２０１５年度後期 数理情報学９ （木曜２限） 講義の予定： 担当：金森 敬文 ([email protected]) http://www.math.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~kanamori/suuri9.html ✓ • 数理統計学の理解を深める 目標 ✏ • （時間があれば） 統計解析言語Ｒを用いて，データ解析の手法 を学ぶ ✒ ✑ • 数理情報学５ (確率) の講義内容は既知とする． • 講義に関する情報はウェブページ上でアナウンスする． 配布資料はウェブページに置いておく． • オフィス・アワー：木曜１２：００∼１３：００（情科棟３階３１３） 10/01： 10/08： 10/15： 10/22： 10/29： 11/05： 11/12： 11/19： 11/26： 12/03： 12/10： 12/17： 12/19： 12/24： 12/25： 01/14： 01/21： ??/??： ガイダンス，確率論の復習 休講 休講 統計的推定：統計的推測，不偏推定量 統計的推定：平均 2 乗誤差，クラメール・ラオの不等式 統計的推定：クラメール・ラオの不等式の応用 休講 統計的推定：最尤推定量 休講 信頼区間：パーセント点，期待値の信頼区間１ 休講 信頼区間：期待値の信頼区間２ (予備日：2 限@SIS2) 信頼区間：ブートストラップ信頼区間 仮説検定：検定の考え方 (予備日：2 限@SIS2) 仮説検定： 両側検定，片側検定 回帰分析：最小２乗法 回帰分析：信頼区間，検定 試験 1/44 • 成績について： ∗ レポート課題 の成績と期末試験 の結果を総合して評価する． レポート課題は３，４週に１回のペースで出題する予定． ∗ 講義アンケートを堤出すれば出席点を付けることがある． ∗ 試験：レポート = ６：４∼７：３ • レポート課題について： ∗ 他の人と議論することは大いに推奨するが，レポートは自力で 書くこと． ∗ 他のレポートと酷似している場合（写した・写させたを問わず）， 該当する全てのレポートを０点とする． ∗ レポート堤出期限より前に情科棟３階３１３に堤出しても よい． ∗ レポート堤出期限を過ぎたレポートは受理しない． 3/44 2/44 • 教科書は指定しない．講義時にプリントを配布する． • 参考文献： ∗ 本講義の内容を理解する上で参考になる本 ∗ 統計技法（工系数学講座 14），宮川雅巳，共立出版 ∗ 確率と統計，藤澤洋徳，朝倉書店 ∗ 統計解析言語 Ｒ ∗ 書籍：工学のためのデータサイエンス入門， 数理工学社 ∗ 以下のウェブサイト．“R-Tips” で検索． http://cse.naro.affrc.go.jp/takezawa/r-tips/r2.html 4/44 今日 (10/1) のレポート課題 統計学（statistics）とは？ • この資料の最後にある演習問題 (1∼12) から３題 (以上) 選んで 解く． • 堤出期限：10/22(木) の講義時． • データから有用な情報を取り出す技術． データの生成過程は複雑 =⇒ 確率的に取り扱う • 大きく分けて，推定と検定の２つの手法がある： ∗ 推定：観測されたデータから，背後にある (確率的) 法則を推論， 将来の予測に役立てる． 例 1. 迷惑メールの文章パターンを確率的に解析．将来のメールの仕分け． ∗ 検定：設定された仮説が正しいかどうか，データに基づいて 判断する． 例 2. 喫煙と肺ガンに相関関係はあるか？ 5/44 6/44 標本空間・データ 統計学の目標：観測されたデータから，母集団について推論する • 標本空間 Ω：観測する可能性のある事柄全体の集合． 例：コイン投げのとき，Ω = {H, T} (Head, Tail)． 観測 • 確率空間 (Ω, Pr)：標本空間 Ω と確率 Pr の組．（σ-加法族 B は省略） ∗ 確率的に「出現しやすい事柄」と「出現しにくい事柄」がある． ∗ 統計では確率空間を「母集団」とも言う． • 確率変数：標本空間 Ω に値をとる変数 X（通常は大文字で書く） 例：Ω = {H, T} のとき，公正なコインなら 母集団 データ (確率空間) 推論 Pr(X = H) = 1/2, Pr(X = T) = 1/2． • データ：確率変数の「実現値」．実際に得られた観測値． 7/44 8/44 確率の公理 例 3 (サイコロの例). サイコロを２回振る．１回目に X1，２回目に X2 が出るとき， X = (X1, X2) の確率空間を (Ω, Pr) とする． • 確率の公理 1. 事象 A ⊂ Ω に対して 0 ≤ Pr(X ∈ A) ≤ 1． 確率の公理から以下が成り立つ． 2. 全事象 Ω の確率は 1．Pr(X ∈ Ω) = 1 Ω 3. 互いに排反な事象 Ai, i = 1, 2, 3, . . . に対して ! Pr X ∈ " i # Ai = $ i Pr(X ∈ Ai). (要素数は 36). Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3) . . . , (6, 6)}, A1 A2 Pr(X ∈ Ω) = 1, Pr(X ∈ {(1, 2), (2, 3)}) = Pr(X = (1, 2)) + Pr(X = (2, 3)). A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} とすると Pr(X ∈ A) はサイコロを２回振って同じ目が出る確率． 