2学期中間数学演習a⑦ ( )組( )番名前( )

2学期中間数学演習a⑦
(　)組(　)番　名前(　)　１
次の 2 つの整数の最大公約数を，互除法を用いて求めよ。
(1)　323，884　(2)　943，1058　(3)　1829，2077
２
次の等式を満たす整数 x，y の組を 1 つ求めよ。
(1)　19x +26y =1 (2)　19x +26y =-2
３
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1)　37x +103y =4 (2)　37x +103y =793
-1-
１
解説
(1)　884=323 ･ 2+238
4
17 68
68
0
323=238 ･ 1+85
238=85 ･ 2+68
85=68 ･ 1+17
1
85
68
17
2
238
170
68
1
323
238
85
2
884
646
238
68=17 ･ 4
よって，最大公約数は　17
5
23 115
115
0
(2)　1058=943 ･ 1+115
943=115 ･ 8+23
115=23 ･ 5
よって，最大公約数は　23
8
943
920
23
1
1058
943
115
(3)　2077=1829･1+248
1829=248･7+93
2
31 62
62
0
248=93･2+62
93=62･1+31
62=31･2
よって，最大公約数は　31
２
解説
(1)　26=19 ･ 1+7 移項すると　7=26-19 ･ 1
19=7 ･ 2+5 移項すると　5=19-7 ･ 2
7=5 ･ 1+2 移項すると　2=7-5 ･ 1
5=2 ･ 2+1 移項すると　1=5-2 ･ 2
よって　1=5-2 ･ 2 =5- 0 7-5 ･ 1 1 ･ 2
=5 ･ 3-7 ･ 2 = 0 19-7 ･ 2 1 ･ 3-7 ･ 2
=19 ･ 3+7 ･ 0 -8 1 =19 ･ 3+ 0 26-19 ･ 1 1 ･ 0 -8 1
=19 ･ 11+26 ･ 0 -8 1
すなわち　19 ･ 11+26 ･ 0 -8 1 =1 …… ①
したがって，求める整数 x，y の組の 1 つは
x =11 ，y =-8
(2)　① の両辺に -2 を掛けると
19 ･ 6 11 ･ 0 -2 1 7 +26 ･ 60 -8 1 ･ 0 -2 1 7 =-2
すなわち　19 ･ 0 -22 1 +26 ･ 16=-2
したがって，求める整数 x，y の組の 1 つは
x =-22 ，y =16
t　26=19 ･ 1+7
19=7 ･ 3-2 から
-2=19+7 ･ 0 -3 1
=19+0 26 - 19 ･ 1 1 ･ 0 -3 1
-2-
1
93
62
31
2
248
186
62
7
1829
1736
93
1
2077
1829
248
=19 ･ 4+26 ･ 0 -3 1
よって，x =4 ，y =-3
３
解説
(1)　37x +103y =4 …… ① とし，m =37 ，n =103 とする。
103=37 % 3-8 から
8=3m - n
37=8 % 5-3 から
3=8 % 5-37= 0 3m - n 1 % 5- m =14m -5n
8=3 % 3-1 から
1=3 % 3-8= 0 14m -5n 1 % 3- 0 3m - n 1
=39m -14n
ゆえに　37 % 39+103 % 0 -14 1 =1
両辺に 4 を掛けて
37 % 0 39 % 4 1 +103 % 0 -14 % 4 1 =4
よって　37 % 156+103 % 0 -56 1 =4 …… ②
① - ② から
370 x -156 1 +1030 y +56 1 =0
+　1030 y +56 1 =-370 x -156 1
37 と 103 は互いに素であるから，k を整数として
x -156=103k，y +56=-37k
と表される。
したがって，求める整数解は　x =103k +156 ，y =-37k -56 (k は整数)
(2)　793=37 % 21+16 であるから　37x +103y =37 % 21+16
ゆえに　370 x -21 1 +103y =16 …… ③
(1) の ② の両辺を 4 倍して
37 % 624+103 % 0 -224 1 =16 …… ④
③ - ④ から
370 x -645 1 +1030 y +224 1 =0
+　1030 y +224 1 =-370 x -645 1
37 と 103 は互いに素であるから，k を整数として
x -645=103k，y +224=-37k
と表される。
したがって，求める整数解は　x =103k +645 ，y =-37k -224 (k は整数)
t　37 を法とする合同式を考える。
(1)　1036-8 (mod 37) であるから
-8y64 (mod 37)
0 -4 1 ･ 2y60 -4 1 ･ 0 -1 1 (mod 37)
4 と 37 は互いに素であるから
2y6-1 (mod 37)
-3-
-1636 (mod 37) であるから　2y636 (mod 37)
2 と 37 は互いに素であるから　y618 (mod 37)
ゆえに，k を整数として y =37k +18 と表される。
このとき　37x +1030 37k +18 1 =4
+　37x =-103 % 37k -1850
よって　x =-103k -50
したがって，求める整数解は　x =-103k -50 ，y =37k +18 (k は整数)
(2)　793616 (mod 37) であるから，(1) と同様にして
-8y616 (mod 37)
8 と 37 は互いに素であるから　y6-2 (mod 37)
よって，k を整数として y =37k -2 と表される。
このとき　37x +1030 37k -2 1 =793 から
x =-103k +27
したがって，求める整数解は　x =-103k +27 ，y =37k -2 (k は整数)
-4-

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