数学を学ぶ (微分積分 2)・授業用アブストラクト §1. 無限級数の定義

2015 年 9 月 24 日
No.1
数学を学ぶ (微分積分 2)・授業用アブストラクト
§1. 無限級数の定義
ここでは、(無限) 級数という概念を導入し、級数の収束と発散、級数の和を定義する。後半
∞
∑
1
では、正項級数が収束するための必要十分条件を述べ、
が収束することを示したり、小
n2
n=1
学校以来親しんで来た「小数」の意味を考える。
● 1 - 1 : 級数とは
数列 {an }∞
n=1 に対して、その各項を初項から順番に + という記号でつないだ‘ 形式和 ’
a1 + a2 + · · · + an + · · · · · ·
を無限級数、または、単に、級数と呼び、
∞
∑
(1 - 1 a)
an
n=1
と書き表わす。ここで、足し算の記号 + や和の記号
∑
を用いているが、足し算を実行した結
果を表わしているわけではないことに注意する。
例 1 -1 -1
∞ 1
∑
(1) 級数
を調和級数という。
n=1 n
∞
∑
(2) 実数 a, r に対して、級数
arn−1 を初項 a、公比 r の (無限) 等比級数という。
n=1
● 1 - 2 : 級数の収束
∞
∑
級数
an に対して、第 1 項から第 n 項までの和
n=1
(1 - 2 a)
Sn =
n
∑
ak
k=1
を第 n 部分和という。
第 n 部分和を第 n 項とする数列 {Sn }∞
n=1 が収束するとき、級数
極限値
(1 - 2 b)
を級数
∞
∑
an は収束するといい、
n=1
S = lim Sn
n→∞
∞
∑
an の和と呼ぶ。和 S も級数と同じ記号
n=1
る級数に対して、記号
∞
∑
∞
∑
an で書き表わす。したがって、収束す
n=1
an は、形式和と実数の２つの意味を持つことになる。どちらの意味
n=1
で使っているのかは、前後の文脈で判断する。
–1–
例 1 -2 -1
無限等比級数
∞
∑
(1 - 2 c)
arn−1
n=1
は |r| < 1 のとき収束し、そのときの和は
(証明)
a
である。
1−r
Sn を与えられた級数の第 n 部分和とする。Sn − rSn を計算することにより、r ̸= 1 のとき、
a(1 − rn )
1−r
n
となることがわかる。|r| < 1 のとき、 lim r = 0 であるから、{Sn }∞
n=1 は収束して、
(1 - 2 d)
Sn =
n→∞
∞
∑
a(1 − rn )
a
=
n→∞
1−r
1−r
arn−1 = lim Sn = lim
n→∞
n=1
□
となることがわかる。
● 1 - 3 : 級数の収束と線形性
∞
∞
∑
∑
級数
an ,
bn が収束するとき次の (i),(ii) が成り立つ。
n=1
(i) 級数
n=1
∞
∑
(an + bn ) も収束して、その和について、
n=1
∞
∑
(1 - 3 a)
(an + bn ) =
n=1
an +
n=1
(ii) 任意の実数 k に対して、級数
(1 - 3 b)
∞
∑
∞
∑
∞
∑
bn .
n=1
(kan ) も収束して、その和について、
n=1
∞
∑
∞
∑
n=1
n=1
(kan ) = k
an .
