R - 電気電子工学科

平成27年9月10日版
集積電子回路設計
Part 2:演算増幅器
千葉大学工学部電気電子工学科
橋本研也
演算増幅器（Operational Amplifier）
ein
K
+
eout
-
Ra
K=Ra/(Ra+Rb)
ein + Rb
非反転増幅回路
G
eout
eout
G
1

 (| GK | 1)
ein 1  GK K
理想オペアンプとは？
•利得G無限大
•入力Z無限大
•出力Z零
オペアンプの
周波数特性
K
ein + -
G
eout
J
J=1/(1+j/c)
eout
GJ
1
H

 (| GJK | 1)
ein 1  GJK K
-6dB/oct.
0
(GJK) [deg.]
20log|H| [dB]
H  GJ
ピークでの
利得を低減
した分、広
帯域化
-
H
GJ
1  GJK
c
log
cm
実線: K=0、破線: K0
cm=c(1+GK)
K
ein + -
eout
G
en：増幅器Gによる
波形歪＋雑音
en
+
eout
G
1

ein 
en
1  GK
1  GK
負帰還による低減
eout
GJ
H

ein 1  GJK
J=1/(1+j/c1) (1+j/c2)の時
0
-
-
-12dB/oct.
(GJK) [deg.]
20log|H| [dB]
-6dB/oct.
c１ c2
log
c2で位相がほぼ-＝正帰還
c2で|H|が大きいと不安定（発振）
極が３個有れ
ば？
演算増幅器の解析法(Imaginary Short)
負帰還で利得が無限
ein
入力端子間の電位差零
+
eout
-
ein/Ra
Rb ein/Ra
Ra
ein
eout
+
Ra
Rb
Raeout/(Ra+Rb)
eout
Rb
H
 1
ein
Ra
非反転増幅回路
Rc
0
-Rbein/Ra
eout
Rb
H

ein
Ra
反転増幅回路
オフセット(無入力時の直流出力)と
ドリフト(温度によるオフセットの変化)
V+
Ra
ein
Rc
Rb
- I
+
+
IV-
反転増幅回路
V+=(Ra//Rb)I+
V-=RcIeout
I+=I-であれば(Ra//Rb)=Rc
とすることによりオフセット
消去可能(V+=V-)
高利得増幅器
Rb
ein/Ra Ra
ein
Rb
-einRb/Ra
Rd
+
eout
Rc
入力からの流入電流
出力からの流入電流
 ein Rb / Ra  Rd [ein / Ra  (eout  ein Rb / Ra ) / Rb ]
eout
Rb

ein
Ra

Rb 
2  
Rd 

Rb>>Ra,Rdで大きな利得実現
計測アンプ
ei+
+
-
(ei+-ei-)/Ra Ra
+
ei   eo   Rb (ei   ei  ) / Ra
ei   eo   Rb (ei   ei  ) / Ra
eout  (eo   eo  ) Rd / Rc
Rc
Rb
ei-
e0+
Rd
+
Rc
eo-
eout
Rd eo-Rd/(Rc+Rd)
eo   eo 
1
ei   ei 
eo   eo 
Rb
 1 2
ei   ei 
Ra
eout
Rd

ei   ei 
Rc

Rb 
1  2 
Ra 

計測アンプ
Ra
ei+
Ra
+
-
eout
+
ei-
eout  eo   eo 
絶縁増幅器
+5V
Rb
+5V
Ra
Rb
eout
ein
+
-
eout  ein
入出力間を電気的に
絶縁可能
Ra1
e1
Ra2
e2
Rb
R1
e1
eout
e2
+
Rc
en-1
eout
Rb
Rb

