21 合同と証明

eboard 中学数学問題集
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21 合同と証明
1
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三角形①～④のうち、△ABC と合同な三角形を全て選び、
記号≡を使って表しなさい。また合同な三角形について、それぞれ△ABC の
辺 AB、∠BAC に対応する角をあげなさい。
① 合同な三角形（≡を使って）：
辺 AB に対応する辺：
∠BAC に対応する角：
② 合同な三角形（≡を使って）：
辺 AB に対応する辺：
2
∠BAC に対応する角：
三角形の合同条件について、文中の下線部にあてはまる言葉をうめなさい。
２つの三角形が、次の条件にあてはまるとき、その２つの三角形は合同である。
①
が
それぞれ等しい。
②
と
がそれぞれ等しい。
③
と
がそれぞれ等しい。
3
下の三角形から合同な三角形の組み合わせを見つけ、記号≡を使って
表しなさい。また、そのときに使った合同条件を答えなさい。
① 合同な三角形（≡を使って）：
合同条件：
② 合同な三角形（≡を使って）：
合同条件：
③ 合同な三角形（≡を使って）：
合同条件：
4
次のそれぞれの図形で、合同な三角形の組み合わせをみつけ、記号≡を
使って表しなさい。また、そのときに使った合同条件を答えなさい。
なお、図形内の印をつけた角や辺は等しいものとする。
合同な三角形
合同条件
(1)
合同な三角形
合同条件
(2)
合同な三角形
合同条件
(3)
合同な三角形
合同条件
(4)
合同な三角形
合同条件
(5)
5
次のとき、どんな条件をつけ加えれば、△ABC と△DEF は合同になるか。
それぞれ条件をすべて答えなさい。ただし、付け加える条件は１つだけとする。
① AB=DE, ∠B=∠E
② ∠A=∠D, ∠C=∠F
③ AC=DF, BC=EF
6
下の図で AC=BD、AD=BC のとき、∠ACB=∠BDA になる。
このことについて、次の問に答えなさい。
(1) 仮定と結論をいいなさい。
仮定：
結論：
(2) 仮定から結論をいうには、どの三角形
とどの三角形の合同をいえばよいですか。
△
と △
(3) 仮定から結論がいえることを、次のように証明した。
下線部にあてはまる語をうめなさい。
△
と △
仮定より、AC ＝
共通する辺なので、
①②③より、
対応する角は等しいので、
において、
…①、
＝ BC …②
＝
…③
ので、△
＝
≡△
7
右の図で AO=CO、BO=DO のとき、AD∥CB
になる。このことを証明しなさい。
8
右の図で AB=AD、BE=DC のとき、BC=DE
になる。このことを証明しなさい。
9
右の図のように、平行な直線 ℓ, m がある。
ℓ 上の点 A と m 上の点 B を結ぶ線分 AB の
中点を O とし、O を通る直線が ℓ, m と
交わる点をそれぞれ C, D とする。
このとき、△AOC≡△BOD であることを
証明せよ。
答え
1 ①合同な三角形：△ABC≡△HIG、辺 AB に対応する辺：辺 HI、∠BAC に対応する角：∠IHG
②合同な三角形：△ABC≡ONM、辺 AB に対応する辺：辺 ON、∠BAC に対応する角：∠NOM
2 ①３辺がそれぞれ等しい。 ②２辺とその間の角がそれぞれ等しい。
③１辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
3 ①合同な三角形：△ABC≡△OMN、合同条件：３辺がそれぞれ等しい。
②合同な三角形：△DEF≡△QRP、合同条件：２辺とその間の角が等しい。
③合同な三角形：△GHI≡△JKL、合同条件：１辺とその両端の角が等しい。
4 (1) 合同な三角形：△AOB≡△DOC、合同条件：１辺とその両端の角が等しい。
(2) 合同な三角形：△ABD≡△ACD、合同条件：３辺がそれぞれ等しい。
(3) 合同な三角形：△ABD≡△ACD、合同条件：３辺がそれぞれ等しい。
(4) 合同な三角形：△ACD≡△BDC、合同条件：２辺とその間の角が等しい。
(5) 合同な三角形：△ABE≡△CBD、合同条件：２辺とその間の角が等しい。
5 ①∠A=∠D（１辺とその両端の角が等しくなる）
、BC=EF（２辺とその間の角が等しくなる）
②AC=DF（１辺とその両端の角が等しくなる）
③AB=DE（３辺が等しくなる）
、∠C=∠F（２辺とその間の角が等しくなる）
、
6 (1) 仮定：AC=BD, AD=BC 結論：∠ACB=∠BDA
(2) △ABC と△BAD
(3) △ABC と△BAD において、
仮定より、AC＝BD …①、AD＝BC…② 共通する辺なので、AB＝BA…③
①②③より、３辺がそれぞれ等しいので、△ABC ≡ △BAD
対応する角は等しいので、∠ACB＝∠BDA
7 △AOD と△COB において、
仮定より、AO=CO…① DO=BO…② 対頂角は等しいので、∠AOD=∠COB…③
①②③より２辺とその間の角が等しいので、△ABC≡△BAD
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから、∠CAB=∠DBA
錯角が等しいので、AC∥DB
8 △ABC と△ADE において、仮定より、AB=AD…①
AC=AD+DC、AE=AB+BE であり、仮定より、AB=AD、BE=DC なので、AC=AE…②
共通の角になっているので、∠CAB=∠EAD…③
①②③より２辺とその間の角が等しいので、△ABC≡△ADE
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから、BC=DE
9 △AOC と△BOD において、仮定より、AO=BO…①
AC∥DB より、平行な２直線の錯角は等しいので、∠CAO=∠DBO…②
対頂角なので、∠AOC=∠BOD…③
①②③より１辺とその両端の角が等しいので、△AOC≡△BOD

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