(第6章)略解

2015 年 7 月 22 日
solution phys6
『工科系の物理学基礎 I』問題略解
第 6 章剛体の運動
6.1-1 図 6.1(b) のように，円錐の頂点を原点とし，円錐の軸を z 軸とする座標系を
設定すると，重心は z 軸上にある．xy 面からの高さが z で，xy 面に平行な平面で円錐
を切断すると，断面の円の半径は a = (R/H)z で与えられる．円錐の密度を ρ とすると，
円錐の質量は M = πR2 Hρ/3 である．円錐の頂点から重心までの距離を c とすると，
∫ H
∫
ρ
πρ H R2 3
3
2
c=
z dz = H.
πa z dz =
2
M 0
M 0 H
4
6.2-1 剛体の運動エネルギーの表式
K=
1∑
mi (vi · vi )
2 i
において，vi · vi に式 (6.5) を代入すると，
vi · vi = ω 2 (ez × ri ) · (ez × ri ) = ω 2 ez · [ri × (ez × ri )]
と書き直すことができる．ただし，最後の式変形ではスカラー三重積の公式 A·(B ×C) =
B · (C × A) を利用した（第 4.2 節参照）．さらにベクトル三重積の公式を使うと，
vi · vi = ω 2 ez · [ri × (ez × ri )] = ω 2 ez · [ez (ri · ri ) − ri (ri · ez )]
[
]
= ω 2 [(ez · ez )(ri · ri ) − (ez · ri )(ri · ez )] = ω 2 (x2i + yi2 + zi2 ) − zi2 = ω 2 (x2i + yi2 )
となる．したがって，
K=
1
1 ∑
1∑
mi (x2i + yi2 ) = ω 2 Iz . (Q.E.D.)
mi ω 2 (x2i + yi2 ) = ω 2
2 i
2
2
i
6.2-2 平板内の点の z 座標はゼロだから，
Ix =
∑
mi (yi2 + zi2 ) =
∑
mi yi2 ,
Iy =
したがって，
Ix + Iy =
∑
mi (zi2 + x2i ) =
i
i
i
∑
mi (x2i + yi2 ) = Iz . (Q.E.D.)
i
1
∑
i
mi x2i .
6.3-1 式 (6.16) より，円板の重心を通り円板に垂直な軸のまわりの慣性モーメントは
Iz0 = M R2 /2 である．したがって，平行軸の定理から，回転軸のまわりの慣性モーメン
トは
(
Iz =
Iz0
2
+ M` = M
微小振動の周期は，式 (6.27) より
√
T = 2π
)
1 2
2
R +` .
2
√
Iz
= 2π
M g`
R
g
(
)
`
R
.
+
R 2`
√
この周期 T を `/R の関数としてグラフに描くと下図のようになる．`/R = 1/ 2 のとき，
T は最小値
Tmin
√√
2R
= 2π
g
をとる．
6.3-2 滑車の回転角を ϕ，滑車から垂れたひもの長さを x とすると，
Rϕ̇ = ẋ
という関係が成り立つ．また，ひもの張力を T とすると，滑車およびおもりの運動方程
式は次のようにかける．
I ϕ̈ = RT
mẍ = mg − T.
