平成 27 年度新潟県公立高校入試解説数学[3]

平成 27 年度新潟県公立高校入試解説数学[3]
★
目標 40 点
★★
目標 60 点
家庭教師のホームティーチャーズ
★★★ 目標 80 点
例年の証明問題よりもやや易しいレベルです。
証明＝難しい、出来ないと毛嫌いせず、チャレンジしてみましょう。
ここでは証明問題が苦手な人向けに、基本的な手順をまとめておきます。
「そんなことしなくても出来るよ」という生徒さんは、飛ばしてもかまいません。
苦手な人向け手順①
問題文に書かれた情報を図形の中に書き込む
これは、苦手な人でなくてもやるべきことです。
問題文に書かれた情報とは、辺の長さや角度が等しいといったことだけでなく、例えば、
・図形を折り返したならば、どことどこが元々同じ辺や角で等しくなるとか
・円の中心と接線があれば、ここは直角になるといった隠れた情報も含みます。
与えられる図にも情報は書いてありますが、隠れた情報は書かれていないことがほとんどです。
証明問題の易しい・難しいは、この隠れた情報の見つけやすさで決まると言えます。
今回の問題の場合、AB=25cm、BC=30cm、CA=20cm、BD=9cm という情報は与えられた図の中に書かれています。
隠れた情報というほど大げさなものではありませんが、AD の長さも分かりますよね。
まず始めに全ての情報を書き込むことで、合同条件や相似条件を探しやすくなります。
A
AD=16cm
AB=25cm
20cm
D
BD=9cm
B
C
30cm
苦手な人向け手順②
分かりづらいときには向きを揃えて書き直してみる
証明問題では、必ず △アイウ≡△カキクであることを証明しなさい。
というように、対応する頂点が分かるようになっています。（この場合は、アとカ、イとキ、ウとクがそれぞれ対応）
キ
せっかく対応する頂点が分かっているのですから、
ウ
イ
カ
ア
ク
分かりづらい場合は、回転・反転させて書き直してみると良いでしょう。
ク
ウ
ア
キ
カ
イ
書き直すことで、合同条件や相似条件が見えてきます。
もちろん①で書き込んだ情報も入れましょう。
この問題では、 △ABC∽△ACD の証明ですので、書き直してみると下のようになります。
A
A
20cm
25cm
AD=16cm
20cm
C
D
C
B
30cm
無断転載を禁止します家庭教師のホームティーチャーズ
苦手な人向け手順③
合同条件、相似条件の中から当てはまりそうな条件を予想していく
三角形の相似条件は、 3 組の辺の比が、すべて等しいとき
2 組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しいとき
2 組の角が、それぞれ等しいとき
の 3 つです。
前ページの図から考えて、2 組の辺までは長さが分かっているので、1 番目か 2 番目の条件だろうと予想できます。
1 番目の条件を使うのであれば、辺 BC と辺 CD の比が分からなければなりませんし、
2 番目の条件を使うのであれば、間の角である∠A と∠A が等しいと分からなければなりません。
・・・もう分かりましたね？ ∠A は共通です。このように、2 番目の相似条件が使えそうだと予想できるわけです。
A
A
●
●
20cm
25cm
AD=16cm
20cm
D
C
C
B
30cm
(1)【解答】
△ABC と△ACD において
AB : AC = 25 : 20 = 5 : 4
･･･①
また、AD = AB – BD = 25 – 9 = 16 であるから、
AC : AD = 20 : 16 = 5 : 4
･･･②
①、②より
AB : AC = AC : AD
･･･③
また、∠BAC = ∠CAD （共通）･･･④
③、④より、2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、△ABC∽△ACD
(終)
合同や相似の証明問題では、
「合同（相似）なのだろうか？」と考えるのではなく、
合同（相似）なのは間違いありませんから、
「どの条件が使えそうか」と考えていくのがセオリーです。
そのためには、上に挙げた①②③の手順を踏むと条件が予想しやすくなります。
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(2) (1)の結果より、 BC : CD = 5 : 4
30 : CD = 5 : 4
5 CD = 30×4
CD = 24 (cm)
上でも述べた通り、△ABC∽△ACD を証明せよという問題は、2 つの図形が相似かどうかではなく、
相似である理由を答えろということです。
したがって、相似であることは間違いありませんので、(1)の証明が出来なかったとしても(2)を解くことはできます。
(1)が出来なかったことで、(2)はチャレンジすらしなかった受験生もいたかもしれませんね。
新潟県発表の正答率
[3] (1)51.5% (2)62.0%
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