代数学基礎補充問題 1 略解答

代数学基礎補充問題 1 略解答
栗原将人
2015 年 1 月 8 日
1.(1) id が 1 個、(2, 1, 1, 1) 型が 10 個、(2, 2, 1) 型が 15 個、(3, 1, 1) 型が
20 個、(3, 2) 型が 20 個、(4, 1) 型が 30 個、(5) 型が 24 個であり、類
等式は 120 = 1 + 10 + 15 + 20 + 20 + 30 + 24 となる。
(2) 共役類をあわせて群となるものを選ぶ。id は必ず入る必要がある。共役
類をとってきて、120 の約数になったとしても、群であるかどうか確か
めないといけない。たとえば、id, (2, 2, 1) 型, (3, 2) 型, (5) 型をあわせ
ると 1 + 15 + 20 + 24 = 60 となり、120 の約数になるが、これは群で
はない。すべての可能性を考えると、{id}, A5 , S5 だけが正規部分群と
なる。
(3) A5 は {id} と (1) の (2, 2, 1) 型、(3, 1, 1) 型、(5) 型の元からなる。(2, 2, 1)
型の元は S5 の中で共役だが、A5 の中でも共役である。(3, 1, 1) 型の
元は S5 の中で共役だが、A5 の中でも共役である。(5) 型の元はふた
つの共役類に分かれる。A5 の中で (1, 2, 3, 4, 5) と可換な元は 5 つある
ので、(1, 2, 3, 4, 5) の A5 の中の共役類は 60/5 = 12 個の元からなる。
もうひとつの共役類は (1, 2)(1, 2, 3, 4, 5)(1, 2) = (1, 3, 4, 5, 2) が入る共
役類である。類等式は 60 = 1 + 15 + 20 + 12 + 12 である。
2. G を位数 65 の群であるとする。Sylow 5 部分群の数を s5 とすると、Sylow
の定理により、s5 ≡ 1 (mod 5) であり、s5 は 65 の約数なので、s5 = 1
である。したがって、G は位数 5 の正規部分群 H をもつ。同様に、
Sylow 13 部分群の数を s13 とすると、Sylow の定理により、s13 ≡ 1
(mod 13) であり、s13 は 65 の約数なので、s13 = 1 である。したがっ
て、G は位数 13 の正規部分群 K をもつ。H の生成元を σ, K の生成
元を τ とする。H は σ で生成される巡回群、K は τ で生成される巡
回群であり、それぞれ Z/5Z, Z/13Z と同型である。H, K は共に正規
なので、τ στ −1 σ −1 は H にも K にも入る。#H と #K は互いに素だ
から、H ∩ K = {1} となる。よって、τ στ −1 σ −1 = 1、つまり τ σ = στ
となる。したがって、τ σ は位数が 65 となる。よって、G は τ σ で生
成される位数 65 の巡回群である。
1
3. G の Sylow p 部分群の数を sp とすると、Sylow の定理により、sp ≡ 1
(mod p) であり、sp は 2p の約数なので、sp = 1 である。したがって、
G は位数 p の正規部分群 H をもつ。H は位数 p の巡回群なので、そ
の生成元を σ とする。また、Sylow の定理により、G には位数 2 の
元 τ も存在する。τ ∈ H に注意する。H は G の正規部分群だから、
τ στ −1 = σ i と書ける。問題 4 (2) の写像 ϕ を使うと、ϕ(τ)(σ) = σ i で
ある。ϕ は準同型写像なので、ϕ(τ 2 ) = ϕ(e) = id が成り立つ。これは、
(σi )i = σ を意味する。故に、i2 ≡ 1 (mod p) となり、i ≡ ±1 (mod p)
である。i = 1 のとき、τ σ は位数 2p の元なので、G は位数 2p の巡
回群となる。i = −1 のとき、G は Dp (位数 2p の 2 面体群) に同型で
ある。
4.(1) 最後の ϕ の準同型性だけ証明する (他の部分は各自定義に従って検証
せよ)。
ϕ(g1 g2 )(x) =
=
ig1 g2 (x) = g1 g2 x(g1 g2 )−1 = g1 (g2 xg2−1 )g1−1
(ig1 ◦ ig2 )(x) = (ϕ(g1 ) ◦ ϕ(g2 ))(x)
となる。よって、ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 ) ◦ ϕ(g2 ) であり、ϕ は準同型写像で
ある。
(2) H は G の正規部分群であるから、g ∈ G, x ∈ H に対して、gxg −1 ∈ H と
なることに注意する。したがって、ig,H は H から H への写像となる。全
単射準同型であることも (1) と同様に確かめられる。ϕ : G −→ Aut(H)
が準同型写像であることも (1) と同様に確かめられる。
(3) Z/pZ の 0 でない元全体が乗法に関してなす群を (Z/pZ)× と書く。
(Z/pZ)× = {1, ..., p − 1} である。ϕ : Aut(G) −→ (Z/pZ)× を ϕ(f ) =
f (1) で定義する。ϕ は群の準同型写像であり、全単射であることが示
せる。したがって、(Z/pZ)× に位数 p − 1 の元があることを証明すれ
ばよい。
Z/pZ には加法だけでなく、乗法も定義することができ、Z/pZ は体
となる。体の上では、n 次方程式は n 個以下の解しか持たない。今、
(Z/pZ)× に位数 p − 1 の元がないとすると、Abel 群の基本定理によ
り、p − 1 の約数 d で d < p − 1 であり、すべての x ∈ (Z/pZ)× に対
して xd = 1 をみたすものが存在する。しかし、これは d 次式に p − 1
個の解が存在することになり矛盾である。以上により、(Z/pZ)× には
位数 p − 1 の元が存在する。
5. n の (正の) 各約数 d に対して、位数 d の部分群は {1, σ d , σ 2 d , ..., σ (d−1) d }
n
のひとつしか存在しない。
2
n
n

Download Report