20140720 久保浄（KEK）

ビーム力学
- エミッタンス - Wakefield - ILC Main Linac
20140720
久保浄（KEK）
• 準備
– 座標系
– 線形運動（４極磁場中の運動）
– ベータトロン振動
– エミッタンスとは
曲線直交座標
z：基準軌道の進む方向
x：基準軌道面内で z に垂直
y：基準軌道面に垂直
s: 独立変数（基準軌道に沿った距離）
s での微分
 f '  df ds 
s
ビーム内の粒子の運動は、
(x, x’, y, y’, z, E) を s の関数として表すことで記述される。
(x, x’), (y, y’), を横方向、 (z, E) を縦方向と呼ぶ
4極磁場中のビーム粒子の運動
運動方程式
B y  a2 x
Bx  a2 y
N
S
dx'
ea2

x  k ( s) x
ds
p0
S
N
dy ' ea2

y  k (s) y
ds p0
線形
磁極の形：双曲線
何もない空間（ドリフト空間、k=0）中と４極磁場中の運動は線形
ビーム力学での線形近似
• 「ビーム」とは、方向と位置がよく揃った多数の粒子の集まり。
• 基準軌道（設計軌道）の近くを通る。
 x, x' , y, y' は全て小さい
• 高次の効果を常に無視してよいわけではないが、
• まず線形近似で計算し、高次の効果を補正として考慮する
のが普通。
横方向１自由度の線形運動（ベータトロン振動）
x-y カップリングなし、の線形近似。（ここでは x と書くが y も同様）
x' ' k ( s ) x  0
という形の運動方程式の解は、
 x( s)  a  ( s) cos( ( s)  0 ) と書ける
 ( s )  d / ds -1 : Beta - function, common for all particles
a and 0 : constant, different for different particles (initial condition)
円形加速器の場合：周期条件
k (C  s )  k ( s ) (C : Circumference)
より、ベータ関数にも周期条件  (C  s )   ( s ) を課せばベータ関数が決まる。
（ただし一般には、、, a が虚数になることもあり、この場合はビームが不安定）
線形加速器（transport line）の場合：周期条件なし、
ベータ関数の初期値は決まらない。初期条件（x(0), x’(0)）を与えても
a , 0, (0 , ’(0) のうちの２つが自由に決められる。
Courant- Snyder 不変量
ビーム内の各粒子個別の不変量
2
1 2
1   2 2

   
J x   x    x' x   2  
x  2xx' x'2  2
   
 

 
    ' / 2
x( s )  a  ( s ) cos( ( s )  0 )
 ( s )  d / ds 
-1
 J x  a2 2
であることは簡単に確かめられる。
エミッタンス – 不変量
ビーム内の全粒子を考えた場合の不変量
x 
x 
x
 x'
2
x'

2
 x  x
x'
x'  （y も同様）
2
: 全粒子の平均
線形運動では保存する。
d ( 2 )
0
ds
であることが、
dx d 2 x
x'  ,
 k (s) x
2
ds ds
から簡単に確かめられる
正規分布の場合のエミッタンス
 x 2 ( x' ax) 2 

 ( x, x ' ) 
exp  2 
2
2 1 2
2 2 
 2 1
  x2   12
x'
1
x2
x'2   x2'  a 2 12   22
xx'   a 12
x
  x   1 2
x-x’ 面上での楕円
x 2 ( x' ax) 2

