演習問題(7)解答例

第 7 回解答
(
)
(
)
(
)
L
L L
L
L
[1] (a) 電荷を置く 3 点を A1 √ , 0 , A2 − √ ,
, A3 − √ , −
とし、それぞれの位置ベ
2
3
2 3 2
2 3
クトルを r1 , r2 , r3 とも表すことにする。A1 , A2 , A3 にある電荷が位置 r につくる電場をそれぞ
れ E1 (r), E2 (r), E3 (r) とすると、
Ei (r) =
Q r − ri
4πϵ0 |r − ri |3
のように表せる。(i = 1, 2, 3)
対称性からも明らかではあるが、
L
|r1 | = |r2 | = |r3 | = √
3
√ }
√
L {
r1 + r2 + r3 = √ (2, 0) + (−1, 3) + (−1, − 3) = (0, 0)
2 3
に注意すると、三角形の中心 (この座標設定では原点) での電場 E(0) は
E(0) = E1 (0) + E2 (0) + E3 (0)
( √ )3
Q2
3
=
(−r1 − r2 − r3 ) = 0
4πϵ0
L
(b) まず、A1 にある電荷が受ける力 F1 を考える。
F1 = Q[E2 (r1 ) + E3 (r1 )]
=
|r1 | = |r2 | = |r3 | =
L
√
3
Q2 1
3Q2
(r
−
r
+
r
−
r
)
=
r1
1
2
1
3
4πϵ0 L3
4πϵ0 L3
と、対称性を踏まえると、
各電荷は原点からそれぞれの電荷へと向かう向きに、大きさ
√
3Q2
の力を受ける。
4πϵ0 L2
[2] 次の図のように、細い棒の弧が 0 ≤ y で、原点が半円の中心となるように座標系を取る。
√
半円の半径を r として、細い棒が通っている点 (x, y) は y = r2 − x2
以下の説明で、θ は x 軸正の方向から反時計回りの方向への角度とする。対称性から、原点での電場
は y 軸下向きである。細い棒上の θ から θ + dθ の間にある微小電荷 dQ が原点に作る微小電場 dE(電
場の y 成分のみ考える) は、
dE =
dQ 1
(− sin θ)
4πϵ0 r2
であり、dQ は 0 ≤ θ ≤ π で一様に分布していることから、
dQ = Q ·
よって、原点での電場は
∫
E=
∫
dE =
0
π
dθ
π
Q − sin θ dθ
Q
=− 2 2
4πϵ0 r2 π
2π ϵ0 r
この式に、Q = 1.0 × 10−5 [C](µ は 10−6 を表すマイクロ)、ϵ0 = 8.854 × 10−12 [m−3 kg−1 s4 A2 ]、
r = 0.1[m]、π = 3.14 を代入して計算することで E = |E| = 5.728 × 106 [N/C] となる。
従って、半円の中心での電場は、大きさ 5.728 × 106 [N/C] で、向きは半円の棒の両端を結ぶ線分に
垂直で、半円とは逆側へ向かう向きである。
[3] ベクトル場は下の図のようになります。(見やすくするため) 矢印の長さは調整しても構いませんが、
大きさの比は守ってください。
(a)
(b)

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