5月13日(水) 第3回講義③ 資料

計算機数学第３回目配布日時 2015 年 5 月 13 日
計算機数学講義 (第 3 回)
2015 年 5 月 13 日(水)
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講義室
応数計算機室(２０号館６階)
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講義室
・閏年（うるうどし）
ユリウス暦からグレゴオ暦へ
うるう年の変更
グレゴオ暦開始： 1582 年 10 月 4 日（木曜日）の翌日を、曜日を連続させながらも
10 日間を省いて、1582 年 10 月 15 日（金曜日）とすることを定
めた。
・・・つまり、10 日づれていた。
「うるう」に関すること
・うるう年
２月２９日が存在する
うるう年の 2 月 29 日に生まれた人の年齢
日本の法律では、生まれた日の前の日の歳をとるようになっている。
つまり 2 月 29 日生まれの人は 2 月 28 日に歳をとるというわけだ。そ
れは「年齢計算ニ関スル法律」により民法 143 条を適用するように記さ
れており、そこには次のように書かれている。
簡単に言うと、誕生日の前日、24 時に年齢が加算される。うるう年の人
は 2 月 28 日が前日なのでその日に必ず年齢が加算される。では 3 月 1
日生まれの人はどうなるのか？この場合はうるう年の場合は 2 月 29
日の 24 時に歳が加算され、平年の場合は 2 月 28 日に歳が加算される
ことになる。
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・秒の定義、うるう秒の存在
１日の長さ・・・１日＝２４時間＝２４×６０×６０秒
＝86 400 秒
これは太陽に対する地球の自転周期・・・平均太陽時と呼ばれる
LOD は実際の１日の長さ－86 400 秒で定義される。Length Of Day
LOD＝実際の１日の長さ－86 400 秒
地球の自転、つまり LOD に大きく影響してるのは、潮汐力と呼ばれる月との間
の重力相互作用であり、長期的にはこれにより徐々に遅くなっている。
微積の創始者・ニュートンやライプニッツなどにより解析された。
LOD は長期的な傾向として、100 年間（正確にはユリウス世紀 = 36 525 日）に
つき約 1.4 ミリ秒/日だけ長くなる。
秒の定義:セシウムから出る光１周期の 9,192,631,770 倍の継続時間
潮汐力などにより LOD は変動している。
現行の協定世界時は 1972 年より開始された、秒単位の精度となった。
2014 年の平均的な LOD は、86 400.001 秒程度。
秒でのずれが発生している。
これを補正するのが「うるう秒」である。
補正は１秒遅らすか、１秒早めるかがある。
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★26 回目の閏秒の挿入は、2015 年 7 月 1 日午前 9 時直前（日本時間）に行われる。
正の閏秒
今までに計 25 回実施された閏秒調整はいずれも、追加される 1 秒（正の閏秒）に
よる調整で、協定世界時で 6 月末日または 12 月末日に 1 秒が追加された。
実施日 23 時 59 分 59 秒の 1 秒後に、通常であれば存在しない 23 時 59 分 60 秒が
追加される。協定世界時を、23 時 59 分 60 秒台によって 1 秒、遅らせる仕組みであ
る。
実施例
UTC＝協定世界時
2005 年 12 月 31 日 23 時 59 分 59 秒 (UTC) の 1 秒後が、
2005 年 12 月 31 日 23 時 59 分 60 秒 (UTC)、ここで 1 秒追加されて次が
2006 年 1 月 1 日 0 時 0 分 0 秒 (UTC) となった。
負の閏秒
2012 年までに実施例は一度もないが、削除される 1 秒（負の閏秒）による調整方
法も次のように定められている。
実施日 23 時 59 分 58 秒の 1 秒後に通常なら毎日存在する 23 時 59 分 59 秒が削除
され、翌日 0 時 0 分 0 秒とされる。つまりは 23 時 59 分 59 秒台をとばして、協定世
界時を 1 秒進める仕組みである。
■ うるう秒の話は終了
マグニチュード 9 前後の巨大地震は、地球の自転に若干の影響を及ぼす。2004 年
のスマトラ島沖地震では、自転速度が速くなり、１日の長さが 6.8 マイクロ秒短くな
った。2011 年 3 月 11 日の東北地方太平洋沖地震でも１日の長さが 1.8 マイクロ秒短
くなった。
2011 年 3 月 11 日東北地方太平洋沖地震Ｍ９．０
2015 年 4 月 25 日ネパールでＭ７．８の地震
地震の大きさを E とし、マグニチュードを M とすると
l o10gE  4.8  1.5 M
の関係がある。
地震の大きさ E
は加法的で、大きさ E の比で測れる。
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つまり、マグニチュード M が１つ違うと大きさの比は
大きさの比
 101.5  31.622
となる。
比較