1
2
2
1
2
の面積/π
In Phase Space, x-x’
x-x’ (y-y’ ) plane is called “phase space”.
正規分布などの場合、粒子の分布を楕円で表せる。
ドリフト空間
x’
x
４極磁場
楕円の面積が保存される
ベータ関数の定義について
 x  x  x
2
x
のように、ビーム粒子の分布から定義することができる。
この場合、
x  Jx
必ずこのように定義されるわけではない。例えば、
• ビームライン上のある場所での設計上のベータ関数を採用する。
• 設計上の周期条件を課す
等によって定義できる。
これが、ビーム粒子の分布による定義と異なる場合、ビームとビームライ
ンの「マッチングが取れていない」ことを意味する。
加速器における Wakefeild
ビーム内の荷電粒子が作る電磁場
後方の粒子が影響を受ける
12
Short range wakefield (バンチ内)
charge are induced
at discontinuities
Induced fields catch up following particles
直後の（同符号の電荷の）粒子は減速される
13
Transverse Wakefield
電荷が中心からずれて通過すると非対称な電荷が誘起され、
後続の電荷がその方向に引かれる
+
+
+
+ ++ ++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
Discontinuity
Long range wakefield (バンチ間)
励起された共振モードが後続のバンチが来るまで生き残る。
加速空洞など、空洞構造のものが問題となる。
共振電磁場
Short Range Transverse Wake （バンチ内）
Long Range Transverse Wake （バンチ間）
ビーム内の進行方向の位置によって軌道が変わる
点電荷により励起されるWakefield
• s だけ遅れてくるテスト電荷の感じる力をビーム軸方向に沿って積分した
ものを考える。
• 粒子は光速でビーム軸に平行に動くとする。
積分
t  ( s  z ) /c の電磁場を
 dzFz  e  dzE z(x,y,z,( s  z ) /c)
 dzFx  e  dzE x ( x,y,z,( s  z ) /c)  By ( x,y,z,( s  z ) /c)
 dzFy  e  dzE y ( x,y,z,( s  z ) /c)  By ( x,y,z,( s  z ) /c)
• s と、励起した粒子とテスト電荷の横方向の位置の関数となる
重ね合わせの原理が成り立つ（Maxwell 方程式が線形であるので）
 任意の電荷分布による Wakefield は点電荷によるfieldの重ね合わせ。
点電荷により励起されるWakefield の性質
• 自分より前の粒子には影響を与えない（粒子速度は光速と仮定）
• 自分自身は減速され、自身の感じる longitudinal field は、直後の粒子
の感じるfieldの半分
減速
s
加速
自身は longitudinal wakefeild で減速される
自身は直後の粒子の感じるfieldの半分を感じる
減速：エネルギー保存則より明らか
「半分」の説明：
始めに電磁場のない状態で
電荷 +q, -q が通過
重ね合わせの原理から、
励起される電磁場は、通過し
た電荷に比例
電荷+q によるwakefiledの、自身が感じる電圧
-qW0
直後の粒子が感じる電圧 -qW1
とすると、
電荷-q によるwakefiledの、自身が感じる電圧
+qW0
電荷+q が得るエネルギー -q2W0
電荷 -q が得るエネルギー +q2W1-q2W0
２個の電荷の距離を0に近づけると電荷がないのと同じなので、通過後にも電
磁場はないはず。
 2W0 =W1
点電荷により励起されるWakefield の性質
• 横方向の Wakefield は、 s=0 で連続で、ゼロ
• 自身は横方向には力を受けない
Transverse wake
s
Panofsky – Wenzel theorem:
d
d
dzFz   dzFx ( y )

dx( y )
ds
ここでは、
• 回転対称な構造の wakefield を考える
• ビーム粒子は、軸に平行に、光速で通過する
と仮定
Wakefield のモード展開
Leading particle : charge q, position (r0 ,  0  0 ( x0  r0 , y0  0))
Test particle : charge e, position (r, )
Distence of two particles : s
Energy loss of test particleEnergy loss of test particle
- E  eq W 'm ( s )r0m r m cos(m )
m


m m 1 
pt  eq Wm ( s )mr0 r r cos(m )   sin( m ) 
m
Usually, we ignore higher order modes.
(Take only m=0 for longitudinal and m=1 for transverse motions)
- E  eqW '0 ( s )


pt  eqW1 ( s )r0 x
d


W
'
(
s
)