e2
e1 
Ra 2
Ra1
アナログ加算器
-
R2
+
Rb
Rn-1
Rn
en
 Rb 
eout    en
n 1  Rn 
n
Rn  2 とすれば
N
NビットD/A変換器
eout
8bit D/A変換器の構成
デジタル
データ
D0
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
Q0
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
Rb
+
アナログ
出力
ラッチ：次のデータが入力される
まで、前のデータを保持
C
R
R
+
ein
C
eout
Ra
インダクタを利用せ
ずにQ>0.5を実現
Rb
集積化フィルタ
H
G
1  ( /  r ) 2  j ( /  r )Q 1
G  1
Rb
1
r 
Ra
CR
Q
能動フィルタの例
1
3G
微分回路
積分回路
リセット回路
ecnt
i=dq/dt
R
q=Cein
ein
C
+
Rc
eout
ein/R
R
ein
eout
C
+
Rc
dein
 CR
dt
eout
1

ein dt

CR
Rd
eout
演算増幅器との組み合わせ
+24V
RB
+
ein
K
VL
ein + -
Rb
RB
-24V
G1
G2
K=Ra/(Ra+Rb)
Ra
オペアンプ：電圧増幅
プッシュプル回路：電力増幅
注：オペアンプの電源電圧
以上の振幅は取れない。
eout
安定化電圧源
安定化電流源
Vcc
Rc
Vz
+
Ra
Vcc
Rc
+
VL
Rb
RL
VL=Vz(Rb/Ra+1)
RLに依存せず
Vz
R0
Ra
Rb
RL IL
IL=(Vcc-Vz)(Rb/Ra+1)-1
OPアンプに非線形素子を接続すると
Rb
ein
Ra
+
eout ein
理想整流回路
Rp
ein
+
+
RG
Rp:ダイオードoff
時の利得限定用
+
Rp
アナログSW
eout
C
ピーク保持回路
eout
C
+
Sampling &
Hold回路
標本化と保持(Sampling & Hold)後の波形
1
0.8
信号振幅
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.5
標本化周期（この時間の
間に量子化（数値化））
1
時間
1.5
2
アナログ/デジタル変換
絶対値回路
Ra
ein
Ra
ed
Rb
-
Rb/2
+
eout
+
Rb
2ed
eout
-ein
t
比較器（コンパレータ）
ein
-
eref
eout
+
R
ein
+
-
Vc
R
+
-
eout3
eout2
R
+
eout
+Vs
-
Vc
eout1
R
ein
-Vs
Vs:飽和出力(≒電源電圧)
並列型AD変換器(2bit)
逐次比較型AD変換器
ein
+
変換開始
変換終了
制御回路
DAC
1
0
0
0
0
0
0
0
e7
e6
e5
e4
e3
e2
e1
e0
最上位ビットを1に試行
比較器出力によってビットデータを固定
次のビットを1に試行（以下順次下位ビットへ）
積分型AD変換器
clk
ein
+
-
カウンタ
変換出力
変換開始
変換終了
長時間計測すれば
高精度
+Vs
e in
0

電圧→時間
t
標本化定理(Nyquistの定理)
信号に含まれる最も高い周波数成分fmaxの２
倍よりも高い周波数で信号を標本化すると、
取り込まれたデータ列から元の信号が忠実
に再現できる。
オーバーサンプリング
 2
量子化雑音のパワースペクトラム PN 
6 w
信号帯域wのM倍の周波数で標本化すれば、量子化
雑音はM倍の周波数範囲に拡散⇒PNはM-1に減少
信号帯域内の量子化雑音実効値が-0.5に減少
ダイナミックレンジ：入力正弦波の実効値と雑音実効
値の比で定義した場合、6.02N+10logM+1.76 [dB]
オーバーサンプリングによる量子化雑音低減
F()
元の信号
通常の標本化
量子化雑音
0
F()
c
c
c
c

元の信号
オーバーサン
プリング
量子化雑音
0
c
c
c
c

量子化雑音の
拡散
アンダーサンプリング
標本化周波数の整数倍の特
定帯域の信号のみを抽出
ei(t)
帯域通過型AD変換器
AD変
換器
BPF
eo(t)
F()
-2c
-c -w
0
+w +c
+2c