公平なサイコロなら Pr(X ∈ A) = 1/6. （互いに排反： i ̸= j に対して Ai ∩ Aj = φ） （ 簡単のため Pr(X ∈ A) を Pr(A) と表すこともある ） 9/44 確率の計算 10/44 連続値をとる確率変数：確率密度関数 • Rn に値をとる確率変数 X ： Ω = Rn． X が確率密度 p(x) の分布にしたがう % 定義 ⇐⇒ Pr(X ∈ A) = p(x)dx, A ⊂ Ω. 公理（だけ）から確認できる • Pr(A) + Pr(Ac) = 1, Ac : A の補集合 A • 確率密度関数 p(x) の性質 • 単調性： A ⊂ B ⊂ Ω =⇒ Pr(A) ≤ Pr(B)． A ⊂ B のとき B = A ∪ (B ∩ Ac) （互いに排反）． ∴ Pr(B) = Pr(A) + Pr(B ∩ Ac) ≥ Pr(A). (i) ∀x ∈ Ω, p(x) ≥ 0 (ii) % p(x)dx = 1 Ω （確率密度関数を確率密度，密度関数，密度と言うこともある） • 加法定理： Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B)． • サイコロのような離散値をとる確率変数の場合：積分を和にする． $ p(x) = 1/6 (x = 1, . . . , 6), Pr(X ∈ A) = p(x). x∈A （離散のとき p(x) を確率関数とよぶこともある） 11/44 12/44 例：正規分布 分布関数 確率変数 X が 1 次元正規分布にしたがう： % b (x−µ)2 1 − √ Pr(a ≤ X ≤ b) = e 2σ2 dx, 2πσ 2 a 確率変数 X が確率密度 p(x) の分布にしたがうとする． • X の分布関数 F (x) の定義： (Ω = R) 定義 このとき X ∼ N (µ, σ ) と表す． 2 0.4 F (z) = Pr(X ≤ z) = z p(x)dx. −∞ 0.2 0.3 • 両辺を微分すると d F (x) = p(x) dx 0.0 0.1 density % −3 −2 −1 0 1 2 つまり「分布関数の微分」=「確率密度」 (連続変数の場合) 3 X ∼ N (0, 1), " の面積 = Pr(1 ≤ X ≤ 2) 13/44 例 4. 確率変数 X の密度関数を pX (x) とする．定数 a ̸= 0, b に対 して Z = aX + b の密度関数 pZ (z) は ' & 1 z−b pZ (z) = pX |a| a となる．これは分布関数を用いて以下のように計算できる． X の分布関数を FX (x)，Z の分布関数を FZ (z) とする．a > 0 のとき FZ (z) = Pr(Z ≤ z) = Pr(aX + b ≤ z) & ' z−b = FX ((z − b)/a). = Pr X ≤ a & ' d 1 z−b ′ よって pZ (z) = FZ (z) = FX ((z − b)/a)/a = pX ． dz a a 14/44 例 5. X ∼ N (0, 1) のとき Z = X 2 の密度関数を求める． √ √ F (z) = Pr{X 2 ≤ z} = Pr{− z ≤ X ≤ z} % √z 2 1 = √ √ e−x /2dx 2π − z % √z 2 1 √ e−x /2dx. =2 2π 0 d 2 d√ e−z/2 F (z) = √ e−z/2 z=√ (z > 0) dx dz 2π 2πz a < 0 の場合も同様． 15/44 16/44 期待値・分散 • Ω = R のとき X の分散： X のバラツキの大きさ % 定義 V (X) = E[(X − E(X))2] = (x − E(X))2p(x)dx Ω X の確率密度を p(x) とする． 期待値からのズレ X − E(X) の大きさを２乗で測っている． • Ω = R のとき X の期待値： X が取り得る値の真ん中 % 定義 E(X) = x p(x)dx 例：正規分布について X ∼ N (µ, σ 2) のとき E(X) = µ, V (X) = σ 2 が成立 Ω 200 200 samples from normal dist. 150 ∗ E[X] と書くこともある． $ ∗ 離散確率変数のときには E(X) = x p(x)． (p(x) は確率関数 ) （証明は略） g(x)p(x)dx からのサンプル 50 % Ω 0 • 関数 g(X) の期待値は E(g(X)) = 期待値 0, 分散 1 の正規分布 N (0, 1) 100 x∈Ω 4 2 0 2 4 17/44 期待値・分散の公式 18/44 多次元の確率分布 • ２つ以上の確率変数の関係を調べることは重要 a, b ∈ R とする．