root:<2015/5/15>(16:25) 3/270 はじめに本書の目的は，閉リーマン面のもつ解析的，代数的，幾何学的な性質およびそれらの相互関係を，多くの予備知識を仮定せずに解説することにある．より具体的には，閉リーマン面の正則同型類がそのヤコビ多様体とテータ因子との組によって決定されるというトレリの定理を示すことを目標とする．解析関数または正則関数と呼ばれる関数は，集合論における写像や関数とは異なった趣を呈する特異な存在である．関数や写像には普通は定義域と呼ばれる集合があって，その点を別の集合に写す規則として定義される．一方，解析関数（すなわち，べき級数展開可能な関数）に対しては一致の定理が成り立つから，解析接続を通して「定義域」を拡張していくことができる．最初のべき級数の中心を始点および終点とする曲線に沿って解析接続を続けていって元の点に戻れば，一般には当初のべき級数とは異なる級数に姿を変え，いわゆる多価関数が生じる．これはもはや集合論に言う写像ではない．「定義域の 1 点に対して値域の 1 点を対応させる」という規則を守っていないからである．同時にこのことは，複素平面（あるいはその一部）が正則関数が存在する場所として必ずしも相応しいものではないことを，正則関数自らが主張しているとも考えられる．リーマン (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826–1866) は学位論文 “Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Inaugural dissertation, Göttingen (1851)” において，多価正則関数（とりわけ代数関数）が存在する領域としてリーマン面を導入した．それは現在の用語で表現すればリーマン球面の分岐被覆面に他ならない．彼の理論の真価は，後に発表されたアーベル関数に関する論文において遺憾なく発揮されるが，大きな賞賛と同時に批判にも晒されることになる．クライン (Christian Felix Klein, 1849–1925) はエルランゲン・プログラムの観点から kbdbook6a<2014/08/08>: pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0): リーマン面と代数曲線 root:<2015/5/15>(16:25) 4/270 はじめに ii リーマン面を捉え直し，単に多価関数を表現する簡便な方法としてではなく，リーマン面そのものを微分幾何学的な対象と位置づけた．ワイエルシュトラス (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815–1897) からは採用した手法（ディリクレの原理）の不備を指摘される．批判は改善を生み，曲折を経たリーマンの理論はより一層洗練され，確固たるものになっていった．最終的にワイル (Claus Hugo Hermann Weyl, 1885–1955) が著書 “Die Idee der Riemannschen Fläche. Berlin (1923)” において，リーマン面を現代風に定式化するのである．現在では，閉リーマン面は 1 次元複素多様体であり，射影代数曲線であると認識されている．したがって，複素多様体論や代数幾何学の一般論に基づいて，調和積分論を始めとする 20 世紀に整備された様々な道具を駆使してリーマン面の理論を再構築することが可能である．学部 3 年までに習う程度の解析，幾何，代数の基礎知識をもった読者を想定しつつ，本書も基本的にはこの線に沿って書かれている．しかし，現代の複素多様体論や代数幾何学において最も有用と思われる層と層係数コホモロジーについては，敢えて使用を避けた．もちろんこれらはいったん導入すれば非常に便利かつ強力な道具なのだが，詳述するにはそれなりの紙数が必要になるし，初学者がそれに慣れるためには相当な時間と労力を要すると考えたからである．これを代償として支払うことによって，より多くの話題に触れることができたとは思うが，どちらがよかったかは読者の判断を待たねばならない．層係数コホモロジーを基礎にした教科書は数多くあるので，例えば巻末の参考文献にある成書を参照されたい．とはいえ，記号の対応を明らかにするためにも全く無視するわけにはいかないので，付録 D にコホモロジーを用いたリーマン・ロッホの定理の証明概略を与えた．リーマン面の理論において最初の，そして最も重要な到達点は有理型関数の存在定理である．代数幾何学的に代数曲線として扱ってしまえば，最初から沢山の有理（型）関数が与えられるので，この肝心の部分が見えなくなってしまう．本書で結果的に，代数曲線としての記述よりも解析的な閉リーマン面としての立場を優先しているのは，まさにこのためである．現在では層係数コホモロジーを用いてリーマン・ロッホの定理を先に証明し，その系として有理型関数の存在を示すやり方が一般的になっているようだが，ここではより原初的な kbdbook6a<2014/08/08>: pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0): リーマン面と代数曲線 root:<2015/5/15>(16:25) 5/270 はじめに iii アプローチをとる．このようにして，まず非定数有理型関数の存在を示し，それを起点としてリーマン・ロッホの定理，アーベルの定理，ヤコビの逆問題を論じ，自己同型群に関するフルヴィッツの定理や周期写像の単射性を主張するトレリの定理に至る．また，1 変数代数関数体，閉リーマン面，非特異射影曲線の「三位一体」も一方の主題である．閉リーマン面の複素射影空間への埋め込みについては，カステルヌオーヴォー理論を含めて詳しく述べた．しかし，他方でリーマン面の一意化定理，楕円積分論など触れられなかった重要事項もたくさんある．それどころか，本書で扱った内容は膨大なリーマン面の理論のほんの一端に過ぎない．興味ある読者諸氏は，解析関数の神秘な世界をさらに深く探求されるように！ 2015 年 1 月待兼山にて今野一宏 kbdbook6a<2014/08/08>: pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0): リーマン面と代数曲線