ただし， I = M R2 /2 は軸のまわりの滑車の慣性モーメントである．これら 3 つの式か
ら ϕ と T を消去すると，
ẍ =
g
g
=
2
1 + I/mR
1 + M/2m
2
という結果を得る．M/m が大きいほど，おもりの落下加速度は小さくなる．
6.4-1 ひもの張力を T とすると，円板の重心の降下速度 V についての運動方程式は
M V̇ = M g − T
であり，円板の回転角速度 ω についての運動方程式は
1
I = M R2
2
I ω̇ = RT,
となる．一方，V と ω の間には V = Rω という関係がある．これら 3 つの方程式より
2
V̇ = g
3
を得る．
6.4-2 下図のように，点 C を原点とする直交座標 (x, y, z) をとる（z 軸は，紙面の手
前方向を向く）．そして，点 C から円柱の軸に下ろした垂線が y 軸となす角を ϕ とする．
y
Mg
ϕ
R
C
h
D
x
B
A
円柱が点 C に接触した直後に，円柱は z 軸を回転軸として回転をはじめる．接触の前
後では，点 C に関する円柱の角運動量（の z 成分）が保存する．接触前の円柱の角運動
量──重心の角運動量と重心に関する円柱の回転（角速度 −v/R）の角運動量の和──は
v
Lbefore = −(R − h)M v − I0 ,
R
1
I0 = M R 2
2
で与えられる（I0 は重心に関する円柱の慣性モーメント）．また，接触直後の角運動量は
Lafter = I ϕ̇,
3
I = I0 + M R 2 = M R 2
2
3
で与えられる（I は z 軸に関する円柱の慣性モーメント── I0 と I の関係は，平行軸の
定理から得られる）．したがって，角運動量の保存則（Lbefore = Lafter ）により，接触直後
の回転角速度 ω0 = ϕ̇ は
(
)
2h v
ω0 = − 1 −
3R R
となることが分かる．
円柱が，点 C に接触したあとの，z 軸のまわりの回転に関する運動方程式は
⇒
I ϕ̈ = M gR sin ϕ
ϕ̈ =
2g
sin ϕ
3R
で与えられる．この式の両辺に ϕ̇ をかけて，時間で積分すると，
1 2
2g
ϕ̇ = −
cos ϕ + C （C は積分定数）
2
3R
となる．円柱が点 C に接触した瞬間の角度 ϕ の値を ϕ0 とする（R cos ϕ0 = R − h）と，
このとき ϕ̇ = ω0 だから，
2g
1
cos ϕ0
C = ω02 +
2
3R
である．
円柱が段差を上りきるためには，ϕ = 0 のときに，ϕ̇2 > 0 でなければならない．この
条件より，
2g
>0
C−
3R
⇒
√
2R 3gh
v>
.
3R − 2h
6.4-3 下図左に示すように，x 軸と y 軸をとり，下図右に示すように，半球の傾きを
θ，半球の中心（断面の円の中心）から重心 G までの距離を c とする（c = 3R/8）．する
と，重心 G の座標 (X, Y ) は
X = Rθ − c sin θ,
Y = R − c cos θ
と表される．
y
c
G
R
θ
G
x
4
床から半球に作用する抗力の x 成分（摩擦力）を Fx ，y 成分（垂直抗力）を Fy とす
ると，重心の運動方程式は
M Ẍ = Fx ,
M Ÿ = Fy − M g
で与えられる．これらの方程式の左辺を θ を使って表し，θ が小さいと仮定して（微小振
動）θ の 1 次の項まで残すと，
M (R − c)θ̈ = Fx ,
0 = Fy − M g
(A6.1)
という関係が得られる．
重心のまわりの回転に関する運動方程式は
−I0 θ̈ = Fy c sin θ + Fx (R − c cos θ),
I0 =
83
M R2
320
で与えられる．θ が小さいとき，この式の右辺は M gcθ + Fx (R − c) と近似できる．ここ
で，式 (A6.1) を使って Fx と Fy を消去すると，
−I0 θ̈ = M gcθ + M (R − c)2 θ̈
これより，振動の周期 T は
⇒
θ̈ = −
15g
θ.
26R
√
T = 2π
26R
.
15g
6.5-1 毎秒 58 回転．
(
6.6-1 α = arccos
a−b
b
√
b2 − `2
a(a − 2b)
)
.
6.6-2 はしごに沿って，距離 a だけ登ったときに滑りはじめるとすると，
[ (
)
]
M
M
a = ` 2µ 1 +
cot θ −
.
m
m
ただし，2m/M < (2µ − tan θ)/(tan θ − µ) ならば，はしごを登り切るまで滑ることはない．
5

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