確率変数 X に対して次が成立： ∗ A 社の株価と B 社の株価の関係 ∗ 医療検査の結果と，病気に罹患しているかどうかの関係 E[aX + b] = aE[X] + b V [aX + b] = a2V [X] • ２つの確率変数 X, Y が密度関数 p(x, y) の 同時確率分布に したがう： 分散の別の表現： V (X) = E(X 2) − (E(X))2 Pr(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = p(x, y)：密度関数 p(x, y) ≥ 0, 19/44 %% R2 % b% a d p(x, y)dydx c p(x, y)dydx = 1, (Ω = R2)． 20/44 • 周辺確率密度関数 pX (x) = % p(x, y)dy, R pY (y) = % 独立性 X, Y の密度関数 p(x, y) p(x, y)dx R • X と Y は 独立： p(x, y) = pX (x)pY (y) が成り立つこと pX (x) は (X, Y ) の X だけを見たときの密度関数． % b % Pr(a ≤ X ≤ b) = dx dy p(x, y) 「X と Y の間に関連がない」ということ． R a • 離散確率変数のときも同様． p(x, y) = pX (x)pY (y) が成立 • 離散値をとる確率変数の場合には，積分を和にする： $ $ ∗ Pr(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = p(x, y) ∗ Pr(X = a) = $ a≤x≤b c≤y≤d 例 6. ２つのサイコロの目を (X, Y ) とする．X, Y は独立と仮定 すると Pr(X = 1, Y = 2) = 1/6 × 1/6 = 1/36. p(a, y) y:(a,y)∈Ω 21/44 ✓ 22/44 ✏ R-code （#・・・はコメントなので入力する必要なし） > x <- rnorm(100,mean=1,sd=2); y <- rnorm(100) > plot(x,y) # x と y は独立 > plot(x,x+y) # x と x+y は独立でない． ✒ x1, . . . , x100 ∼i .i .d . N (1, 22), ✑ R コンソールでの入力 (mac 版) y1, . . . , y100 ∼i .i .d . N (0, 1) (xi, xi + yi) のプロット x+y y 0 -2 -1 -4 -2 -2 0 2 x 23/44 0 2 1 4 2 6 (xi, yi) のプロット 4 6 -2 0 2 4 6 x 24/44 独立性と期待値・分散 2. の証明： 重要：X と Y が独立のときに成り立つ公式 ✓ ✏ 1. E(XY ) = E(X)E(Y ) 2. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) ✒ 1. の証明： E[XY ] = = % % ✑ % xyp(x, y)dxdy = xypX (x)pY (y)dxdy % xpX (x)dx ypY (y)dy = E[X]E[Y ] V (X + Y ) % = (x + y − E(X) − E(Y ))2p(x, y)dxdy % % 2 = (x − E[X]) p(x, y)dxdy + (y − E[Y ])2p(x, y)dxdy % + 2 (x − E[X])(y − E[Y ])p(x, y)dxdy % % 2 = (x − E[X]) pX (x)dx + (y − E[Y ])2pY (y)dy % % + 2 (x − E[X])pX (x)dx (y − E[Y ])pY (y)dy (最後の項は独立性 p(x, y) = pX (x)pY (y) から導かれる) (最後の項が 0) = V (X) + V (Y ) 25/44 注意：次式はいつでも（独立でなくても）成立する： 26/44 多次元確率変数の密度関数 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). % (x + y)p(x, y)dxdy = % % x p(x, y)dxdy + y p(x, y)dxdy % % = xpX (x)dx + ypY (y)dy n 個の確率変数：X1, X2, . . . , Xn．集合 A ⊂ Ω ⊂ Rn (X1, X2, . . . , Xn) が集合 A に含まれる確率の計算： % Pr((X1, . . . , Xn) ∈ A) = p(x1, . . . , xn)dx1, . . . , xn 簡単のため積分を ! A p(x)dx と書くこともある A • 確率密度関数：p(x1, . . . , xn) ≥ 0, 27/44 % p(x)dx = 1． Ω 28/44 ✓ 独立性，独立同一分布 > > > > > > n 個の確率変数：X1, X2, . . . , Xn． • X1, . . . , Xn が独立 ⇐⇒ 同時密度関数が積に分解 ✒ p(x1, . . . , xn) = q1(x1)q2(x2) · · · qn(xn) R-code # x,y は 正規分布．独立同一 x <- rnorm(300); y <- rnorm(300) plot(x,y, xlim=c(-0.1, 1.1), ylim=c(-0.1, 1.1)) # x は正規分布, y は正規分布を２つ混ぜた分布．