シグマ・デルタA/D変換器
ei(t)
+
-

1bit A/D
eo(t)
1bit
DAC
標本化周波数増大
による量子化誤差
の低減
パルス幅変調
(PWM)
PWM波から元信号の再生は？
ei(t)
1bit
DAC
LPF
eo(t)
最大周波数までの
低域通過フィルタを
挿入！
世に言う1 bit
オーディオ
正帰還すると→ヒステリシスコンパレータ
ein
eout
eout
+
+Vs
+Vc
ein
Ra
eout
 Vs

 Vs
Rb
(ein  eout  Ra /( Ra  Rb ))
(ein  eout  Ra /( Ra  Rb ))
Vs:飽和出力(≒電源電圧)
-Vc
-Vs
ヒステリシスコンパレータ
の入出力特性
Vc=Vs/(1+Rb/Ra)
雑音を含む信号
2Vc
ヒステリシスが無いと
パルス数の誤り
ヒステリシスが有ると
クリーンな応答
t
立ち上がり立下りの
ゆれ＝ジッタの発生
高速ADCへのジッタの影響
http://www.analog.com/jp/digital‐
to‐analog‐converters/da‐
converters/products/tutorials/CU_tu
torials_MT‐007/resources/fca.html
高周波になるほどジッタの影響大
高周波クロック源ほど程ジッタ大
31
信号雑音比(SNR)への周波数とジッタの影響
http://www.analog.com/jp/digital‐
to‐analog‐converters/da‐
converters/products/tutorials/CU_tu
torials_MT‐007/resources/fca.html
32
正帰還になれば、自分自身
を増幅し続けて発振
K()Eo()
+
Ei()
-
K()
G()
Eo()
正帰還であれば、雑音に含まれる周波数成分を増
幅、振幅増大（入力不要）
増幅器が飽和して、実効的な利得Geff()減少
Geff()K()=-1の状態で発振持続
4. 発振持続状態では他の周波数の利得減少
H()=G()/[1+G()K()]より
安定条件
|G()K()|>1となる周波数範囲でarg[G()K()]180o
安定度の指数：
位相余裕
arg[G()K()]-180o @|G()K()|=1となる周波数
ゲイン余裕
-20log |G()K()| @arg[G()K()]=180oとなる周波数
ウィーンブリッジ発振器
C
R
閉ループ回路
+
eout
C -
R
K
Rb
Ra
G
eout
発振振幅
制限抵抗
C
+
ei
R
eo
R
Rx
Rb
C
小信号等価回路
開ループ回路
ei
G
K
eo
伝達関数(H=eo/ei)
jG ( / r )
H  GK 
1  ( / r ) 2  j 3( / r )
ここでr=1/CR、G:非反転増幅器の利得(=1+Rb/Rx)
発振条件
位相（周波数）条件 (GK: 実数)
  r
振幅条件 (|GK|>1)
G 3
•Gが大きいと ⇒ 発振波形の歪み
•Gが小さいと ⇒ 発振の立ち上り緩やか
時計用発振回路
eout
C1
eout
C2
音叉型水晶振動子
ein
インバータの入出力特性
反転増幅器と等価！
215 =32,768Hz を215分周すれば1Hz!
発振回路の解析
+5V
RD
eout
Z
C1
C2
RG
RD
Z
RS
C1
K
G
RS
小信号等価回路
ei
閉ループ回路
C2
eout
開ループ回路
eo ei
G
K
eo
RG
以下の解析ではRS,RG,RDを無視
gm:FETの相互コンダクタンス
伝達関数(H=eo/ei)
gm
1
H 2
 C1C2 Z  1  1
jC1 jC2
位相（周波数）条件 (H: 実数)
1
1
( Z ) 

C1 C2
発振条件
振幅条件 (H>1)
gm
( Z )
1
 (C1  C2 ) ( Z )
発振器の安定性
•高信頼性技術
• 長期安定度 (経年変化)
• 中期安定度 (温度依存性)
• 短期安定度 (熱雑音,1/f 雑音)
•優れた温度特性、
高Qの共振器
•低雑音増幅器
P()
1/f noise (flicker)
Thermal noise
(random walk)