● 1 - 4 : +∞ に発散する級数
∞
∑
級数
an が +∞ に発散するとは、その第 n 部分和を第 n 項とする数列 {Sn }∞
n=1 が +∞
n=1
に発散するときをいい、これを
∞
∑
(1 - 4 a)
an = +∞
n=1
と書き表わす。
例 1 -4 -1
(証明)
調和級数
∞ 1
∑
は +∞ に発散する。
n=1 n
自然数 k = 1, 2, 3, . . . を１つ固定すると、k ≤ x なる任意の x ∈ R に対して、
1
1
≥
k
x
であるから、不等式
∫ k+1
∫ k+1
1
1
1
=
dx ≥
dx
k
k
x
k
k
–2–
を得る。この両辺を k が 1 のときから n のときまで足し上げると、調和級数の第 n 部分和 Sn
について
∫ n+1
n
n ∫
∑
1
1 ∑ k+1 1
Sn =
≥
dx =
dx = log(n + 1)
k
x
x
k
1
k=1
k=1
が成り立つ。ここで、n → ∞ のとき log(n + 1) → +∞ であるから、Sn → +∞ とわかる。つ
□
まり、調和級数は +∞ に発散する。
● 1 - 5 : 正項級数
∞
∑
級数
an が正項級数であるとは、すべての n について an ≥ 0 であるときをいう。
n=1
正項級数の第 n 部分和を第 n 項とする数列は単調増加列であることから、正項級数につい
ては、収束するか、+∞ に発散するか、のどちらか一方のみが成り立つ。
定理 1 - 5 - 1
∞
n
{∑
}∞
∑
正項級数
an が収束するための必要十分条件は、数列
ak n=1 が上に有界になるこ
n=1
k=1
とである。
例 1 -5 -2
正項級数
∞
∑
1
1
1 1
+ ···
=1+ + +
2
n
4 9 16
(1 - 5 a)
n=1
は収束する。
(証明)
n ≥ 2 に対して
n
n (
n
∑
∑
∑
1
1
1)
1
1
=
−
≤
=1− <1
2
k
(k − 1)k
k−1 k
n
k=2
k=2
k=2
{∑
n 1 }∞
となるから、数列
は上に有界である。よって、正項級数 (1 -5 a) は収束する。 □
2 n=1
k=1 k
∞ 1
∑
は収束する。その和を ζ(α)
α
n=1 n
と書き、ゼータ関数値という。実は、ζ(2) = π 2 /6 = 1.644934066848226..... である。
注意 1 - 5 - 3 一般に、実数 α > 1 について、無限級数
● 1 - 6 : 実数の m 進小数表示
m を 2 以上の整数とする。このとき、次の形の正項級数
∞
∑
an
(an = 0, 1, · · · , m − 1)
(1 - 6 a)
mn
n=1
は常に収束し、その和は [0, 1] の中にある。逆に、任意の実数 x ∈ [0, 1] は (1 - 6 a) の形の級数
の和として表わされる。実際、x = 1 のとき、
∞
∞
1
∑
∑
1
m−1
m
=
(m
−
1)
=
(m
−
1)
(1 - 6 b)
1 =1
mn
mn
1− m
n=1
n=1
–3–
と表わされる。
0 ≤ x < 1 のとき、0 ≤ mx < m であるから、a1 ≤ mx < a1 +1 を満たす a1 ∈ {0, 1, · · · , m−
1} が見つかる。このとき、x1 = mx−a1 とおくと、0 ≤ x1 < 1 となる。今の操作を x1 に対して
行うことにより、a2 ≤ mx1 < a2 +1 を満たす a2 ∈ {0, 1, · · · , m−1} が見つかり、x2 = mx1 −a2
とおくと、0 ≤ x2 < 1 となる。以下同様にして、{0, 1, · · · , m − 1} の元からなる数列 {an }∞
n=1
と 0 ≤ xn < 1 を満たす数 xn からなる数列 {xn }∞
n=1 であって、xn = mxn−1 −an (n = 1, 2, · · · )
を満たすものを構成することができる。但し、x0 = x とおく。このとき、n = 1, 2, · · · に対
して、
a1 x1
a1
a2
x2
a1
a2
an
xn
+
=
+
+
= ······ =
+
+ ··· + n + n
m
m
m m2 m2
m m2
m
m
となることがわかる。したがって、
n
∑
1
ak xn
x −
= n < n
k
m
m
m
x=
が成り立つ。m ≥ 2 なので
k=1
1 ∞
{ mn }n=1 は 0 に収束する。よって、
n
∑
ak (n → ∞)
x −
→ 0
mk
k=1
これは、
x=
∞
∑
an
mn
n=1
と書けることを意味する。
実数 x ∈ [0, 1] が (1 -6 a) の形の級数の和として表わされるとき、x = (0.a1 a2 a3 · · · )m と書き
表わし、x の (無限) m 進小数表示と呼ぶ。m = 10 のときには、単に x = 0.a1 a2 a3 · · · のよう
∞
∑
an
に表わす。つまり、小数 0.a1 a2 a3 · · · · · · とは、級数
の和で与えられる実数の表示の
