自作問題 - 茨城大学

工業力学宿題
担当：茨城大学工学部知能システム工学科
井上康介
2015 年度版
10
各講義の終了時に，その回に対応する問題番号を指定する．
模範解答は，A・B 両コースで提出期限を過ぎたタイミン
グでウェブ上に掲載する．掲載後の提出は不可．
回答は数値として行う．つまり，最終的な回答において
√
3 や sin π/3 などが含まれてはならない．ただし，計算
の誤差をできるだけ小さくするためには，最終回答の直前
まではこれらの値を数値化せず，最終回答を行う時点にお
いてこういった値を数値化すること．有効数字は指定のな
い限り 3 桁とする．重力加速度は指定のない限り g = 9.80
[m/s2 ] とする．(あとで気づいたが，国際的に定められた
「標準重力加速度」では g = 9.80619920 [m/s2 ] であり，3
桁なら 9.81 とすべきだった．仕方がないので，ここでは
9.80 でも 9.81 でも OK とする．)
r
20
40
h
40
10
Fig. 6.2
y
6 剛体の運動
6.1. [Newton-Euler 法] Fig.6.1 に示すように，水平な地面に
置かれた直径 1 [m]，質量 200 [kg] の円柱に巻き付けた
ワイヤを鉛直上方向に 20 [kgf] の力で引き上げたところ，
60r
x
O
円柱は地面との滑りを生じることなく転がり始めた．こ
のときの加速度を求めよ．
Fig. 7.1
6.2. [回転体のつりあい]
Fig.6.2 に示すように，両端を軸受
けで固定された軸があるとする．軸の右側に 2 つの質量
1 [kg] のおもりが図に示す位置で取り付けられており，左
側には質量 2 [kg] のおもりを取り付けるとする．この軸
が静的および動的なつりあいとなるとき，左側のおもり
の取り付け位置，r および h を求めよ．ただし図中の寸
法の単位は [cm] とする．
(1)
(2)
(3)
(4)
投げ上げた瞬間の運動量を求めよ．
その後の運動量の時間変化率はどれほどか．
10 [s] 後までに受ける力積はどれほどか．
(3) の結果を用いて 10 [s] 後の運動量を求めよ．
※ 運動量，力積はベクトル量である．
7.3. [力積] Fig.7.2 に示すように，水平左向きに速さ 20 [m/s]
で飛んできた質量 60[g] のボールがテニスラケットのガッ
トに接触したとする．ボールは 0.2 [s] の間ガットから水
平右向きの力を受けて，最終的に右向きの速度 v を得て
7 衝突
7.1. [運動量] 240 [t] の飛行機が時速 840 [km/h] で飛んでい
ラケットから離脱した．ボールがラケットに接触し始め
た時刻を t = 0 とするとき，ボールが受けた力の大きさ
は F (t) = −2250t(t − 0.2) [N] であったとする．右向き
を正にとり以下の問いに答えよ．
るとき，その運動量の大きさはどれほどか．
7.2. [運動量・力積] Fig.7.1 に示すように，質量 100 [g] の
ボールを迎角 60◦ の方向に初速 80 [m/s] で投げ上げた．
(1) ラケットと接触する前のボールの運動量を求めよ．
(2) ラケットがボールに与えた力積を求めよ．
(3) (2) の結果から，ラケットから離脱したボールの速さ
空気抵抗は無視できるとして以下の問いに答えよ．
を求めよ．
20 [kgf]
7.4. [角運動量] 水平な地面の上を時速 60 [km/h] の速さで滑
ることなく転がる質量 2 [kg]，直径 30 [cm] の球の運動量
および角運動量を求めよ．
Fig. 6.1
1
7.5. [角衝撃量] 摩擦のない軸に取り付けられた質量 50 [kg]，
直径 1 [m] の円板が 200 [rpm] で回転している．これに対
し，回転方向と反対の一定のトルク 20 [Nm] を 10 [s] の
の高さおよび 2 回目に地面に衝突するまでに進む水平方
