88 89 x2 − 7x + 10 < 0 y = x2 − 2ax − a + 2 ( x − 2)( x − 5) < 0 ∴ y = x2 − 2ax + a2 − a2 − a + 2 ∴2<x<5 ∴ y = ( x − a)2 − a2 − a + 2 ( ) ∴ y − −a2 − a + 2 = ( x − a)2 よって, x = 3 or 4. x2 + (1 − a) x − a = 0 より ( ) よってグラフの頂点は a, −a2 − a + 2 . 題意より { a>0 −a2 − a + 2 > 0 x= −(1 − a) ± √ (1 − a)2 + 4a 2 √ a − 1 ± a2 + 2a + 1 = 2 a − 1 ± (a + 1) = 2 = a, −1 ······① ······② ②より −a2 − a + 2 > 0 よって a2 + a − 2 < 0 { (a + 2)(a − 1) < 0 x + (1 − a) x − a > 0 ⇔ 2 ∴ −2 < a < 1 · · · · · · ③ or x < a, −1 < x x < −1, a < x ······① ······② 整数解が 3 か 4 のどちらか 1 つになるのは②のときで,このとき整数解が 3 ①, ③より であれば条件を満たす a は存在しない.よって整数解が 4 で,a 5 x であ れば 0<a<1 3<a54 ②で a < x であるので,求める a の範囲は 35a<4 ↑ x = 3 は含まない 1 2 x − 3x = x ( ) ∴ − x2 − 3x = x 90 x2 − 3x = 0 より −x2 + 3x = x −x2 + 2x = 0 x( x − 3) = 0 x2 − 2x 5 0 ∴ x = 0, 3 x ( x − 2) 5 0 ∴ 0 5 x 5 2 ······④ i) x2 − 3x = 0 のとき ③, ④より x 5 0, 3 5 x · · · · · · ① 0<x52 2 x − 3x = x i), ii) より x 5 2, 4 5 x ∴ x2 − 3x = x x2 − 4x = 0 x( x − 4) = 0 ∴ x 5 0, 4 5 x · · · · · · ② ①, ②より x 5 0, 4 5 x ii) x2 − 3x < 0 のとき 0 < x < 3 ······③ 2 1 iii) a = − のとき (fig. 3) 2 ( ) 1 ymax = f − 2 72 改 a を定数として,2 次関数 y = −x2 + 2ax + 3 (−2 5 x 5 1) の最大値と最小 値を求めよ. = 解答 13 4 ymin = f (−2) = f (−1) y = −x2 + 2ax + 3 ( ) = − x2 − 2ax + 3 ( ) = − x2 − 2ax + a2 − a2 + 3 =1 iv) = − ( x − a ) 2 + a2 + 3 ( ) y − a2 + 3 = − ( x − a ) 2 1 5 a < 1 のとき (fig. 4) 2 ymax = f (a) = a2 + 3 ymin = f (−2) グラフは上に凸で,頂点は (a, a2 + 3),軸は x = a.−2 5 x 5 1 のとき, = −4a − 1 f ( x) = −x2 + 2ax + 3 の最大値を ymax ,最小値を ymin とすると, i) a < −2 のとき (fig. 1) v) 1 < a のとき (fig. 5) ymax = f (1) ymax = f (−2) = −4a − 1 = 2a + 2 ymin = f (−2) ymin = f (1) = −4a − 1 = 2a + 2 1 ii) −2 5 a < − のとき (fig. 2) 2 ymax = f (a) = a2 + 3 ymin = f (1) = 2a + 2 3 fig. 1 fig. 2 fig. 3 fig. 4 fig. 5 4
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