n
n=1 (10)
ことであり、実体としては、その実数自身を表わす。すなわち、an = 0, 1, 2 · · · , 9 (n = 1, 2, · · · )
として、
(1 - 6 c)
0.a1 a2 a3 . . . . . . =
∞
∑
an
(10)n
n=1
が成立する。
例 1 - 6 - 1 (1 - 6 b) より、
1 = (0. m−1 m−1 m−1 · · · · · · )m
のように書ける。特に、m = 10 の場合を考えて、
1 = 0.999 · · · · · ·
□
を得る。
–4–
2015 年 9 月 24 日
No.1
数学を学ぶ (微分積分 2) 演習問題 1
1-1. 次の各級数の和を求めよ。
∞
∑
1
(1)
2
n=1 4n − 4n − 3
(2)
∞
∑
(−1)n
n=1
( 2 )2n−1
3
1-2. 調和級数が +∞ に発散することの証明に習って、級数
することを示せ。
∞
∑
1
は +∞ に発散
n=1 n(2 log n + 1)
ヒント：積分の値を求めるときには、関数 F (x) = log(2 log x + 1) を微分してみるとよい。
–5–
数学を学ぶ (微分積分２) 通信
[No.1]
2015 年 9 月 24 日発行
■ 学習内容チェックシートについて
◦ 学習内容チェックシートは、与えられた用紙の所定の枠内に、黒の鉛筆またはシャープ
ペンで直接書き込んで、次回の授業時に提出してください。
◦ 授業中以外の時間に、じっくり考えて、丁寧に書いてください。
◦ 提出された学習内容チェックシートは次々回に返却します。
◦ 「課題をこなした」と認められる学習内容チェックシートには、確認印を押します。確
認印の押された学習内容チェックシートは、間違えた箇所 (※印) があったとしても再
提出する必要はありません。
◦ 「課題をこなした」と認められない学習内容チェックシートには、「要再提出」「再提出
不許可」
「未提出扱い」の印を押します。
「要再提出」の印が押されていた場合には、指
摘された枠 (※印) の中の解答をきれいに消しゴムで消し、正解に書き換えた上で、返
却された回の次の授業時に再提出してください。
◦ じっくり考えて解いていないと判断されるもの、丁寧に書いていないと判断されるも
の、空欄があるもの、必要以上に書き込んであるものは、原則として未提出扱いにな
ります。提出期限が過ぎて提出した場合にも、未提出扱いになります。「未提出扱い」
の印が押された場合には、その回の学習内容チェックシートを再提出することはできま
せん。
◦ 再提出することができるチャンスは２回までとします。２回再提出しても、なおかつ、
「課題をこなした」と認められない場合には、再提出不許可になります。
「要再提出」の
印が押されていた場合には、どこをどのように間違えたのか、慎重に考えて修正してく
ださい。
◦ 学習内容チェックシートの設問は、アブストラクトをよく読み、講義をしっかり聴けば、
すべて答えることができるものばかりです。しかし、どうしてもわからない場合には、
オフィスアワーの時間帯に質問に来てください。ヒント等を出します。
■ 次回予告
今回は、主に級数の和が求められる場合を扱いましたが、一般に、和を求めることは易しく
ありません。和は求められなくても、収束判定法を使うと、級数が収束するか否かを知ること
ができる場合があります。次回は級数が収束するための最も基本的な判定法—比較判定法とダ・
ランベールの判定法—を学びます。
–6–
2015 年 9 月 24 日
数学を学ぶ（微分積分２）第１回・学習内容チェックシート
学籍番号
氏名
Q1. 次の表を完成させてください。ページ欄にはその言葉の説明が書かれているアブストラク
トのページを書いてください。
ページ
級数とは？
意味
p.
級数の第 n 部分和と
p.
は？
級数の和とは？
p.
正項級数とは？
p.
小数 0.a1 a2 a3 . . . . . . p.
の意味は？
Q2. 次の表を完成させてください。
解決方法・方針
初項 a, 公比 r (̸= 1) の等
比級数の第 n 部分和 Sn =
n
∑
ark−1 を求めるには？
k=1
正項級数
∞
∑
an が収束するこ
n=1
とを示すには？
Q3. 次の
に適当な言葉や数字を入れてください。
• 級数
級数
∞
∑
n=1
∞
∑
an ,
∞
∑
bn が収束するとき、級数
n=1
∞
∑
(an + bn ) および任意の実数 k に対して
n=1
kan は収束し、その和は次の公式を使って求めることができる。
n=1
∞
∑
,
(an + bn ) =
n=1
• 調和級数
∞ 1
∑
は
n=1 n
• 0.99999 . . . . . . =
するが、級数
∞
∑
n=1
∞
∑
kan =
1
は
2
n=1 n
.
する。
.
Q4. 第１回の授業で学んだ事柄について、わかりにくかったことや考えたことなどがありまし
たら、書いてください。

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