a 2

88
89
x2 − 7x + 10 < 0
y = x2 − 2ax − a + 2
( x − 2)( x − 5) < 0
∴ y = x2 − 2ax + a2 − a2 − a + 2
∴2<x<5
∴ y = ( x − a)2 − a2 − a + 2
(
)
∴ y − −a2 − a + 2 = ( x − a)2
よって， x = 3 or 4．
x2 + (1 − a) x − a = 0 より
(
)
よってグラフの頂点は a, −a2 − a + 2 ．
題意より
{
a>0
−a2 − a + 2 > 0
x=
−(1 − a) ±
√
(1 − a)2 + 4a
2
√
a − 1 ± a2 + 2a + 1
=
2
a − 1 ± (a + 1)
=
2
= a, −1
······①
······②
②より
−a2 − a + 2 > 0
よって
a2 + a − 2 < 0
{
(a + 2)(a − 1) < 0
x + (1 − a) x − a > 0 ⇔
2
∴ −2 < a < 1 · · · · · · ③
or
x < a, −1 < x
x < −1, a < x
······①
······②
整数解が 3 か 4 のどちらか 1 つになるのは②のときで，このとき整数解が 3
①, ③より
であれば条件を満たす a は存在しない．よって整数解が 4 で，a 5 x であ
れば
0<a<1
3<a54
②で a < x であるので，求める a の範囲は
35a<4
↑
x = 3 は含まない
1
2
x − 3x = x
(
)
∴ − x2 − 3x = x
90
x2 − 3x = 0 より
−x2 + 3x = x
−x2 + 2x = 0
x( x − 3) = 0
x2 − 2x 5 0
∴ x = 0, 3
x ( x − 2) 5 0
∴ 0 5 x 5 2 ······④
i) x2 − 3x = 0 のとき
③, ④より
x 5 0, 3 5 x · · · · · · ①
0<x52
2
x − 3x = x
i), ii) より
x 5 2, 4 5 x
∴ x2 − 3x = x
x2 − 4x = 0
x( x − 4) = 0
∴ x 5 0, 4 5 x · · · · · · ②
①, ②より
x 5 0, 4 5 x
ii) x2 − 3x < 0 のとき
0 < x < 3 ······③
2
1
iii) a = − のとき (fig. 3)
2
( )
1
ymax = f −
2
72 改
a を定数として，2 次関数 y = −x2 + 2ax + 3 (−2 5 x 5 1) の最大値と最小
値を求めよ．
=
解答
13
4
ymin = f (−2) = f (−1)
y = −x2 + 2ax + 3
(
)
= − x2 − 2ax + 3
(
)
= − x2 − 2ax + a2 − a2 + 3
=1
iv)
= − ( x − a ) 2 + a2 + 3
(
)
y − a2 + 3 = − ( x − a ) 2
1
5 a < 1 のとき (fig. 4)
2
ymax = f (a)
= a2 + 3
ymin = f (−2)
グラフは上に凸で，頂点は (a, a2 + 3)，軸は x = a．−2 5 x 5 1 のとき，
= −4a − 1
f ( x) = −x2 + 2ax + 3 の最大値を ymax ，最小値を ymin とすると，
i) a < −2 のとき (fig. 1)
v) 1 < a のとき (fig. 5)
ymax = f (1)
ymax = f (−2)
= −4a − 1
= 2a + 2
ymin = f (−2)
ymin = f (1)
= −4a − 1
= 2a + 2
1
ii) −2 5 a < − のとき (fig. 2)
2
ymax = f (a)
= a2 + 3
ymin = f (1)
= 2a + 2
3
fig. 1 fig. 2 fig. 3
fig. 4 fig. 5
4

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