独立だが同一でない x <- runif(300); y <- c(rnorm(100,mean=3),rnorm(200,mean=-2)) plot(x,y) X, Y が独立同一の分布にしたがう X, Y は独立な分布にしたがう • X1, . . . , Xn が独立に同一の分布にしたがう： p(x1, . . . , xn) = q(x1)q(x2) · · · q(xn), (q = q1 = · · · = qn) 29/44 30/44 • X1, . . . , Xn が独立に同一の分布 P にしたがうとき： X 1 , . . . , X n ∼ i .i .d . P と書く X1, . . . , Xn が独立のとき以下が成り立つ： 例：X1, . . . , Xn∼i .i .d .N (0, 1)． E(X1X2 · · · Xn) = E(X1)E(X2) · · · E(Xn) V (X1 + X2 + · · · + Xn) = V (X1) + V (X2) + · · · + V (Xn) このとき．X1, . . . , Xn の期待値や分散は全て等しい： E[X1] = · · · = E[Xn], note: n = 2 のときの一般化． V [X1] = · · · = V [Xn]. 例 7. X, Y ∼i .i .d .N (0, 1) のとき (X, Y ) の同時密度は 2 2 2 2 1 1 1 p(x, y) = √ e−x /2 × √ e−y /2 = e−(x +y )/2. 2π 2π 2π 31/44 32/44 ✏ ✑ 正規分布と独立性 補足１：大数の法則 • a, b (a ̸= 0) を定数とすると X1, . . . , Xn ∼i .i .d . P として E(Xi) = µ とおく． X ∼ N (µ, σ 2) =⇒ aX + b ∼ N (aµ + b, a2σ 2) • X, Y は独立で X ∼ N (µ1, σ12), Y ∼ N (µ2, σ22) のとき X + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ12 + σ22) ∀ε > 0, lim Pr(|X̄n − µ| > ε) = 0. n→∞ ∗ 意味：n が十分大きいと，高い確率で X̄n は µ にほぼ等しい． したがって X1, . . . , Xn ∼i .i .d . N (µ, σ 2) のとき n が大きくなると n $ ∗ これを X̄n −→ µ と書き「X̄n が µ に確率収束する」という． p ! σ2 # 1 Xi ∼ N µ, n i=1 n 1 n (n i=1 Xi n 1$ • 大数の法則：X̄n = Xi とすると n i=1 定義 の分散が小さくなる note: 上の関係式は積率母関数を用いて証明できる． 33/44 例 8 (大数の法則の例). 表の確率が 0.7 のコイン． n 回振って表が出た割合をプロット p p p Zn −→ c =⇒ average 0.7 0.8 一般に，関数 f : R → R が定数 c で連続のとき，確率変数列 Zn, n = 1, 2, . . . , に対して Law of Large Numbers 1.0 X̄n −→ µ ならば f (X̄n) −→ f (µ) が成り立つ． 0.9 • f (x) を連続関数とするとき，普通の極限と類似の関係： 34/44 p f (Zn) −→ f (c) 0.5 0.6 が成り立つ (スラツキー (Slutsky) の公式)． 35/44 0 200 400 n 600 800 36/44 例 9. コインを n 回振る．k 回目が表なら Xk = 1，裏なら Xk = 0 (n とすると n 回のうち k=1 Xk 回表が出ることになる．X1, . . . , Xn は独立とする．表が出る確率を p とすると E(Xi) = p となり， 補足２：中心極限定理 X1, . . . , Xn ∼i .i .d . P とする • 中心極限定理：E(Xi) = µ, V (Xi) = σ 2 のとき n 1$ p Xk −→ p n n 1 $ Xk − µ √ X̄n − µ Zn = √ = n· とすると， σ σ n k=1 % z lim Pr(Zn ≤ z) = φ(x; 0, 1)dx が成り立つ． k=1 定義 が成り立つ．また f (x) = x(1 − x) とすると & $ ' n 1 p f Xk −→ p(1 − p) n n→∞ k=1 −∞ • 大数の法則：X̄n − µ −→ 0． √ 中心極限定理では X̄n − µ を n(X̄n − µ) に拡大して，極限の 分布を詳しく見ている． p となる． したがって，E(Xi) = p を X̄n で推定でき，V (Xi) = p(1 − p) を f (X̄n) で推定できる． 37/44 例 10 (中心極限定理の例). 表の確率が 0.3 のコイン． n 回振るときの Zn の密度関数をプロット n = 10 38/44 例 11. コインを n 回振る．k 回目が表なら Xk = 1，裏なら Xk = 0 として，X1, . . . , Xn は独立とする．表が出る確率を p とすると， E(Xi) = p, V (Xi) = p(1 − p) となる．