R で統計学を学ぶ(3)の課題の解答課題 3-1 前項で例に出した「身長データ」を用いて、母集団の分散と標準偏差を点推定した値を求めよ。またそれに用いた R の関数をあわせて答えよ。答: 身長 <- c(165.2, 175.9, 161.7, 174.2, 172.1, 163.3, 170.6, 168.4, 171.3) 母集団の分散は標本の不偏分散、標準偏差は不偏分散の平方根で点推定する： > var (身長) [1] 24.04611 > sd(身長) [1] 4.903683 よって、分散はおよそ 24.05、標準偏差は 4.9 である。課題 3-2 標本分布を求めるの項目では n=10 の標本を 10000 個作り、その標本平均を求めた。この課題では n=100 として 10000 個の標本平均を求めてみよう。そして n=10 の場合のヒストグラムと n=100 の場合のヒストグラムを比較し、標準誤差が小さくなっていることを確かめてみよ。答: ヒントに従い、SampleAverage10 と SampleAverage100 にそれぞれ n=10 と n=100 のときの標本平均をいれてみよう: # 推定値を格納する場所を予約 SampleAverage10 <- numeric(length=10000) for( i in 1:10000 ){ # 括弧の中を 10000 回処理する標本 <- rnorm(n=10,mean=50,sd=10) # 正規分布に基づく標本を生成 SampleAverage10 [i] <- mean(標本) # 標本平均を計算 } SampleAverage100 <- numeric(length=10000) for( i in 1:10000 ){ 標本 <- rnorm(n=100,mean=50,sd=10) SampleAverage100 [i] <- mean(標本) # 推定値を格納する場所を予約 # 括弧の中を 10000 回処理する # 正規分布に基づく標本を生成 # 標本平均を計算 } hist(SampleAverage10, col="yellow", xlim=c(35, 65), ylim=c(0,2500)) 方を黄色で表示 # n=10 の # ヒストグラム同士を重ねあわせ表示する par(new=T) hist(SampleAverage100, col="green", xlim=c(35, 65), ylim=c(0,2500)) # n=100 の方を緑色で表示こうして得られた図が下。ヒントにある図と似た者が得られた（必ずしも一致しないのは乱数を用いているため）。この図から、n の値(サンプルサイズ)が大きくなれば、分散（値の散らばり）が小さくなることが見て取れる。なお、図の x 軸とタイトルの字の見苦しさは勉強して直せるようにしておこう。 1500 1000 500 0 Frequency 2000 2500 Histogram of SampleAverage100 SampleAverage10 35 40 45 50 55 SampleAverage10 SampleAverage100 60 65