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線形代数宿題４ [2015・後] 担当:
梅原情報 (水 1-2), 応化 (金 3-4)
マルせよ→（情報・応化）学籍番号
[4]
氏名
注意事項
1. 宿題の提出にあたっては次の指定を守ること。指定が守られていないものは受け付けない。
この用紙を用いること。または授業 web ページからプリントアウトしたものを用いてもよい。後者の場合,
A4 用紙とし, 両面印刷にすること。※紙を付け足す場合も A4 用紙とし, クリップ止めにしてください。
2. 略解（解説）を授業 web ページに掲載します。独力で解いたあと、略解を見て自分で添削を済ませて提出する
こと。質問を書き込んでもかまいません。提出先：A209
提出期限:
情報
応化
→ 2015 年 11 月 09 日（月）13:00
→
10 月 28 日（水）13:00
[
問 1 授業の復習のため, 教科書 pp.92∼96 を読み
(3) P12 (k)A =
なさい. なお, 教科書に出てくる 3 種類の行列
Jn (i, j),
Qn (i; c),
Kn (i, j; c)
[
は, それぞれ, 授業中の記号では,
(4) AP12 (k) =
Pij , Pi (c), Pij (c)

に対応する. これらは基本行列と呼ばれるもので


(5) P13 B = 


ある.
教科書を読んだら, 次の問題に取り組みなさい.
行列

[
A=
]
b1
,
b2
a1
a2
に対して,
[
(1) A に, P2 (k) =
a1

 a2
B=
 a
 3
a4
1
0
0
k
b1
b2
b3







(6) BP12
b4
]
(3) A に, P12 (k) =
1 k
0
あ
]
1
あ
を左からかけよ.
あ
あ
(4) A に, P12 (k) を右からかけよ.
あ

あ
(5) B に, P13
0 0

 0 1
=
 1 0

0 0
[
(6) B に, P12 =
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1

あ


 を左からかけよ.


あ
あ
あ
あ
]
あ
を右からかけよ.
あ
あ
あ
[
[略解（解説）] (1) P2 (k)A =
[
(2) AP2 (k) =
a1
a2
kb1
kb2
a1
ka2
b1
kb2
b1 + kb2
a2
b2
a1
ka1 + b1
a2
ka2 + b2
a3
a2
a1
b3
b2
b1
a4
b4
b1

 b2
=
 b
 3
b4
]
]







a1

a2 

a3 

a4
(終わり)
を左からかけよ.
(2) A に, P2 (k) を右からかけよ.
[
a1 + ka2
あ
]
あ
あ
]
あ
あ
あ
1
問2
P12
かめられる. よって, この X が P12 −1 である. ま
次の 3 つの行列


0 1 0


= 1 0 0,
0
0


0

0
1 0

P3 (k) =  0 1
0 0
1

た, 見てすぐわかるように,

0 1

−1
P12 =  1 0
k

0 0

1 0
0 1
1

P31 (k) =  0
k
0 0
0


0  = P12
1
である.
他の 2 つについても, 上と同様にして,


1 0
0


P3 (k)−1 =  0 1
0  = P3 (1/k)
はどれも逆行列をもつ. ただし, P3 (k) のときの k
は, k ̸= 0 とする. それぞれの逆行列を求めよ. ま
た, 求めた逆行列が基本行列になっていることを示
せ. (教 p.96, 問 3.11)
P31 (k)−1
0 0 1/k


1 0 0


=  0 1 0  = P31 (−k)
−k
0
1
[略解（解説）] (1) 逆行列の求め方については, 宿
題 2, 問 3(2) などを復習すること. おさらいする
と,「行列 X が行列 A の逆行列である」ことの定
と求められる. 各自きちんと示すこと.
義は,
られる行列の「1 行目と 2 行目を入れ替える」こと
AX = E かつ XA = E
(終わり)
(補足) 「行列 P12 を左からかける」ことは, かけ
と同等である. また,「1 行目と 2 行目を入れ替え
(E は単位行列)
る」ことの逆の操作は, やはり「1 行目と 2 行目を
入れ替える」ことである. この意味で, P12 −1 の逆
が成り立つことであった. この二式を満たす X を,
−1
X = A と書くのであった. A が与えられたと
きに X を求める方法のひとつは, X のすべての成
行列が P12 に等しくなっていることが理解される.
分を具体的に文字で置いて, 式に代入することであ
P3 (k)−1 = P3 (1/k),
他の 2 つについても,
る. ここでは, そのようにして求める (後ほど, 逆
P31 (k)−1 = P31 (−k)
行列を求める別の強力な方法を教えます）.
という数式の結果を, 操作 (行基本変形) という観
P12 X = E を満たす X を求める. X を,


a b c


X= d e f 
g h i
点から, 同様に理解されたい.
あ
あ
あ
あ
あ
とおき, E = P12 X に代入すると,

1 0

0 1
0 0
 
0
0 1
 
0= 1 0

0
a

0d

c

f
あ
b
e
1
1
h
i
あ
0 0

g
あ
あ

あ
d e f


= a b c 
g h i
あ
あ
あ
となる. よって,


 a = 0,
d = 1,


g = 0,
であるから,
あ
b = 1,
e = 0,
c = 0,
f = 0,
あ
あ
—– 通信欄（授業や宿題に関して何かあれば） ——
あ
h = 0, i = 1

0

X = 1
0
あ

1
0
0

0
あ
0
1
あ
あ
あ
となる. この X が XP12 = E を満たすことも確
あ
2

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