このとき n n = 100 √ 1 $ Xi − p X̄n − p ) Zn = √ = n·) n p(1 − p) p(1 − p) k=1 N (0, 1) とすると N (0, 1) lim Pr(Zn ≤ z) = n→∞ % z φ(x; 0, 1)dx が成り立つ． (1) −∞ 式 (1) のように分布関数が収束することを d Zn −→ N (0, 1) と書くこともある． 39/44 40/44 演習問題 演習問題 5. 確率変数 X, Y は，区間 (0, 1) 上の一様分布に独立に したがうとする． 演習問題 1. P (A ∩ B) = P (A)P (B) のとき，次式が成り立つこ とを確認する．P (A ∩ B c) = P (A)P (B c)． 演習問題 2. 分散について 1. X 2 の分布関数と確率密度関数を求める． 2. Z = max{X, Y } の分布関数を求める．また Z の期待値を求める． 演習問題 6. する． X を標準正規分布 N (0, 1) にしたがう確率変数と 1. Y = eX の確率密度関数を求める． 2. Y の期待値を求める． V [aX + b] = a2V [X] が成り立つことを確認． 演習問題 3. E[(X − a)2] を最小にする実数 a を求める． 演習問題 4. X を確率変数，a, b を定数として Y = aX + b とおく． E(Y ) = 0, V (Y ) = 1 となるように a, b を定める． note: a, b を E(X), V (X) で表す． 演習問題 7. X1, . . . , Xn が独立のとき，以下の式が成り立つこと を確認する． E(X1X2 · · · Xn) = E(X1)E(X2) · · · E(Xn) V (X1 + X2 + · · · + Xn) = V (X1) + V (X2) + · · · + V (Xn) 演習問題 8. ２次元確率変数 (X, Y ) の散布図 (a),(b),(c) を示す． 演習問題 9. X, Y は連続値をとる確率変数とし，独立に同一の分布 にしたがう．また，確率変数 Z を Z = X − Y とおく．このとき Z の確率密度関数 p(z) は原点に関して対称，すなわち p(z) = p(−z) となることを確認する． ● 6 ● 0.6 42/44 3 41/44 ● ● ● ● ● ● y ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ●● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ●● ● ● ●● ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 −2 1 ● ● ● ● ● ● 2 ● ● ● 0 ● ● ● ● ● ● −1 y 3 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ●● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● −2 −1 0 1 2 ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0.4 ● ● ● ● 演習問題 10. X1, . . . , Xn ∼i .i .d . P として， ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● 0.2 ● ● ● ● ● ● ● ●● ● 0.0 ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ●● ●● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ●● ● ● 0.2 ● ● ● ● ● ● y 0.0 ● ● ● −0.2 1 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● −0.6 2 5 ● 0 ● ● ● ● 0.4 ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● 0.6 ● ● 0.8 x x x (a) (b) (c) 1.0 1.2 µ = E[Xi], 1.4 σ 2 = V [Xi], i = 1, . . . , n n 1$ とおく．確率変数 Y を Y = Xi とおく．Y の期待値 E(Y ) n i=1 と分散 V (Y ) を µ と σ 2 で表す． 演習問題 11. X, Y は独立な確率変数とし，a, b, c を定数とする． aX − bY − c の分散を V (X) と V (Y ) を用いて表す． 1. X, Y が独立でない散布図が１つある． それは (a),(b),(c) のうちどれか？ 理由も書く． 2. X, Y が独立で同一の分布にしたがう散布図が１つある． それは (a),(b),(c) のうちどれか？ 理由も書く． 演習問題 12. 確率変数 X の密度関数を pX (x) とする．a < 0 であ る定数 a, b に対して，Z = aX + b の密度関数 pZ (z) を pX を用い て表す． 43/44 44/44
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