向の移動距離を求めよ．ただし空気抵抗や地面との摩擦
は無視できるとする．
間かけ続けたとする．
y
(1) 円板が受ける各衝撃量を求めよ．
(2) トルクをかけた後の円板の角運動量を求めよ．
10 [m/s]
49 [m]
7.6. [運動量保存] 静かな湖面を 3 [km/h] で進む質量 150 [kg]
のボートに乗った体重 50 [kg] の人が，後ろ方向に 40 [kg]
の荷物を投げたところ，ボートは加速した．ボートに乗っ
た人と投げた荷物が離れるスピードは 2 [km/h] であっ
た．荷物を投げた後のボートの速さはどれほどか．
x
O
7.7. [向心衝突] なめらかな水平面上を v1 = 2 [m/s] で滑る
5 [kg] の物体 1 が，その正面に静止していた 12 [kg] の
物体 2 に衝突し，それぞれの物体はその直線上でそれぞ
れ v1 ，v2 [m/s] の速度で滑り始めたとする．ただし，最
初の物体 1 の運動方向を正にとる．物体間の反発係数を
e = 0.7 として，以下の問いに答えよ．
Fig. 7.4
7.10. [偏心衝突] Fig.7.5 に示すように，長さ 6[m]，質量 10[kg]
の細く均一な静止した棒の端点から 1 [m] の位置に，棒
に垂直な方向から 5 [m/s] の速さで進んできた質量 3 [kg]
(1) 運動量保存則を定式化せよ．
(2) 反発係数を用いて v2 − v1 を求めよ．
(3) (1)，(2) の結果から，v1 ，v2 を求めよ．
の球が衝突したところ，球は静止した．このとき，反発
係数および衝突後の棒の角速度を求めよ．
※ 教科書の式 (7.18) は用いない．
6 [m]
7.8. [斜めの衝突] Fig.7.3 に示すように，xy 平面上におい
て，2 [m/s] の速さで x 軸方向に進む質量 4 [kg] の球 1
に対して，x 軸と 60◦ の角度をなす方向に同じく 2 [m/s]
で進んできた質量 3 [kg] の球 2 が衝突した．衝突の瞬間，
2 つの球の中心を結ぶ直線は y 軸に平行だったとする．2
球の反発係数を 0.8 として，衝突後の 2 球の速度をそれ
5 [m/s]
ぞれ求めよ．
1 [m]
7.9. [地面との衝突] 水平な地面の上，高さ 49 [m] の位置
から，質量 100 [g] の小さなボールを 10 [m/s] の速さで
Fig. 7.5
水平に投げた．地面とボールの間のはねかえりの係数を
0.8 とするとき，ボールが 1 回地面に衝突した後の最高点
8 仕事・エネルギー・動力
20 [m/s]
8.1. [仕事]
F
Fig.8.1 に示すように，古タイヤにワイヤをつけ
て，斜め上 45◦ の方向に 20 [kgf] の力で引き，500 [m] を
走るトレーニングを行った．このとき行った仕事はどれ
ほどか．
v
20 [kgf]
Fig. 7.2
45r
2
60r
Fig. 8.1
1
y
x
Fig. 7.3
2
8.2. [バネ力・重力のなす仕事] Fig.8.2 に示すように，質量
m の荷物を弾性係数 k のバネの上にのせたところ，つ
りあい状態において荷物上面の地面からの高さは H1 と
取り付け，下向きに速度 v0 = 20 [m/s] を与えたとする．
バネ定数を k = 20 [N/m] とするとき，おもりが停止する
瞬間のおもりの位置は初期状態からどれほど下がってい
るかを求めよ．
なった．この荷物の上部に取り付けたワイヤを地面から
の高さ h まで巻胴 (Fig.8.3) で静かに引き上げたとする．
ワイヤ質量は単位長さあたり ρ で，巻胴の軸の高さは H2
であったして，巻胴がした仕事を求めよ．
※ 巻胴に巻き付いたワイヤのアンバランスによるトルク
は無視する．
v0
x
Fig. 8.5
H2
h
H1
8.6. [エネルギー保存則] Fig.8.6 に示すように，高さ 20 [cm]
