒加速度と重力の問題を同時に 解決できる可能性 特殊相対性理論では時間と空間が ある意味同等（混ざり合う） 等価原理⇒重力は時間のゆがみを生じる どうやって一般相対性原理を満たす理論にするか どうやって 般相対性原理を満たす理論にするか 「人生で最高のおもいつき」（１９０７） 太陽の重力で光が曲がる（１９１１） ミンコフスキーによる特殊相対性理論の 数学的定式化がアインシュタインに幾何学的 描像のヒントを与えた ⇒時間がゆがむなら空間もゆがむはず！ ・・・ 時空のゆがみこそ重力だ！ その後苦悩の日々 23 24 4 時空のゆがみが「重力」を生む 数学者の友人（グロスマン）の助けを借りて ３年がかりで一般相対性理論を完成（１９１５） １．一方（図は光）が軽い時の様子 空間を２次元にしてイメージを描く 時空のゆがみを扱うには幾何学が必要 曲がった面の例・・・球面：平面とは性質が異なる 重い星が作る 空間のゆがみ 一般相対性理論を一言でまとめると ゆがんだ空間の 中を「まっすぐ」 進む光は遠くから 見ると「曲がる」 時空のゆがみ＝定数×エネルギー 時空のゆがみがエネルギーによって生じる 静止した質量だけではなくエネルギーが起源 物体はゆがんだ時空を「まっすぐ」進む 「重力によって 光は曲がる」 26 と表現 慣性の法則の代わりの表現 重力の理論ではなかったの？？？ 25 星に近いほどゆがみは大きく光は大きく曲がる ２．どちらも重いときの様子 万有引力らしい表現 ２つの物体は共に空間のゆがみを作る ⇒１つのゆがみに合流しようとする=引力 27 今日のまとめ 28 次回の内容 １．特殊相対性理論が抱える問題点 加速度運動をする系を主役とする記述ができない 万有引力の法則が特殊相対性理論と相容れない §３ 一般相対論が語ること ２．一般相対性理論の基本原理 一般相対性原理 般相対性原理 等価原理 ３．一般相対性理論の本質 時空のゆがみ＝定数×エネルギー 時空のゆがみがエネルギーによって生じる そして、時空のゆがみが重力の働きを生み出す 29 5
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