Wm ( s ) 
 m
ds


22
Wakefield のモード展開2
monopole
dipole
電場
磁場
quadrupole
23
monopole mode
励起される強さ：
通過した電荷量に比例。通過する位置に依らない。
後続の粒子が受ける力（感じる電磁場）：
ビーム軸方向のみ（減速 or 加速）。
通過する位置に依らない。
dipole mode
TM１
励起される強さ：
通過した電荷量に比例。通過する位置と中心との距離に比例。
後続の粒子が受ける力（感じる電磁場）：
ビーム軸方向：通過する位置と中心との距離に比例。
横方向：通過する位置に依らない。
ビームのずれが、ビームパイプの径に比べて非常に小さい場合
• Longitudinal wakefeild は Monopole mode のみ、
• Transverse wakefeild は Dipole mode のみ
を考えればよい。
ビームのずれ: r、ビームパイプの径: b
Longitudinal wake ~ r / b 
2m
Transverse wake ~ r / b 
2 m 1
ILC Main Linac では
Wakefield の効果があまり強くない
• 超伝導空洞（1.3 GHz）では、常伝導LC空洞 (~10 GHz)
に比べてWakefieldの影響が小さい
空洞のサイズ ~ 1/(周波数)
27
加速空洞の大きさとwakefieldの強さの関係１
Longitudinal wakefield （monopole mode）
相似形の空洞、スケール a
q
q
電荷の通過により電場の強さEが励起されたとする。
空洞内のエネルギー
 a3E 2
電荷の失ったエネルギー
 aE
長さ当たりのwakefunction W :
 E  a 2
 W  a 2
qW  E
長さ当たりの Wakefield は空洞のサイズ（長さ）の２乗に反比例
（Mpnopole）
加速空洞の大きさとwakefieldの強さの関係2
Transverse wakefield （Dipole mode）
相似形の空洞、スケール a
ay
q
y
q
電荷の中心からのずれも a でscale
空洞内のエネルギー
電荷の失ったエネルギー
 a3E 2
 aE
 E  a 2
 W  a 3
長さ当たりのwakefunction W : qayW  E
長さ当たりの Dipole Wake は空洞サイズの3乗に反比例
29
ILC Main Linac Beam Dynamics
ビーム力学から見たMain Linac
• Main Linacはビーム力学から見れば非常に単純
– 四極磁石―加速空洞（複数）― の繰り返し
– その他
• 軌道補正用の２極磁石
• ビーム位置モニター
水平発散
垂直収束
加速
垂直収束
水平発散
加速
水平発散
垂直収束
加速
加速
31
Main Linac に求められること
• 加速（ビームエネルギーを上げる）
• ビームの質を維持
– Small energy spread
– Stable orbit
– Small transverse emittance
今日の話
32
For small energy spread -1
Longitudinal Wakefeild のため、バンチの後方は減速される。
 バンチの中心は、高周波加速位相のピークからずらされている。
3.145 107
2 105
3.14 107
1.5 105
3.135 107
1 105
wakefield
3.13 107
3.125 107
-0.001
-0.0005
0
z (m)
バンチ先頭
0.0005
5 104
0
0.001
wakefield (V/m)
Accelerating field (V/m)
RF field
Total acceleration
Single bunch:
Longitudinal short range wakefield
4 1013
Deceleration by wakefield
Wake-function
3.5 1013
WL (V/C/m)
3 1013
E(z) 
2.5 1013
13
2 10
1.5 1013
8 104
1 1013
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
s (m)
5 10-6
Charge density
-6
4 10
3 10-6
-6
2 10
1 10-6
0
-0.001

Deceleration by wakefield (V/m)
5 1012
Charge Density (C/m)
z
dz' (z')W(z  z')