圧電基板に電界を加えると
+
圧電基板
-
dv
M
 v  k  vdt  F  V
dt
i
v
C0 V
F
C1
k-1 M
(a) 電気＋機械回路

L
C0
(b) 等価電気回路
V ⇔ F、 I ⇔ ｖに対応させると
M ⇔ L、 ⇔ R、k ⇔ 1/C
R
Admittance
共振特性
G
B
Frequency
r
a
•共振周波数 r=1/ C1L
•反共振周波数 a=1/ L(C1-1+C0-1)-1
何故水晶振動
子？
df/f
ppm
20
10
温度安定性(-40oCか
ら+80oC の範囲で
10 ppm)
0
-10
-20
-60 -40 -20
0
±10 ppmは高速通信には不充分
仕様の一例: -20oCから+80 oCで±1ppm
20 40
60
Temp.
温度補償水晶発振器 (TCXO)
eout
C1
マイクロコ
ントローラ
C2
温度セ
ンサ
-20oC to +70 oCの範囲で±1ppm
まだ現在の高速通信には不充分
オーブン安定化水晶発振器 (OCXO)
eout
C1
オーブン2重化によ
る更なる安定化
C2
Oven
Controller
Temp.
Sensor
-20oCから +70oCの範囲で±10ppb
欠点：パワー消費、初期安定化、寸法
Global Positioning System (GPS)
現在位置 (x, y, z)は次式の解
d n2  ( x  xn ) 2  ( y  yn ) 2  ( z  z n ) 2
n  1,2, , N
xn, yn, zn : n番目の衛星の位置 (衛星から送信)
dn: n番目の衛星からの距離 (遅れ時間から算出)
10 ppbの誤差  d では3 mの誤差！
負性抵抗による発振回路
Vcc
R
V 負性抵抗
vc
Vt
発振条件
Vt>Vcc-R It
Vb<Vcc-R Ib
C
Vb
0
It
Ib
I
vc
0
t
青曲線を表す式(T=CR) V  Vcc 1  exp(t / T )
増幅器による負性抵抗の実現
R
iin
ein
G
eout
負性コンダクタンス
iin   R 1 (eout  ein )   R 1 (G  1)ein
位相条件
R
+
eout
-
Z
Ra
Rb
( z )  0
発振条件
振幅条件
1
1
( z )  R (G  1)  0
負性抵抗（その２）
ei
Zi
ii
Z i  ei / ii   Z (G  1)
発振の時は (電流出力)
G
Z

ZG 
Z i  Z f  ( Z f  Z ) 1 
0
 Zf  Z 
出力条件
Z i  Z f   0
振幅条件
Z i  Z f   0
負性抵抗（その３）
Zf
1
f
ii   Z (eo  ei )   Z (G  1)ei
ii
ei
G
eo
ei
Z i    Z f (G  1) 1
ii
Zi
発振中は
(電圧出力)
1
f
1
Z Z
1
i

