week.9

【13.1】
双曲線
C1 : ax2 − by2 = 1,
C2 : ax2 − by2 = −1
(a > 0, b > 0)
を考える.
C1 上の点 P(x0 , y0 ) (x0 > 0) に対して, P における C1 の接線と C2 との交点を Q1 , Q2 とする.
更に, C2 上の点 Q1 , Q2 における 2 接線の交点を R とする.
P が C1 の x > 0 の部分を動くとき, R の軌跡の方程式を求めよ.
【解答】
y
P(x0 , y0 ) (x0 > 0) における C1 の接線は,
ax0 x − by0 y = 1 (x0 > 0)
x
· · · · · · (1.1)
Q1( 1,
Q1 (x1 , y1 ), Q2 (x2 , y2 ) における C2 の接線は,
(
ax1 x − by1 y = −1 · · · · · · (1.2)
ax2 x − by2 y = −1
x
P( 0,
y0)
x
· · · · · · (1.3)
x
R( 3,
(1.2), (1.3) が R(x3 , y3 ) で交わるとき,
(
ax1 x3 − by1 y3 = −1
y1)
y3)
x
Q2( 2,
y2)
· · · · · · (1.4)
ax2 x3 − by2 y3 = −1
が同時に成り立ち, 直線
a(−x3 )x − b(−y3 )y = 1
· · · · · · (1.5)
が 2 点 Q1 , Q2 を同時に通ることを意味する.
従って, (1.5), (1.1) は同一直線と考えられ,
−x3 = x0 (> 0) ∧ −y3 = y0
· · · · · · (1.6)
ax0 2 − by0 2 = 1 ∧ x0 > 0
· · · · · · (1.7)
ax3 2 − by3 2 = 1 ∧ x3 < 0
· · · · · · (1.8)
更に, P(x0 , y0 ) は C1 上にあるから,
(1.6), (1.7) により,
従って, R の軌跡は C1 の左側の部分, 即ち,
ax2 − by2 = 1 ∧ x < 0
1
ARISTOS
· · · · · · (1.9)
【13.2】
長軸の長さ 4, 短軸の長さ 2 の楕円に囲まれた領域を D1 とする.
この楕円の短軸の方向に領域 D1 を
√
√
6− 2 ³
π´
= 2 sin
2
12
だけ平行移動して得られる領域を D2 とするとき,
D1 , D2 の共通部分の領域 D = D1 ∩ D2 の面積を求めよ.
【解答】
y
D1 の境界の楕円を
Fig.1
x2
+ y2 = 1
4
1
· · · · · · (2.1)
y=
D2 の境界の楕円を
Ã
√ !2
√
x2
6− 2
=1
+ y−
4
2
−2
2
ã −ã
2
6
4
x
· · · · · · (2.2)
−1
として一般性を失わない.
y'
Fig.2
このとき, 変換
Fig.3
y'
x
= x0 ∧ y = y0
2
· · · · · · (2.3)
ã −ã
2
6
4
による (2.1), (2.2) の像は,
B
150