7 104
6 104
5 104
4 104
3 104
2 104
1 104
0
-0.001
-0.0005
0
z (m)
0.0005
-0.0005
0
z (m)
0.001
calculated from TESLA-TDR formula
0.0005
0.001
For small energy spread -2
Longitudinal Wakefeild は、バンチ長が短い（線電荷密度が大きい）ほど強い。
 位相をより大きくずらす
 実質的な加速勾配の減少
weak wake
strong wake
バンチ先頭
For small energy spread -3
ずらす位相は全ての場所で同じでなくてもよい。
Linac 上流と下流で変えてもよい（ただし平均加速勾配は損する）
例えば、
上流
バンチ先頭
中流
下流
Main Linac エミッタンス増大の主な原因
• 加速空洞のTransverse Wakefield
• ビーム内の荷電粒子が励起した電磁場。後続の
粒子の軌道を変える。
• z-correlated orbit difference
• Dispersive effect
• ビームエネルギーに幅がある。横方向軌道を変
えるような電磁場があると、軌道はエネルギーに
依存する。
• energy correlated orbit difference
37
Transverse wakefeild の影響
ビームがWake源（加速空洞）の中心を通れば transverse
wakefield は励起されない
• ビームが振動（ベータトロン振動）している場合、wakefieldに
よって、後方の部分の振動が大きくなる（BBU: Beam
Break Up）
• Wake源（加速空洞）の設置誤差によるWakefield
ビームエネルギーが低い方が影響が大
• 励起される電磁場の強さはビームエネルギーに依らない
• 同じ力を受けた場合の角度変化はエネルギーに反比例
調和振動する２粒子モデルによる BBUの計算 - 1
前方粒子1: 調和振動
後方粒子2: 前方粒子の位置に比例した力を受ける
x1 ' ' k 2 x1  0
x2 ' ' k 2 x2  Wx1
距離に比例して振幅が増大
x1  a1 cos(ks  1 )
x2  a2 cos(ks  2 )  s
a1W
sin( ks  1 )
2k
（加速はないとして計算したが、加速ありでも本質的に同じ）
調和振動する２粒子モデルによる BBUの計算 - 2
前方粒子と後方粒子で調和振動の周波数を変えることによって、
後方粒子の振幅増大を抑制できる
x1 ' ' k1 x1  0
2
x2 ' ' k2 x2  Wx1
2
k1 と k2 が異なってよいとする。
If k2  k12  W ,
x1  x2  a1 cos(k1s  1 ) 前方粒子と後方粒子が全く同じ運動をする
「Auto-phasing」
is a possible solution.
後方粒子のエネルギーを前方粒子よりも低くすることで、 k1 < k2 とできる。
Auto-phasing の条件は、
2
E1 / E2  1  W / k1
さらにエネルギーを下げ、後方粒子の振動を減衰させることもできる
「BNS Damping」
Auto-phasing、 BNS Damping
Wakefield による力
４極磁場による収束力
For BNS damping + small energy spread
高周波位相を調整：
Linac 上流ではバンチ後方のエネルギーを低くし、BBU を抑制。
発生したenergy spread を下流部分で補正する
上流
中流
バンチ先頭
ILC では必要ないが、常伝導LCでは必要
途中のenergy spread が大きくなる
下流
Wake源（加速空洞）の設置誤差によるWakefield-1
ビームの振動、変形の励起されるWakefieldへの効果は考えない。（近似：
平均的な設置誤差はビームの振動の振幅、ビームの変形よりもはるかに大きい）
各空洞の寄与を足し合わせればよい
Δx f ( z )  eq  R12 (i  f ) aiWi ( z ) / Ei Dipole mode のみ考えている
i
 W ( z ) Ri ai
ai: i番目の空洞の設置誤差
i
Wi ( z )  W ( z )
：全wake源は同じ形
Ri  eqR12 (i  f ) / Ei  eq  i  f sin( f  i ) / Ei
Wakefunction と設置誤差から軌道への影響を計算できる
設置誤差の期待される分布から、エミッタンス増大の期待値なども計算できる。
Wake源（加速空洞）の設置誤差によるWakefield-2
Δx f ( z )  W ( z ) Ri ai
i
Δx ' f ( z )  W ( z ) R'i ai
i
Ri  eqR12 (i  f ) / Ei
Ri  eqR22 (i  f ) / Ei
原理的には、２か所の空洞の位置 (ai) を調整することで、他の空洞の設置誤差
の影響を相殺することができる。
（Dipole mode のみが効いていることが重要）
Main Linac に限らず、wakefeildの影響は、同じ形のwakefeild 源の位置を調整
することによって相殺できる。
ビーム位置、
エミッタンス測定
設置誤差あり
設置位置調整
wakefeildの影響は、同じ形のwakefeild 源の位置を調整する
ことによって相殺できる。
x’ (y’)
wake
ベータトロン振動
（位相の進み）
wake
x (y)
ベータトロン振動
（位相の進み）
wake
Wakefiled の形が同じであれば、位相
空間上での粒子の分布は必ず直線状
になる。
wakefield source の offsetを調整し
て全て原点に戻せる。
「Dispersive effect」
（エネルギーの違いによる軌道のずれ）
「Dispersive effect」（エネルギーの違いによる軌道のずれ）
により、横方向エミッタンスを増大させる主な原因
• ４極磁石の設置誤差（offset misalignment）
• 加速空洞の傾き(tilt)
要するに、横方向の運動量を変えるような電磁場：
Orbit angle change ~ 1/E
47
ビームの横方向の運動量を変える主な要因
ビームと４極磁場中心のずれ
Strength KL
Beam angle change
= KL yE0/E
beam-magnet
offset y
加速空洞の傾き