 101.5(97.8)  101.8  63.095
・西暦何年は平年かうるう年かの計算について
ユリウス暦では１年を３６５．２５日として計算を行っていた。
グレゴリオ暦では３６５.２４２５日として計算をしている。
うるう年の判定
「西暦年数が 4 で割り切れる年を閏年とし、さらに 100 で割り切れる年は平年
に戻し、400 で割り切れる年は再び閏年にする。」
西暦を変数
y で表す。
集合で考えてみる。
Ａ
４で割り切れる自然数の集合
Ｂ
１００で割り切れる自然数の集合
Ｃ
４００で割り切れる自然数の集合
西暦２０１５年は平年
西暦２０１６年
西暦２０２０年
西暦２０００年
西暦２１００年
A
B
C
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グレゴリオ暦はどうなるか？
実際の１太陽年は次のようになっている
１年＝365.242 198 781 25 日
余談：春分の日・秋分の日
祝日としての春分の日・秋分の日は、前年の 2 月 1 日に、春分の日・秋分の日の日
付が書かれた「暦要項（れきようこう）」が官報に掲載されることによって、正式決定
となります。例えば、2001 年 2 月 1 日の官報には、2002 年の春分の日・秋分の日が
書かれた暦要項が掲載されています。逆に、それより前には、春分の日・秋分の日は
「まだ正式には決まっていない」ということになります。
（ただし、行政機関の休日に
は官報が発行されませんので、2 月 1 日が該当する場合には翌日以降の掲載となりま
す。）
しかし、再来年以降の春分の日・秋分の日を知りたいとすると、暫定的なことは計
算できます。
日本の祝日を定めている「国民の祝日に関する法律」によれば、春分の日は「春分
日」、秋分の日は「秋分日」を採用するとされています。
「春分日」
「秋分日」というの
は天文学上の呼び名で、次のように定義されています。
太陽は星々の間を移動していて、その通り道を「黄道」といいます。また、地球の
赤道を天にまで延長したものを「天の赤道」といいます。黄道と天の赤道は、お互い
が傾いているために 2 点で交わり、その交点のうちの一方を「春分点」、もう一方を
「秋分点」と呼びます。そして、太陽が春分点・秋分点の上を通過する瞬間がそれぞ
れ「春分」
「秋分」と定義され、
「春分」
「秋分」を含む日のことを、それぞれ「春分日」
「秋分日」と呼ぶのです。
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うるう年が決まれば、カレンダーを作成出来る。
全ての年のカレンダーを作れば良いが、多量となる。
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除法の原理
２つの自然数 n および m ≠ 0 に対して、
ある自然数 a および b が存在して n = am + b (0 ≤ b < m) が成立する。
この自然数 a , b は唯一である。
【剰余計算】
数学的には
①
②
③
④
a m o nd
a を n で割った余り
余りが b なら、 a mod n  b
または、
a mod n  n
a  n なら a mod n  a
a  b mod n  ( (a mod n)  (b mod n) ) mod n
a b mod n  ( (a mod n) (b mod n) ) mod n
53 mod 4 の計算
例題
例題
53  (4  1)3
 13 mod 4
1
a  b mod n
7100 を 5 で割った余りを求めよ.
例題今日を水曜日とする.
10 6 日後は何曜日ですか？
実数の整数部分と小数部分
0
実数 a  R に対して
an  x
となる n  Z ,
0  x 1 ( x  R ) が唯一存在する。
実数 a の整数部分が n 、小数部分が x である。
ガウスの記号と床関数、天井関数

[ ]

ガウスの記号(日本だけ？)
[ a ] は、実数 a を越えない最大の整数
を表す。
a  は実数 a の切り捨て。ガウス記号と同じ。
天井関数 a  は実数 a の切り上げ。
床関数
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例
[ 2] 
 2  1
 2  2
[  ]     3
   4
[   ]       4
実数 a の整数部分は a 
    3
(ガウスの記号を使っても良い）、
小数部分は a  a  であり、 a mod 1 や  a  などと書く。
曜日計算ツェラーの公式
西暦 y 年
m月 d 日
0→日、1→月、2→火、3→水、4→木、5→金、6→土
計算例
２０１５年５月１３日の曜日？
 2015   2015   2015 
 4    100    400   503  20  5  488
13  5  8 
 73 



 5   14
5


 y   y   y  13m  8 



d
 y     
 mod 7  2530 mod 7  3





4
100
400
5
  
 
 




２０１４年５月７日は水曜日である。

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