の緩やかな段差の上にあった質量 3 [kg]，直径 10 [cm] の
球が静かに転がり始め，段差の下の水平面を転がったと
する．転がりに際してすべりはないものとすると，最終
的な速さはいかほどになるか？摩擦や空気抵抗などによ
るエネルギー損失は無視できるとして求めよ．
Fig. 8.2
20 [cm]
v
Fig. 8.3 巻胴 (hosting drum)
Fig. 8.6
8.3. [回転の仕事]
Fig.8.4 に示すように，地面に固定された
回転軸に取り付けた質量 2 [kg]，長さ 50 [cm] の細く均一
な棒に対し，回転軸に取り付けたモータによりトルクを
かけることを考える．
8.7. [衝突によるエネルギー損失] 質量 6 [kg] の物体 1 が
4 [m/s] の速さで進んでいく正面から，反対方向から向
かってきた質量 4 [kg] の物体 2 が 4 [m/s] の速さで衝突
した．摩擦や空気抵抗は無視できるものとし，2 物体間
の反発係数を 0.75 とするとき，衝突によるエネルギー損
(1) 棒と地面のなす角が θ = 30◦ で棒が静止していると
するとき，トルク τ を求めよ．
(2) (1) の状態から棒を微小角度 dθ だけ持ち上げるのに
要する微小仕事 dW を求めよ．
(3) 棒を θ = 30◦ から 45◦ までゆっくりと持ち上げると
き，モータのする仕事 W を微小仕事の積分により求
失はどれほどか．
8.8. [動力] 1[m] あたり 10[kg] の鎖に取り付けた質量 200[kg]
の荷物をウインチにより真上に 1 [m/s] の速さで持ち上
めよ．
げることを考えるとき，ウインチ・荷物間の鎖の長さが
3 [m] となった瞬間の動力を求めよ．
8.9. [回転運動の動力] Fig.8.7 に示すように，長さ 20 [m]，
質量 5 [t] のクレーンの先端から下げたワイヤに 500 [kg]
の荷物をぶら下げた状態で，クレーンを 1 [rad/min] の
τ
θ
角速度で反時計回りに回転させるとき，クレーン姿勢が
45◦ となった瞬間におけるクレーン根本のモータの動力
を求めよ．ただしクレーン角速度は十分遅く，加速度・
角加速度の影響は無視できるほど小さいと見なす．
Fig. 8.4
8.4. [位置エネルギー]
自然長からの伸びを x [cm] とすると
き，引っ張り力が f (x) = 5x2 [N] となる非線形バネがあ
るとする．このバネが自然長から 12 [cm] 伸びていると
すれば，蓄積された弾性エネルギーはどれほどか．
8.5. [エネルギー保存則]
Fig.8.5 に示すように，天井からつ
るした自然長のバネの先端に質量 m = 5 [kg] のおもりを
3
45r
Fig. 8.7
9 摩擦
9.1. [静摩擦]
Fig.9.1 に示すようにロボットハンドの 2 本の
指で質量 500 [g] の物体を左右からまっすぐに挟んで把持
することを考える．物体と指の間の静摩擦角が 30◦ であ
るとき，物体を把持するための把持力 F の条件を求めよ．
−F
F
Fig. 9.1
9.2. [動摩擦]
質量 m の物体が水平な床面上を v0 の速さで
滑っているとする．重力加速度を g ，物体と床面の間の
動摩擦係数を μ とするとき，物体が停止するまでの距離
を求めよ．
9.3. [動摩擦]
Fig.9.2 のように，質量 400 [kg] の物体にとり
つけたワイヤをウインチで引き，水平な床面上を一定速
さ 2 [m/s] で引きずることを考える．物体と床面の間の
動摩擦係数を 0.5 とするとき以下の問いに答えよ．
(1) 物体が加減速していないことを考慮して，ワイヤ張
力を θ の式として求めよ．
(2) θ = π/6 [rad] の瞬間におけるウインチの動力を求
めよ．
2 [m/s]
θ [rad]
Fig. 9.2
4

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