x'
x'
O



(x0 )2 + (y0 )2 = 1
√ ¶2
√
µ
6
−
2
0
2
0

=1
 (x ) + y −
2
· · · · · · (2.4)
x
2
+y
2
=1
x
2
+y
2
=1
· · · · · · (2.5)
であり, 題意の共通領域 D の面積 (Fig.1) は, (2.4), (2.5) の囲む領域の面積 (Fig.2) の 2 倍である.
ここで, (2.4), (2.5) の交点の y0 座標は,
√ ¶
√
√
√
µ
6− 2 2
6− 2
π
0
0
(y ) − y −
= 0 ⇐⇒ y =
= sin
2
4
12
· · · · · · (2.6)
∠OAB = ∠OBA = 15◦ ∧ ∠AOB = 150◦
· · · · · · (2.7)
¶
µ
5π 1
150◦ 1
2
◦
− × 1 × sin 150 =
−
2× π ×
◦
360
2
6
2
· · · · · · (2.8)
5π
−1
3
· · · · · · (2.9)
0 2
であり, Fig.3 において,
従って, Fig.2 網目部の面積は,
即ち, Fig.1 網目部の面積は,
1
ARISTOS
A
【13.3】
xy 平面上において, 2 定点
F1 (a, a),
F2 (−a, −a) (a > 0)
· · · · · · (3.1)
からの距離の積が一定値 2a2 となる点 P の軌跡を C とする.
(1) 直交座標 (x, y) に関する C の方程式を求めよ.
(2) 原点を極, x 軸の正の部分を始線とする極座標 (r, θ ) に関する C の方程式を求めよ.
(3) C の囲む閉領域の面積を求めよ.
(4) 反転
x0 =
2a2 x
,
x2 + y2
y0 =
2a2 y
x2 + y2
· · · · · · (3.2)
による C の像 C0 の方程式を x0 , y0 の関係式の形で導け.
【解説】
(1) P(x, y) と置けば,
(
PF1 2 = (x − a)2 + (y − a)2 = x2 + y2 + 2a2 − 2a(x + y)
PF2 2 = (x + a)2 + (y + a)2 = x2 + y2 + 2a2 + 2a(x + y)
· · · · · · (3.3)
このとき,
PF1 2 × PF2 2 = (2a2 )2
· · · · · · (3.4)
(x2 + y2 + 2a2 )2 − 4a2 (x + y)2 = 4a4 ⇐⇒ (x2 + y2 )2 = 8a2 xy
· · · · · · (3.5)
より,
(2) x = r cos θ , y = r sin θ を (3.5) に代入して,
r4 = 4a2 r2 sin 2θ ⇐⇒ r2 = 4a2 sin 2θ ∨ r = 0
ここで, (3.6) の第 1 式は,
0≤θ ≤
π
3π
∨ π ≤θ ≤
2
2
· · · · · · (3.6)
· · · · · · (3.7)
で定義されると考えてよく,
第 2 式は θ = 0, π として第 1 式に含まれるので,
√
r2 = 4a2 sin 2θ ⇐⇒ r = 2a sin 2θ
(3) (3.5) により, C は直線 y = x に関して対称であり, 原点対称でもあるから,
·
¸π
Z π
Z π
4
4
1 4 2
1
2
2
4×
r dθ = 8a ×
sin 2θ dθ = 8a × − cos 2θ = 4a2
2 0
2
0
0
· · · · · · (3.8)
· · · · · · (3.9)
(4) (3.2) を x, y について解いて,
x=
2a2 x0
,
(x0 )2 + (y0 )2
y=
2a2 y0
(x0 )2 + (y0 )2
(3.10) を (3.5) に代入して,
µ
¶2
4a4 (x0 )2
4a4 (y0 )2
2a2 y0
1
2a2 x0
2
+
×
⇐⇒ x0 y0 = a2
=
8a
×
((x0 )2 + (y0 )2 )2 ((x0 )2 + (y0 )2 )2
(x0 )2 + (y0 )2 (x0 )2 + (y0 )2
2
[Note] a = 1 の場合のグラフを次頁に記す.
1
ARISTOS
· · · · · · (3.10)
· · · · · · (3.11)
2
2*sqrt(sin(2*t))
sqrt(2)
1.5
1
0.5
0
− 0.5
−1
− 1.5
−2
−2
2
ARISTOS
− 1.5
−1
− 0.5
0
0.5
1
1.5
2
【13.4】
座標軸上にない点 P(x0 , y0 ) を通る曲線
x2
a2 − λ
y2
+
b2 − λ
(a > b > 0, λ 6= b2 , λ < a2 )
=1
· · · · · · (4.1)
は 2 個存在し, それぞれ楕円と双曲線であることを示せ.
また, 2 曲線は P において直交することを示せ.
【解答】
(4.1) が P(x0 , y0 ) を通るとき,
x0 2
2
a −λ
+
y0 2
2
b −λ
=1
u(λ)
· · · · · · (4.2)
(4.2) を (同値) 変形して,
λ1
(λ − a )(λ − b ) + y0 (λ − a ) + x0 (λ − b ) = 0
2
2
2
2
2
2
λ2
b2
· · · · · · (4.3)
λ
a2
(4.3) の左辺を u(λ ) と表せば,
u(a2 ) = x0 2 (a2 − b2 ) > 0 ∧ u(b2 ) = −y0 2 (a2 − b2 ) < 0
¡
¢
∵ a2 > b2 > 0
· · · · · · (4.4)
ここで, u(λ ) = 0 の解を λ1 , λ2 (λ1 < λ2 ) と表せば, u(λ ) のグラフより,
λ1 < b2 < λ2 < a2
• λ = λ1 の場合;
· · · · · · (4.5)
=1
¡ 2
¢
a − λ1 > 0 ∧ b2 − λ1 > 0
· · · · · · (4.6)
x2
y2
−
=1
a2 − λ2 λ2 − b2
¢
¡ 2
a − λ2 > 0 ∧ λ2 − b2 > 0
· · · · · · (4.7)
x2
a2 − λ
+
1
y2
b2 − λ1
は P(x0 , y0 ) を通る楕円を表す.
• λ = λ2 の場合;
は P(x0 , y0 ) を通る双曲線を表す.
次に, 楕円上の点 P における接線とその法線ベクトルは,
x0 

