第1章微分積分I《§1 関数の展開》 - 数学の広場数学問題別検索閲覧

碓氷軽井沢 IC 数学教育研究所
大学編入のための数学問題集《
63 紹介》 1
第１章微分積分 I《§1 関数の展開》
63 実数 θ において, f(x) =
∞
sin nθ n
x とおく.
n
n=1
(1) 右辺の級数は |x| < 1 で収束することを示せ.
sin x
1 iθ
−iθ
e
を示せ
.
ヒント： sin
t
=
−
e
(2) f (x) =
1 − 2x cos θ + x2
2i
(埼玉大)
《ポイント》
1
∞
|an | が収束するならば,
n=1
∞
an も収束する.
n=1
2 正項級数において, an ≦ bn のとき,
(i)
∞
bn が収束 =⇒
n=1
(ii)
∞
∞
an も収束する.
n=1
an が発散 =⇒
n=1
∞
bn も発散する.
n=1
(解)
sin nθ n | sin nθ| n
1
(1) x =
|x | ≦ |xn | ≦ |x|n が成り立つ.
n
n
n
ここで,
∞
|x|n は, 初項 |x|, 公比 |x| の無限等比級数であるから, |x| < 1 で収束する.
n=1
よって,
∞ sin nθ n は, |x| < 1 で収束するといえるから.
x
n
n=1
したがって,
∞
sin nθ n
x は, |x| < 1 で収束する.
n
n=1
《ポイント：オイラーの公式 eiθ = cos θ + i sin θ 》
e−iθ = ei(−θ) = cos(−θ) + i sin(−θ) = cos θ − i sin θ
eiθ + e−iθ = 2 cos θ
∴ cos θ =
eiθ + e−iθ
2
eiθ − e−iθ = 2i sin θ
∴ sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
|eiθ | = | cos θ + i sin θ| = 1
|e−iθ | = | cos(−θ) + i sin(−θ)| = 1
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大学編入のための数学問題集《
63 紹介》 2
(解)
(2) ベキ級数は収束域 |x| < 1 の内部で項別微分可能であるから,
|x| < 1 のとき,
f (x) =
∞
∞
sin nθ
(sin nθ)xn−1
· nxn−1 =
n
n=1
n=1
ここで, sin(nθ) =
f (x) =
ei(nθ) − e−i(nθ)
einθ − e−inθ
であるから,
=
2i
2i
∞
einθ − e−inθ n−1
x
2i
n=1
∞
∞
∞
1 inθ
1
e − e−inθ xn−1 =
=
einθ xn−1 −
e−inθ xn−1
2i n=1
2i n=1
n=1
∞
∞
1 iθ i(n−1)θ n−1 −iθ −i(n−1)θ n−1
=
e e
x
−
e e
x
2i n=1
n=1
1
=
2i
ここで,
∞
∞
∞
n−1 n−1
e eiθ x
−
e−iθ e−iθ x
n=1
n=1
iθ
n−1
eiθ eiθ x
は, 初項 eiθ , 公比 eiθ x の無限等比級数であり,
n=1
|eiθ | = 1, |x| < 1 より, |eiθ x| < 1 であるから, この無限等比級数は収束する.
∴
∞
n−1
eiθ eiθ x
=
n=1
同様にして,
∞
eiθ
1 − eiθ x
n−1
e−iθ e−iθ x
は, 初項 e−iθ , 公比 e−iθ x の無限等比級数であり,
n=1
|e−iθ | = 1, |x| < 1 より, |e−iθ x| < 1 であるから, この無限等比級数は収束する.
∴
∞
n−1
e−iθ e−iθ x
=
n=1
よって,
f (x) =
1
2i
e−iθ
1 − e−iθ x
eiθ
e−iθ
−
iθ
1 − e x 1 − e−iθ x
=
1 eiθ (1 − e−iθ x) − e−iθ (1 − eiθ x)
·
2i
(1 − eiθ x)(1 − e−iθ x)
=
1
eiθ − e−iθ
·
2i 1 − x(eiθ + e−iθ ) + x2
=
1
sin θ
2i sin θ
=
·
2
2i 1 − x · 2 cos θ + x
1 − 2x cos θ + x2 〃

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