Beam angle change
=  eV/2E
48
“Filamentation”
エネルギーの差により、ベータトロン振動の位相がずれる
y
y
y
y'sqrt( / )
y
y'sqrt( / )
Different phase advance for different energy particles.
y/sqrt(  )
y/sqrt(  )
y y
y
y
y
y'sqrt( / )
y
y'sqrt( / )
y y
y/sqrt(  )
y y
y/sqrt(  )
y y
49
線形（1次）のdispersion があると、その後４極磁石
を通る度に、より高次のdispersionが発生する。
1次のdispersion
1次+2次+3次のdispersion
1次+２次のdispersion
１００台の4極磁石百次dispersion
50
Dispersive effect
線形  非線形
• 電磁場による角度変化は 1/E に比例：軌道はエネルギーに依るが、始
めは（ほぼ）線形の依存。しかし、
– このビームがさらに四極磁場を通るたびに高次の依存性が生じる。
• ビームが設計軌道からずれると、「Filamentation」により、エネルギーに
非線形依存する軌道のずれが生じる。
• 線形の依存 (linear dispersion) は測定し、補正することが可能。非線形
の依存の場合は困難。
– Linear dispersion をあらゆる場所で測定して補正すべし。 (非線形
依存が大きくなる前に)
51
DFS (Dispersion Free Steering)
• この補正の基本:
– ビームのエネルギーを変えて軌道を測定する。
– エネルギーによる軌道変化（の設計値からのずれ）を
小さくするようにsteering magnet をセット
• ビームエネルギーを 10% 程度変える必要がある。
• Curved Linac （地球が丸いので）
 設計 Dispersion がゼロでない
– 「DMS (Dispersion Matching Steering)」
52
軌道補正の様子
全ての四極磁石の中心を通す（one to one correction）
ある長さ（ベータ関数程度）での軌道角度の変化を小さくする：
（Dispersion 補正をすると結果としてこのようになる）
53
規格化エミッタンス 10%（2 nm）増加する４極磁石の設置誤差
補正による違い
補正なし
300 nm
One to one
15 mm
Dispersion 補正
> 500 mm
(BPM resolution が重要)
Main Linac 静的誤差の許容値（TDR）
~4 nm
vertical emittance growth
ビーム軌道の変動と、それによるエミッタンス増大
Source
Assumption
(Tolerance)
Induced
orbit jitter
Induced emittance
growth
Quad vibration (offset change)
100 nm
1.5 sigma
0.2 nm
Quad+steering strength jitter
1E-4
1 sigma
0.1 nm
Cavity tilt change
3 urad
0.8 sigma
0.5 nm
Cavity to cavity strength
change, assuming 300 urad
fixed tilt
1%
0.8 sigma
0.5 nm
Tolerances, tolerable timescale depend on feedback performance.
56
32
まとめ
• ベータトロン振動、エミッタンス
• Wakefeild
• Main Linac ビーム力学
extra
Require each cavity accelerating voltage
Vector sum control:
flatness
Flat total acc. Voltage
Non flat total transverse kick
Vc
Total Vc
time
time
Total
Transverse kick
Transverse kick
time
time
Vector sum (total acceleration) だけでなく、
個々の空洞の電圧を一定にすることが必要
Damping of Higher Order Mode Wakefield
Two HOM Couplers at both sides of a cavity
TESLA-TDR
Special shapes:
Accelerating mode should be stopped.
HOM should go through.
- trapped mode may cause problem.
TESLA-TDR
Wakefunction envelope from HOMs (from TESLA-TDR)
with/without random detuning (50 cavities) and damping
(V/pC/m )
No detuning
2
100
W
envelope
10
 =0, no damp
f
 =0, damp
1
f
0
3
3
1 10
2 10
3 10
3
4 10
3
3
5 10
6 10
3
fs =0.1%, no damp
f
 =0.1%, damp
100
f
10
W
envelope
2
Random detuning
f/f=0.1%
(V/pC/m )
time (ns)
1
0
3
1 10
3
2 10
3 10
3
time (ns)
4 10
3
3
5 10
6 10
3

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