 2
→
−
n1 = a y−0 λ1 
b2 − λ 1

x0
2
a −λ
x+
1
y0
2
b −λ
y = 1,
1
· · · · · · (4.8)
更に, 双曲線上の点 P における接線とその法線ベクトルは,

y0
x0
x−
y = 1,
a2 − λ2
λ 2 − b2
1
ARISTOS

→
−
n2 =
x0
a2 − λ

2 
y0 
−
λ2 − b2
· · · · · · (4.9)
このとき, (4.8), (4.9) により,
→
−
−
n1 · →
n2 =
(a2 − λ
x0 2
y0 2
+ 2
2
(b − λ1 )(b2 − λ2 )
1 )(a − λ2 )
=
ここで, 2 次方程式
a4 − (λ
y0 2
x0 2
+ 4
2
b − (λ1 + λ2 )b2 + λ1 λ2
1 + λ2 )a + λ1 λ2
· · · · · · (4.10)
¡
¢
λ 2 − a2 + b2 − x0 2 − y0 2 λ + a2 b2 − a2 y0 2 − b2 x0 2 = 0
における解と係数の関係により,
(
· · · · · · (4.3)
λ1 + λ2 = a2 + b2 − x0 2 − y0 2
· · · · · · (4.11)
λ1 λ2 = a2 b2 − a2 y0 2 − b2 x0 2
(4.11) を用いて (4.10) を書き換えれば,
→
−
−
n1 · →
n2 =
x0 2
4
2
2
2
2
a − (a + b − x0 − y0 )a2 + a2 b2 − a2 y0 2 − b2 x0 2
y0 2
+ 4
b − (a2 + b2 − x0 2 − y0 2 )b2 + a2 b2 − a2 y0 2 − b2 x0 2
=
1
1
+
=0
a2 − b2 b2 − a2
· · · · · · (4.12)
(4.12) により, 楕円と双曲線は P において直交する.
y
[Note] 共焦点の楕円と双曲線が交点において直
2
1
L
L
交するという事実はほとんど自明である. 右図の
ように P における楕円, 双曲線の接線を L1 , L2 と
すれば, 直線 FP, F0 P のなす角について,

0

 ∠F PL1 = ∠FPL1 = ω
∠F0 PQ = ∠FPQ = θ


2ω + 2θ = π
∴ ∠QPF0 + ∠F0 PL1 = θ + ω =
θθ
ω
1
L
F'
π
2
即ち, L1 , L2 は P において直交する.
2
ARISTOS
θ
P
ω
O
Q
F
x

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