演算装置の設計
１．組み合わせ回路の論理設計
○
：与えられた入力に対
して出力が一意的に決まる論理回路
（入出力関係を
で表現）
組み合わせ回路の論理設計の手順
１）機能を論理関数で表現
２）論理関数の簡単化
３）論理回路を求める
論理演算
NOT
NAND
NOR
AND
記号
−
↑
↓
・
優先順位
１
２
３
４
OR
∨
⊕
EXOR
５
６
論理素子
○基本演算の完全系：
→
が表せる基本演算の組
＜AND,OR,NOT＞
＜AND,NOT＞
＜OR,NOT＞
＜NAND＞
○ 表現の簡単さ
→＜AND,OR,NOT＞を用いる
AND−OR−NOT 系の基本公式
1)x∨x=x
2)x∨y= y∨x
3)x∨(y∨z)
=(x∨y)∨z
4)x・(y∨z)
=(x・y)∨(x・z)
5)x∨(x・y)=x
6)1∨x=1
7)0∨x=x
x・x=x
x・y= y・x
x・(y・z)
=(x・y)・z
x∨(y・z)
=(x∨y) ・(x∨z)
x・(x∨y)=x
1・x=x
0・x=0
8)x∨ x =1
x・ x =0
9) ( x ∨ y ) = ( x • y )
( x • y) = ( x ∨ y )
２）交換則
３）結合則
４）分配則
5,6,7）吸収則
８）補元則
９）ド・モルガンの法則
１）同一則
○ 論理関数
例）３入力の多数決をとる関数
真理値表
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
f
0
0
0
1
0
1
1
1
○論理関数の作成（
）
→出力が１のときの入力に対し、変
を、０のとき
数の値が１のときは
を作り、それを
で結合し
は
で結
た最小項を作り、それらを
合→ f = x yz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz
○論理関数の簡単化
方法１：基本公式を利用
f = x yz ∨ xy z ∨ xyz ∨ xyz
= x yz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz
= ( x ∨ x ) yz ∨ x ( y ∨ y ) z ∨ xy ( z ∨ z )
= yz ∨ xz ∨ xy
○論理回路
方法２：ベイチ図（マス目が最小項）
［簡単化の手順］
(1) 論理関数を最小項の和で表す。
(2) 各最小項に対応する区画（マス目）に
１を記入
(3) 1 の区画を２のべき乗（例えば２、４、８、
16）個で最大となるループで囲む。
・図の上下・左右は巡回状に隣接
・ループは共通部をもってもよい。
(4) 各ループに対応する項の和が簡略化
された式（ただし、値 1 の最小項
を最小限 1 つのループが囲んでい
ればよく、すべてのループの論理
和をとる必要はない。）
［例］3 変数の場合
ベイチ図
最も簡略化された式
方法３：カルノー図
例）４入力Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄに対し、４出力Ｙ１，Ｙ２，Ｙ３，Ｙ４
が真理値表のように得られる組み合わせ回路の論理関
数を簡単化された形で求める。
真理値表
ＡＢＣＤ
Ｙ１Ｙ２Ｙ３Ｙ４
００００
１
０
０
０
１０００
０
１
０
０
０１００
１
１
０
０
１１００
０
０
１
０
００１０
１
０
１
０
１０１０
０
１
１
０
０１１０
１
１
１
０
１１１０
０
０
０
１
０００１
１
０
０
１
１００１
０
０
０
０
カルノー図の作成
１）４入力の場合、入力Ａ、Ｂを縦に、入力Ｃ、Ｄを横に配
した図を作成（隣通しで 1 ビットだけ変わるように）（使わ
ない組み合わせも横線―で記入）
ＡＢ／ＣＤ００１０１１０１
００
−
１０
−
１１
−
−
０１
−
−
２）この表を出力の数と同じ４つ作成し、それぞれの出力
について出力が１になる組み合わせのマス目に１を記入。
３）２のべき乗（１、２、４、８、１６、）で、できるだけ大きな１
のまとまり（―も含む）を○で囲む（全ての１が含まれるよ
うに、また同じ１が複数の○に囲まれても可）（但し、上下、
左右は繋がっているものと考える）
４）各○に対応した論理積項の論理和を求める
Ｙ１＝ A
Ｙ２＝ AB D ∨ A B
Ｙ３＝ A C ∨ B C ∨ ABC
Ｙ４＝ A D ∨ ABC