ZG 
 ( Z  Z ) 1 
0
 Zf  Z 
1
1
f
周波数条件
Z
振幅条件
 Z 1  Z f1  0

1
Z
1
f
 0

負性抵抗（その４）
Zf-R
io
eo
R
G
Z
Zo
1
i
R
ZG 
(Z f  Z ) 
1
o
1 

Zo  
eo
Zf  Z  R  Zf  Z 
発振中は
(電圧出力)
Z o1  0
 
周波数条件
 Z o1  0
振幅条件
Z   0
1
o
発振器の基本的な分類（バイアス回路省略）
コルピッツ型
ハートレー型
クラップ型
LC共振で電圧最大の場所から電圧を取り出し、電流
最大のところにTrからの電流を注入
コルピッツ発振回路の変形
コルピッツ型
コルピッツ発振回路のAC解析
出力インピーダンス特性
B=0
G<0
トランジェント解析
トランジェント解析
立ち上がり波形
スペクトラム
変形コルピッツ(クラップ)発振回路
DC遮断コン
デンサ
水晶振動子（誘導性の周波数で発振）
+5V
RB1
Y
L
ecnt
Cv
C2
Cc
C1
RB2
C2
RF遮断インバラクタダイオード
(発振周波数可変)
ダクタ
eout
RE
電圧制御発振器（VCO）回路
Cross Coupled Oscillator
集積化可能なスパ
イラルインダクタ
VDD
I1
C1
L
M1
I2
M2
C2
i1  j C1v1  g m1v 2
i1 v1
見込んだアド
ミタンス
v2 i2
L
C1
C2
gmv2
gmv1
等価回路
i2  j C 2 v 2  g m 2 v1
C1  C 2 , g m 1  g m 2
の時
i1  i2
 j C  g m
v1  v 2
負性抵抗
  1 / LC で共振
インダクタの抵抗成分が負
性抵抗より十分小さいこと
比較器＋周波数制御→緩和発振器
R
ein
+Vs
+Vc
eout
+
C
0
-Vc
Ra
Rb
青曲線を表す式(T=CR)
V  Vs  (Vc  Vs ) exp(t / T )
  2T log(Vs  Vc ) /(Vs  Vc )
 2T log1  2 Ra / Rb 
eout
ein


-Vs
ヒステリシスインバータの
入出力特性
Vc=Vs/(1+Rb/Ra)
t
緩和発振器（その２）
+
R
Rb
+
eo2
0
-V c
+V s
積分回路
(eo 2  Vc )
(eo 2  Vc )
Vc  Vs Ra / Rb
e o1
+V c
Ra
ヒステリシス
コンパレータ
 Vs
eo1  
 Vs
+V s
C
eo1

e o2
青曲線を表す式(T=CR)
V  Vc  Vs t / T
  4TVc / Vs  4TRa / Rb
t
N段受動(LC)フィルタ
R0
L1
L1
C2
ES
0
R0
L2
C1 C1
R0 ES
R0
3エレメント型LPF
3エレメントT型LPF
0
-40
-60
H (dB)
H (dB)
-20
N=3
N=5
-80
N=7
N=9
-100
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Relative frequency
-1
N=3
-2
N=5
N=7
N=9
-3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Relative frequency
うまく設計すると優れた特性
能動フィルタ
帰還による誘導成分の実現
K
Za
Zc
ein
Zb
+
Zd
eout e
in
+
+
H
eout
GH

ein 1  GK
G
eout
G=1
Z d ( Z c  Z d ) 1{Z b1  ( Z c  Z d ) 1}1
Zb Z d

H
1
1 1
Z a  {Z b  ( Z c  Z d ) }
( Z a  Z b )( Z c  Z d )  Z a Z b
Z d ( Z c  Z d ) 1{Z a1  ( Z c  Z d ) 1}1
ZaZd
K

1
1 1
Z b  {Z a  ( Z c  Z d ) }
( Z a  Z b )( Z c  Z d )  Z a Z b
eout
Zb Z d
GH


ein 1  GK ( Z a  Z b )( Z c  Z d )  Z a Z b  Z a Z d
Zc  Za
Z a / Zb Z d  s / 0
Q  2 1 Z d / Z b
eout
1

とすれば、
ein ( s /  0 ) 2  Q 1 ( s /  0 )  1
LRC回路と同様の特性(Q>0.5実現可能)
多段縦続による所望の周波数特性の実現
ein
H1
H2
H3
eout
スイッチトキャパシタフィルタ
iin(t)
スイッチの高速切り替え
i2(t) C2
+
ein
C1
eout
-
コンデンサが抵抗と
同様な役割R=1/C1f
状態変数s-1の実現
•スイッチ入力側の時C1上の電荷＝einC1
•スイッチ出力側の時C2に流れ込む電荷＝einC1
eout
C1 f

C2
e
in
dt
f:切り替え周波数

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