4/10 - 長岡技術科学大学電気系杉田研究室

20150410
信号理論基礎
ガイダンス＋α
H27.4.10_(NO1)
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担当教員紹介
• 杉田泰則
居室：電気１号棟５０３室，内線番号：９５１９
「前半（本日～８回目まで）を担当」
情報通信制御システム工学コース
• 岩橋政宏先生
居室：電気１号棟５１０室，内線番号：９５２０
「後半（９回目～）を担当」
情報通信制御システム工学コース
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講義の内容・目的
～シラバスから抜粋～
【授業目的】
フーリエ級数展開とフーリエ変換を中心とする直交関数
展開について学習し、線形時間不変システムにおける信
号の解析手法ならびにその応用について理解を深める。
【達成目標】
1. フーリエ級数展開の定義を理解し、代表的な信号波形
を展開できる．
2. フーリエ級数展開の性質を理解し、その応用について
計算ができる．
3. フーリエ変換の定義を理解し、代表的な信号波形を変
換できる．
4. フーリエ変換の性質を理解し、その応用について説明
ができる．
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～シラバスから抜粋～
授業項目と評価について
【授業項目】
01
02～03
04～05
06～07
08
09～10
11～12
13～14
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周期関数のフーリエ級数展開
正規直交基底、複素フーリエ級数
畳み込み、パーセバルの定理、最小二乗近似
デルタ関数とその性質
復習及び中間試験（1～7週の内容） 6/5予定
（場所は未定）
フーリエ変換とその性質
パワースペクトルと相関関数
線形システム、情報通信、信号処理への応用
期末試験？（9～14週の内容）
確認及び復習
【評価方法】
達成目標に掲げた項目について，中間試験（50点満点）お
よび期末試験（50点満点）により成績を評価する．なお，合
計が６０点に満たない者には、受講状況によっては，別途
試験を課す場合がある．
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教科書について
工学基礎演習シリーズ１
「フーリエ解析」
Ｈ．Ｐ．スウ著佐藤平八訳森北出版
（３２００円＋税）
売店で購入可能
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入門者向け参考書（そこそこおすすめ）
○ 「フーリエ解析」
大石進一著，岩波書店
○ 「なっとくするフーリエ変換」
小暮陽三著，講談社
6
異色?の参考書(概略だけなら良くわかる）
○ 「マンガでわかるフーリエ解析」
渋谷道雄著，オーム社
○ 「フーリエの冒険」
ヒッポファミリークラブ
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授業の位置づけ
３年生の専門科目
ここ
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フーリエ解析の意義
＊＊電気電子情報工学課程＊＊
電気エネルギーシステム・制御工学
電気 ☆ 制御理論 ☆ 電力・回路
☆ プラズマ．．．
電子デバイス・フォトニクス工学
電子
 量子力学 ☆ 光
 波動．．．
情報通信制御システム工学
情報
☆ 信号処理・解析 ☆ 画像・映像
☆音声・音響 ☆ 脳波解析．．．
キーワード：周波数，スペクトル
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プラズマの温度
太陽の表面温度は？
およそ６０００℃
蛍光灯の温度は？
およそ１００００℃
どうやって計るの？
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分解された光
⇒ スペクトル
分光法（ぶんこうほう、spectroscopy）とは、物理的観測量の強
度を周波数、エネルギー、時間などの関数として示すことで、
対象物の定性・定量あるいは物性を調べる科学的手法。
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フーリエ変換赤外分光法：
分子の振動による赤外線吸収を測定することで、分子
構造の情報を得る手法
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フーリエ解析の大まかな分類
連続時間信号
 フーリエ級数展開 ⇒ 周期関数
 フーリエ変換 ⇒ 非周期関数
 離散フーリエ変換
（DFT: Ｄiscrete Ｆourier Ｔransform）
 高速フーリエ変換
離散時間信号
（ＦＦＴ: Fast Fourier Transform ）
講義（前半）のキーワード：
 周期関数：正弦波（sin, cos），e, オイラーの公式
 正規直交関数系：直交性，内積，距離（ノルム）
 周波数：時間領域，周波数領域
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この講義（９０分）の使い方（前半）
① たまに「小テスト（確認テスト）」をします：１０分程度
② ６０分くらい，講義っぽいことをします
スライドと板書を併用 ⇒ 頑張って書き写して下さい
＊原則、スライド資料は配付しません
③ 残りの時間で演習問題を解いてもらいます
④ 宿題も結構出します
＊＊単位の計算方法＊＊
• 講義：１時限/週×１５週で２単位
（１時限毎に４時間の予習復習が必要）
実際は「１時限＝９０分」であるが，教務上は「１時限＝２時間」
として計算：４５時間の学習＝１単位：
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では，早速授業！
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フーリエ
（フランス：１７６８～１８３０，ナポレオンの時代）
＜熱伝導の方程式を解くため＞
1807年：「任意の周期関数は三角関数によって
級数展開できる」というフーリエ級数を提案．
（論文として提出したけれど．．．「Reject」される）
（審査員：ラプラス，ラグランジュら）
a0 ∞
f (t ) = + ∑ {an cos(nω0t ) + bn sin( nω0t )}
2 n =1
1
ω0 = 2πf 0 , f 0 =
T0
＊級数：（無限）数列の和の形で表現
ジャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ
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フーリエ級数展開の特徴
 テイラー(Taylor)級数展開，マクローリン展開など：
f ′(a )
f ′′(a )
f (t ) = f (a ) +
(t − a ) +
(t − a ) 2 + 
1!
2!
⇒ 微分が必要なので，不連続関数に適用できない．
 フーリエ級数展開
a0 ∞
f (t ) = + ∑ {an cos(nω0t ) + bn sin( nω0t )}
2 n =1
⇒ 微分が不要なので，不連続関数に適用できる．
ただし，周期関数が対象．
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寺田寅彦の尺八
「なっとくするフーリエ変換」より引用
一見複雑そうな信号も
sin, cosの重ね合わせ
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寺田寅彦の尺八
「なっとくするフーリエ変換」より引用
（振幅スペクトル）
周波数
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オーディオグラフィックイコライザー
大きい
低い
高い
小さい
周波数 frequency
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画像も三角関数でできている？？
ω2
直
流
ω1
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画像も三角関数でできている？
ω2
ω1
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フーリエ解析とは？
性質の良く分からない複雑な信号（関数）を周波数成分に
分解して簡単に記述し、何かに応用すること
（時間領域）
（周波数領域）
周波数
複雑な信号を成分（周波数）毎に分解し，
その大小に従って配列したものを振幅スペクトル（あるいは単にス
ペクトル：spectrum）と呼ぶ。
*** フーリエ解析の応用分野 ***
〇音や光、振動、画像、脳波、材料の解析などなど
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