第5回講義小テスト (Bコース) 考え方

第5回講義小テスト (Bコース)
𝑥𝑦𝑧 空間上の原点を中心とし，𝑥𝑦 平面より 𝑧 軸正の方向にあ
る半径 1 の半球の重心 (図心) を求めたい．
(1) 微小部位として 𝑧 = 𝑧′ の高さで微小厚み 𝑑𝑧′ の水平な
円板を考えるとき，この円板の微小体積 𝑑𝑉 と重心座標
を求めよ．
(2) (1) の結果から, 積分の計算に
より半球の重心座標を求めよ．
※ 正解の値は教科書の表の通り．
※ 微小量 𝑑𝑧′ の二乗は無視する．
※ 今回は最終的な値を数値化しなくて
よい．
※ ググるのはカンニング扱い．
※ 複雑な計算では，我々は必ず間違う．
1
第5回講義小テスト (Bコース) 考え方
 物体上の微小部位を作り，これを元に重心を求める方法で
は，以下の手順を踏む．
 計算しやすい微小部位を設定し，その微小体積および
重心位置を求める．
 「(全体の重心位置)・(全体積) = (部分重心位置)・(部
分体積) の合計」から，全体の重心位置を求める．
 今回の微小部位は, 𝑧 = 𝑧 ′
の高さにある 𝑥𝑦 平面に
平行な円板 (厚み 𝑑𝑧′)．
 その半径は 1 − 𝑧′2 ．
 へりの傾き部分 (赤) の
体積は 𝑑𝑧′2 に比例  無視
2
第5回講義小テスト (Bコース) 解答例
(1) 微小部位として 𝑧 = 𝑧′ の高さで微小厚み 𝑑𝑧′ の水平な
円板を考えるとき，この円板の微小体積 𝑑𝑉 と重心座標
を求めよ．
円板の半径は図中の直角三角形に三平方の定理を適用し，
𝑟 = 1 − 𝑧′2 であるので，𝑑𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑑𝑧′ = 𝜋 1 − 𝑧′2 𝑑𝑧′．
その重心座標は， 0, 0, 𝑧 ′ T である．
3
第5回講義小テスト (Bコース) 解答例
(2) (1) の結果から積分の計算により半球の重心座標を求めよ．
4
3
1
2
2
3
半球の体積は 𝑉 = 𝜋13 ∙ = 𝜋.
対称性から半球の重心は 𝑧 軸上にあり，その 𝑧 座標は
𝑧𝐺 =
𝑧 ′ 𝑑𝑉
𝑉
=
1
𝑧′
0
2
∙ 𝜋 1 − 𝑧 ′ 𝑑𝑧′
𝑉
3
=
2
1
0
3
𝑧 − 𝑧′ 𝑑𝑧′ = .
8
′
3
4

Download Report